Ruka

Không hiểu sao tầm khoảng hơn tuần trước khi mở thanh thông báo thì nó cứ hiện ra hình tròn quay liên tục và không xem được thông báo mặc dù đã đợi khá lâu. Có thể giúp e được không ạ

 

@Nobodyv3

 

E đóng góp thêm $1$ lời giải nữa     

 

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{a_1a_2...a_{10}}$

Theo đề thì bắt buộc các số $1,2,3,4,6$ phải đứng trước số $5$.

Do đó số $5$ chỉ có thể ở các vị trí $a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10}$

TH1 : $a_{10} = 5$

Có $C_9^1$ cách xếp số $6$

Bộ $(1,2,3,4)$ có $C_8^4$ cách chọn vị trí

Xếp các số $0,7,8,9$ có $4!$ cách

Suy ra có $9.C_8^4.4!$ số được tạo thành(kể cả số 0 đứng đầu)

Cố định $a_1=0$ có $8.C_7^4.3!$ cách

TH1 có : $9.C_8^4.4! - 9.C_7^4.3!$ số được tạo thành

TH2 : $a_9=5$. Ta có $8.C_7^4! - 7.C_6^4.3!$(số)

TH3 : $a_8=5$. Ta có $7.C_6^4! - 6.C_5^4.3!$(số)

TH4 : $a_7=5$. Ta có $6.C_5^4! - 5.C_4^4.3!$(số)

TH5 : $a_6=5$. Ta có $5.C_4^4! $(số)

 

Từ các trường hợp số số thỏa mãn là $22680$ số 

 

Long but quite helpful at times     

$\displaystyle\Ruka$

Giải phương trình: $(x+2)\sqrt{x+1}\doteq x^3+ 6x^2+ 12x+ 7$

 

ĐK : $x \ge -1$

PT tương đương với

$(x+2)\sqrt{x+1} = (x+1)(x^2 + 5x + 7)$

$\iff (x+2)\sqrt{x+1} = (x+1)[(x+1)^2 + 3(x+2)]$

Đến đây đặt $\sqrt{x+1} = a$,$x+2 = b$ và giải như bth

Nghiệm $x=-1$ và $1$ nghiệm khác.

@thanhng2k7 xem lại bài nhé

Applying LR'hospital theorem we have

$\lim_{x \to 0} \dfrac{tanx-sinx}{x^3}$

 

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos^2x} - cosx}{3x^2}$

 

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{sin2x}{cos^4x} + sinx}{6x}$

 

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{6}(\dfrac{2cos2x + 4sinxsin2xcos^3x}{cos^8x} + sinx)$

 

$= \dfrac{2}{6}$

 

$=\dfrac{1}{3}$

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

 

Ta có $x_{n+1}^3 - x_{n+1}  = \sqrt{x_n+2}$

$\to x_n = x_{n+1}^6 - 6x_{n+1}^7 + 9x_{n+1}^2 - 2$

Xét hàm $f(x) = x^6 - 6x^7  + 9x^2 - 2$ ta có 

$f'(x) = -42x^6 + 6x^5 + 18x$

$=(6x^5 - 6x^6) + (18x - 18x^6) - 18x^6$

$=6x^5(1-x) + 18x(1-x^5) - 18x^6$

Hàm $f$ nghịch biến với mọi $x > 1$

Với $x_n > 1$ thì dãy $x_n$ giảm

$(**)$ CM $x_n > 2(1)$ theo qui nạp

Với $n=0$ thì $x_0 = 3 > 2$(đúng)

Với $n = k \ge 0$ thì $x_k > 2$ 

Ta phải CM $x_{k+1} > 2$

Thật vậy, xét hiệu $x_{k+1}^3 -3x_{k+1} - 2 = \sqrt{x_k+2} - 2$

$\to (x_{k+1}-2)(x_k+1)^2 = \dfrac{x_k - 2}{\sqrt{x_k+2} + 2}$

Theo gtqn thì $x_k - 2 > 0$ nên $\dfrac{x_k-2}{\sqrt{x_k+2}+2}$

Mà $(x_k + 1)^2 > 0$ với mọi $k > 0$ nên $x_{k+1} > 2$

Theo nguyên lí qui nạp thì $(1)$ đúng.

Vậy $x_n > 2$

Do dãy $x_n$ giảm và bị chặn dưới bởi $2$ nên tồn tại gh hữu hạn

Đặt $\lim x_n = t(2 \le t < 3)$ ta có:

$t^3 - 3t = \sqrt{t + 2} \to t = 2(\text{satisfied})$

Vậy $\lim x_n = 2$

 

P/s : ai ktra cho e phần tô đỏ vs ạ     

Cho dãy số $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n(u_n+1)(u_n+2)(u_n+3) + 1} \end{cases}$ 

Tìm $\lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i+2}$

Cho e thử vs ạ :V

Chỉ là triệt tiêu từ dòng trên thôi mà nhỉ ? =)) 

 

Giờ t mới để ý đó . Thanks bn nha =)))

Dễ dàng CM được bằng qui nạp $x_n > 0$

Xét hiệu $2(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n = \dfrac{5x_n}{ \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n } > 0$ (do $x_n > 0$)

CM $\lim x_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta có:

$2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n$

$\to 2x_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n^2+5x_n}$

$\to 4x_{n+1}^2 - 4x_{n+1}x_n + x_n^2 = x_n^2 + 5x_n$

$\to 4x_{n+1}(x_{n+1} - x_n) = 5x_n$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n} = \dfrac{5}{x_{n+1}}$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n . x_{n+1}} = \dfrac{5}{x_{n+1}^2}$

$\to \dfrac{4}{5}(\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x_{n+1}}) = \dfrac{1}{x_{n+1}^2}$

 

 

 

 

Từ đó $\lim v_n = \lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_n^2} = \dfrac{4}{15}$

Cho dãy số $\begin{cases} x_1 = 3\\x_{n+1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n) \end{cases}$

Đặt $v_n = \dfrac{1}{u_1^2} + \dfrac{1}{u_2^2}  + ...  + \dfrac{1}{u_n^2}$

Tính $\lim v_n$

Một cách giải đáng ra giải ở bàn thẳng nhưng áp dụng vào bàn tròn có được không ạ?

 

$----------------------------------------------------$

Gọi A:...

Chọn lấy $2$ người đàn ông và xếp họ có $A_3^2$(cách)

 

Chèn em bé vào giữa $2$ người đàn ông có $1$ cách

 

Cuối cùng xếp $2$ người đàn bà và người đàn ông còn lại có $3!$ cách

 

$\to n(A) = A_3^2 . 3!$(cách)

 

XS cần tìm là : $P(A) = \dfrac{A_3^2.3!}{5!} = \dfrac{3}{10}$

 Mỗi khách đều chọn 1 cửa hàng để vào nên k có TH4

 

Giả dụ đề bài không đề cập đến việc này thì có nên cộng thêm vào không nhỉ?

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn $10^6$ được thành lập từ hai chữ số $0$ và $1$. Lấy ngẫu nhiên $2$ số trong $S$. Xác suất lấy được số có ít nhất $1$ số chia hết cho $3$ bằng?

 

P/s : Bài này ko giải bằng hàm sinh có đc ko ạ?

 

Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau sao cho ba chữ số đứng liền kề nhau bất kỳ đều có chữ số chẵn, chữ số lẻ.

 

 

Giả sử lập được số cần tìm từ $a,b,c,d,e,f,g,h,x,y$ với các số trên đều là số tự nhiên

 

Buộc $bcd$ thành M , $efg$ thành $N$, $hxy$ thành $K$ 

$\to$ có $3.3!$(cách)

 

Khi đó số cần lập phải có $a,M,N,K$

 

Xếp $M,N,K$ trước có $3!$ cách

 

Có $5$ khoảng trống gồm $2$ vị  trí biên và $2$ vị trí ở giữa 

Ta có sơ đồ                                                               1 M 2 N 3 K 4

 

Nếu $a$ ở vị trí $1$ hoặc $4$ ta xét $2$ trường hợp 

 

$+)$ TH1 : Nếu $a$ chẵn thì có $4$ cách chọn

 

Chữ số đầu của $M$ phải là số lẻ $\to$ có $5$ cách chọn số đầu

Chữ số hai của $M$ phải là số chẵn $\to$ có $4$ cách chọn số hai

Chữ số ba của $M$ phải là số lẻ $\to$ có $4$ cách chọn số đầu

Chữ số đầu của $N$ phải là số chẵn $\to$ có $3$ cách chọn

... <Bạn xét tương tự>

 

$+)$ TH2 : Nếu $a$ lẻ thì có $5$ cách chọn

Chữ số đầu của $M$ phải là số chẵn $\to$ có $5$ cách chọn số đầu

....

 

Nếu $a$ ở vị trí $2$ hoặc $3$ thì ta cũng xét $2$ trường hợp

 

TH1 : Nếu $a$ chẵn($5$ cách chọn a) thì chữ số cuối của $M$ và chữ số đầu của $N$ phải là số lẻ $\to$ có $C_5^2$(cách)

Bạn vẫn xét tương tự như trên nhé <Chữ số đứng gần M và N phải là số chẵn nên có C_4^2 cách)

....

TH2 : Nếu $a$ lẻ ($5$ cách chọn a) thì chữ số cuối của $M$ và chữ số đầu của $N$ phải là số chẵn $\to$ có $C_5^2$(cách)

Tương tự thoi .-. <Chữ số đứng gần M và N phải là số chẵn nên có C_4^2 cách)

...

Tính xong thì bạn cộng vào nhé. Nhớ tránh số đầu là số $0$.

Giải quyết sử dụng biến cố đối

 

--------------------------------------

 

Gọi $A$ : ...

 

$\to \overline{A}$ : Không có cửa hàng nào có nhiều hơn $2$ khách

 

TH1 : Tất cả các cửa hàng đều có $1$ khách

 

Xếp $5$ khách vào $5$ quán có $5!$ cách

 

TH2 : Một cửa hàng có $2$ khách các quán còn lại chỉ có $1$ khách.

 

Chọn $2$ khách :$C_5^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_5^1$(cách)

 

Còn $3$ khách xếp vào $3$ quán có $3!$ cách

 

TH này có $C_5^1 . C_5^2 . 3!$(cách)

 

TH3 : Hai cửa hàng có $2$ khách, một cửa hàng có $1$ khách, hai quán còn lại "vô người"

 

Chọn $2$ khách :$C_5^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_5^1$(cách)

 

Chọn $2$ khách tiếp theo :$C_3^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_4^1$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $1$ người khách còn lại $C_3^1$(cách)

 

TH này có $C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1$(cách)

 

XS cần tìm : $P(A) =1 - P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{5! + C_5^1 . C_5^2 . 3! + C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1 }{5^5}$