Đến nội dung

chuyenndu

chuyenndu

Đăng ký: 19-08-2022
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 15:59
****-

#744416 $(1 - abc)(ab + bc + ca) \le 1$

Gửi bởi chuyenndu trong Hôm qua, 15:56

Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi  :D

đúng với $\frac{2}{3}\le a\le 2$,giả sử a=max(a,b,c) là được




#744382 Cách để dự đoán điểm rơi?

Gửi bởi chuyenndu trong 26-03-2024 - 17:27

biến bằng nhau hoặc tại biên

đây là phân tích chứ k phải sol,mục đích để sử dụng đúng bdt




#744381 $M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1...

Gửi bởi chuyenndu trong 26-03-2024 - 17:23

(a,2b,3c)=(x,y,z) => x+y+z=3

cần cm $\sum\frac{1}{x^2+y^2+2}\le \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{3}{2}$

$\sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{(\sum\sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum(x^2+y^2+2)}=\frac{\sum x^2+\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}{\sum x^2+3}$

$\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\ge\sum (x^2+yz)\Rightarrow$ dpcm




#744090 $f(x+y^3f(y))=y^4+f(x)$

Gửi bởi chuyenndu trong 11-03-2024 - 18:19

tìm hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f(x+y^3f(y))=y^4+f(x)$ với $x,y\in R$




#744089 Cho $A(-1;2),B(2;-1),C(-2;3),D(6;1)$ tìm điểm $M$ nằm trê...

Gửi bởi chuyenndu trong 11-03-2024 - 18:15

tập hợp $\left \{ M:MA+MB=5\sqrt{2} \right \}$ là elip

C thuộc elip này nên viết được pt elip

tìm giao điểm elip với đt CD easy




#744088 $a_{n+2}+\frac{1}{2}=\sqrt{...

Gửi bởi chuyenndu trong 11-03-2024 - 18:11

bình phương gt $\Rightarrow a_{n+1}^2+a_{n+1}+a_n+\frac{1}{8(2n-1)}=...=a_2^2+a_2+a_1+\frac{1}{8}=8$

$\Rightarrow (a_{n+1}-2)(a_{n+1}+3)+a_n-2=\frac{-1}{8(2n-1)}$

quy nạp $\frac{-1}{8(2n-1)}\le a_n-2\le 0$




#744067 CMR với mỗi số nguyên dương n, tồn tại nhiều nhất một bộ ba số nguyên dương...

Gửi bởi chuyenndu trong 10-03-2024 - 09:47

$a+b,b+c,c+a,a+b+c+n$ đều có dạng $p^k$

nếu $p>2$ thì vô lí vì $a+b,b+c,c+a$ không thể cùng lẻ $\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow a+b=2^m,b+c=2^n,c+a=2^p,a+b+c+n=2^k\Rightarrow n+2^{m-1}+2^{n-1}+2^{p-1}=2^k$

 

cần CM với mỗi $n$ tồn tại nhiều nhất một bộ ba $(m',n',p')$ để $n+2^{m'}+2^{n'}+2^{p'}$ là lũy thừa của 2

hiển nhiên khi viết $n$ dưới dạng cơ số 2 (để ý vị trí số 0)

vd $n=\overline{10110}_{(2)}$ thì $n=2^5-2^3-2^0-2^0$

$n=\overline{100001}_{(2)}$ thì không tồn tại




#743938 $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b...

Gửi bởi chuyenndu trong 02-03-2024 - 20:47

cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn ab+ac+ad+bc+bd+cd=0. CMR $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{d}{d^2+1}\ge -1$




#743937 $1<a<b<c$ và $P=\frac{abc-1}{(...

Gửi bởi chuyenndu trong 02-03-2024 - 20:40

IMO 1992

https://artofproblem...c6h24417p154338




#743936 Con ếch và hạt nhân

Gửi bởi chuyenndu trong 02-03-2024 - 20:35

đi tối thiểu thì chỉ đi đến ô (x+1,y),(x,y+1). số đường đi ngắn nhất từ (a,b) đến (c,d) thì đã biết theo công thức là $C_{c-a+d-b}^{c-a}$

giờ đếm bằng bù trừ, sẽ đếm số đường đi đã đi qua ô phóng xạ, WLOG giả sử 4 đỉnh của ô có tọa độ (1,1),(2,1)(1,2),(2,2)

đếm bằng cách tính số đường đi từ (0,0) đến (1,1) và từ (1,1) đến (5,5)

ý tưởng đại khái là thế




#743935 Chứng minh rằng: $ab+a+b-c$; $bc+b+c-a$; $ca+c+a-b...

Gửi bởi chuyenndu trong 02-03-2024 - 20:28

giả thiết $\Rightarrow a^2+b^2+c^2+4=2(ab+bc+ca)\Rightarrow (a+b-c)^2=4ab-4$

$\Rightarrow (ab+a+b-c)(ab-a-b+c)=a^2b^2-(a+b-c)^2=(ab-2)^2$




#743760 Tìm chu vi tam giác khi biết chiều cao.

Gửi bởi chuyenndu trong 21-02-2024 - 19:04

từ công thức heron $S^2 =p(p-a)(p-b)(p-c) =\left(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}\right)\left(\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}-\frac{S}{h_a}\right)\left(\frac{S}{h_c}+\frac{S}{h_a}-\frac{S}{h_b}\right)\left(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}-\frac{S}{h_c}\right)$

tính được S theo đường cao

$a=\frac{2S}{h_a}$ là xong




#743759 $\sum\frac{a}{b+c^2}\geq\frac{3}{2}$

Gửi bởi chuyenndu trong 21-02-2024 - 19:00

Vào năm 2007, thầy Phạm Kim Hùng có đăng một bài bất đẳng thức rất đẹp và chặt như sau. 

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\geq\frac{3}{2}.$$

Dựa trên ý tưởng của thầy quykhtn-qa1, mình đã tìm ra một cách giải khá đẹp (mình sẽ đăng lên sau). Tuy nhiên, mình mong muốn tìm được những lời giải khác với những ý tưởng khác. Mời mọi người cùng thảo luận về bài toán đẹp này. 

P/s: Trong quá trình tìm hiểu về bài toán này, mình có tìm được một bài toán khác được đăng vào 2006 cùng cấu hình (tuy không đẹp và chặt bằng) như sau.

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng $$\frac{x}{y+z^2}+\frac{y}{z+x^2}+\frac{z}{x+y^2}\geq\frac{9}{4}.$$  

Mời mọi người cùng thảo luận ạ. 

P/s: Em xin lỗi vì phần tiêu đề em gõ LaTeX bị lỗi nhưng không thể sửa được ạ, mong BQT thứ lỗi cho em và sửa lại phần tiêu đề giúp em với ạ.  

$\sum\frac{x}{y+z^2}\ge \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+z^2x+x^2y+y^2z}$

$\frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx+z^2x+x^2y+y^2z}\ge \frac{9}{4}\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)+z^2x+x^2y+y^2z\le \frac{4}{9}$

kết hợp $z^2y+x^2z+y^2x+xyz\le \frac{4}{27}(x+y+z)^3,z^2x+x^2y+y^2z+xyz\le \frac{4}{27}(x+y+z)^3$ là xong




#743757 Cho dãy số ${u_{n}}$ xác định bởi $u_...

Gửi bởi chuyenndu trong 21-02-2024 - 18:37

https://diendantoanh...1fracu-nnu-n21/




#741344 Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn...

Gửi bởi chuyenndu trong 09-09-2023 - 13:01

Iran TST 2013

https://artofproblem...h530379p3026714