Khai Hung

Giải phương trình: $4x^{3}+13x^{2}-14x=3-\sqrt{15x+9}$

Giải phương trình nghiệm nguyên: $5x^{2}+5y^{2}+5xy-7x+14y=0$

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{3}-x^{2}y-4y^{3}-y-2=0$

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn $a\geq c+d$ và $b\geq c+d$

Chứng minh rằng $ab\geq ad+bc$

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

a) +) Dễ dàng có được $\Delta BIO = \Delta BHO$ ( cạnh huyền - góc nhọn )

Suy ra $ BI = BH $
+) Từ $\Delta BIO = \Delta BHO$  suy ra $ IO = HO $ 

Mà H đối xứng K qua O nên $ KO = HO $ 
Nên $ KO=IO $

Do đó dễ dàng có được $\Delta EIO = \Delta EKO$ ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

+) Từ $\Delta BIO = \Delta BHO$ và  $\Delta EIO = \Delta EKO$  ta được BO và EO lần lượt là phân giác của $\widehat{HOI}$ và $\widehat{KOI}$

Suy ra $EO \perp BO$ hay $\widehat{EOB}=90^{\circ}$

b) Lấy $OJ \perp AC$ tại J . Khi đó tương tự phần a ta được $\Delta FOC$ vuông tại O và $ KF = JF , HC=JC $

Mà $OJ \perp AC$ tại J nên $FJ.JC=JO^2=FK.CH$

Tương tự $EI.IB=OI^2=EK.BH$ 

Mà $ JO = OK = OI $

Nên ta có đpcm 

Cho xin câu c với

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{1}{2}(\sqrt{3a^2+b^2}+\sqrt{3b^2+c^2}+\sqrt{3c^2+a^2})$

Cho các số thực không âm x, y, z  thỏa mãn $x+y+z=12$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\sqrt{x+4}+\sqrt{2y+4}+\sqrt{3z+4}$

Giả sử $x\geq y$

Khi đó $x^2<x^2+y+1\leq x^2+x+1<x^2+2x+1$

$\Rightarrow x^2<A<(x+1)^2 \Rightarrow A$ không phải số chính phương (vô lý)

Vậy $x<y$

Khi đó $y^2< B< (y+2)^2\Rightarrow B=(y+1)^2$

$\Rightarrow (y+1)^{2}=y^2+x+4\Leftrightarrow x=2y-3$

Mà $x y\Rightarrow y<3\Rightarrow$y={1;2}

Nếu y=1 thì x<1 không phải số nguyên dương

Nếu y=2 thì x=1. Thử lại (x, y)=(1,2) thỏa mãn

Vậy (x;y)=(1,2)

Tìm các cặp số tự nhiên $(x,y)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: $x\neq y; x^{2}<121, y^{2}<121$ và $(x-y)^{5}+y^{2}=x^{2}$

Ta có: $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow x^{3}=2+\sqrt{5}-2+\sqrt{5}-3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(2+\sqrt{5}-2+\sqrt{5})$

$\Leftrightarrow x^{3}=2\sqrt{5}+3x$

$\Leftrightarrow x^{3}-3x-2\sqrt{5}=0$

$\Leftrightarrow (x-\sqrt{5})(x^{2}+x\sqrt{5}+2)=0$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{5}$

Vậy $P=5^{1011}\sqrt{5}-5^{1011}\sqrt{5}+5+2017$

        $ P=2022$

Khó nhỉ ?

Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=38, a+b=8$ và $b+c\geq 7$

Cho hai số thực a, b thỏa mãn $a + b - ab = -1$ và $a^{2}+b^{2} = 13$. Tính $P= |a^{3}-b^{3}|$