Ruka

Giải hệ PT : $\begin{cases} x^2 - y^2 - y + 2 = 0\\ \sqrt{x^2 + x + 1}-\sqrt{y^2  +  y + 1} =\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x-2)\end{cases}$

Một cách giải ngắn gọn như sau

$\text{PT } \iff 4\sqrt[3]{8x-3} = 8x^3 + 3$

$\iff 4\sqrt[3]{8x-3} -8x = 8x^3 - (8x - 3)$

Đặt $y = \sqrt[3]{8x-3}$ ta được:

$4y - 8x = 8x^3 - y^3$

$\iff (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2) + 2(2x - y) = 0$

$\iff (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2 + 2)=0$

Dễ thấy $4x^2 + 2xy + y^2 + 2 = (2x + \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{3y^2}{4} + 2 > 0$

Do đó $2x -y = 0 \iff 2x = y \to 2x = \sqrt[3]{8x-3} \iff 8x^3 = 8x - 3 \iff 8x^3 - 8x + 3 = 0 $

$\iff (2x-1)(4x^2+2x-3) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$

So ...

Giải phương trình

$(x+4)\sqrt{2x-1}=6x-2$

Bình phương làm chi cho mệt

ĐK:$ x \ge \dfrac{1}{2}$

Ta có:$(x+4)\sqrt{2x-1} = 6x - 2$

$\iff 2(2x - 1) - (x+4)\sqrt{2x-1} + 2x = 0$

Đặt $t = \sqrt{2x-1}(t \ge 0)$ ta được:

$2t^2 - (x+4)t + 2x = 0(1)$

Ta có:$\Delta = (x+4)^2 - 4.2.2x = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$

Phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm là:

$t = \dfrac{x+4+x-4}{4} = \dfrac{x}{2}$ và $t = 2$

Với $t = 2$ ta có $\sqrt{2x-1} = 2 \iff 2x - 5 = 0 \iff x = \dfrac{5}{2}(\text{satisfied})$

Với $t = \dfrac{x}{2}$ ta có $\sqrt{2x-1} = \dfrac{x}{2} \iff 4(2x-1) = x^2 \iff x^2 - 8x + 4 = 0 \iff x = 4 \pm 2\sqrt{3}$

So ...

2.ĐK $ -1 \le x \le 2$

PT đã cho tương đương với

$\sqrt{x+1} - 1 + \sqrt{2-x} - \sqrt{2} = x^2 - x$

$\iff \dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1} - \dfrac{x}{\sqrt{2-x} + \sqrt{2}} = x(x-1)$

Từ đó suy ra phương trình có 1 nghiệm là $x=0$

Với $x \ne 0$ chia $2$ vế cho $x$ ta được

$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1} - \dfrac{1}{\sqrt{2-x} + \sqrt{2}} = x-1$

$\iff \dfrac{\sqrt{2-x} + \sqrt{2} - \sqrt{x+1} - 1}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{2})} - (x-1) = 0$

$\iff \dfrac{-\dfrac{x-1}{\sqrt{2-x} + 1} - \dfrac{x-1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}}}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{2})} - (x-1)=0$

$\iff -(x-1)(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2-x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}}}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{2})} + 1)=0$

Dễ thấy phương trình $\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2-x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{2}}}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{2})} + 1 > 0$ nên VN

$ \to x = 1$

Vậy $x = 0 $ or $x = 1$

P/s : T nhớ bài này quen lắm nhưng ko bt ở đâu :C

2 ĐK ,pt2$\Leftrightarrow (x-y-1)(\frac{x-y-2}{\sqrt{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}}+\frac{1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{x}})=0$

$\Leftrightarrow x=y+1$ cái còn lại cm vô nghiệm 

x= y+1 thay vào 1 ta dc;

$\sqrt{3-y}+\sqrt{y-8}=y^{2}+7y+6$ ai giải giúp 

Ta có:$\large{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}$

$= \large{2(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 1) + 2(x + y + 1)}$

$= \large{2(x-y-1)^2 + 2(x + y + 1)}$

Thử hỏi là bạn đã tách $\large{\dfrac{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}{\sqrt{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}}}$ ra $\large{\dfrac{(x-y-1)(x-y-2)}{\sqrt{2(x-y)^2 + 6y - 2x + 4}}}$ ra như nào?

Mình ngồi tự ra bài toán thì tính thế này. Có nhiều cách ra bài toán cho câu:

 

 

 

 

Như một người non nớt, mình làm như sau:

 

Nguyên âm: A, I, E, O, U ( 5 chữ cái)

Phụ âm: B, C, D, F, G, J, K, L, M, N, P, Q, S, T, V, X, Z, H, R, W, Y

 

Bài Toán đơn giản nhất là, có bao nhiêu cách để mỗi chữ cái kết hợp theo nguyên tắc, VC (Vowels and Consonants) và CV (Consonants and Vowels).

 

Thì mình tính là:

 

5V kết hợp với 21C = $21 \cdot 5=105$

21C kết hợp với 5V = $5 \cdot 21 = 105$

 

Cái này đúng không, xin hỏi mọi người.

 

Mình lỡ post cái này vào Toán hiện đại, chủ ý là muốn ai chuyên Toán biết định lý gì về combinatorics và ngôn ngữ học thì giới thiệu. Nếu các mods thấy post sai chỗ thì chuyển sang box khác phù hợp, vì mình chỉ toàn hỏi những câu căn bản. Chân thành xin lỗi!

Hành động kết hợp $2$ âm là nguyên âm và phụ âm là hành động liên tiếp nên bạn áp dụng qui tắc nhân nhé

Khi đó số cách kết hợp vowel sounds and consonant sounds là $5 . 21 = 105$ (cách)

Nếu làm theo combinatorics thì

Chọn $1$ vowel sound có $C_5^1$ (cách)

Chọn $1$ consonant sound có $C_{21}^1$ (cách)

Kết hợp $2$ âm lại có $ C_5^1 . C_{21}^1 = \displaystyle\binom{5}{1} . \displaystyle\binom{21}{1} = 105$ (cách)

KGM: $|\Omega| = 9 . A_9^4$

We will analyse $4$ cases : 

Case $1$ : There are $5$ odd numbers : 

Pick $5$ odd number and put them together to form a number has $5!$(ways)

Case $2$ : There are $4$ odd numbers and $1$ even number

Pick $4$ odd nums we have $\displaystyle\binom{5}{4}$

Choosing randomly $1$ even num has $\displaystyle\binom{5}{1}$

mix them we have $5!$ ways

$\to$ We can create $\displaystyle\binom{5}{4} . \displaystyle\binom{5}{1} . 5!$(nums)

With $0$ in the head of the number we can create $\displaystyle\binom{5}{4}  . 4!$(nums)

In altogether : $\displaystyle\binom{5}{4} . \displaystyle\binom{5}{1} . 5! - \displaystyle\binom{5}{4}  . 4! = 2880$

Case $3$ : There are $2$ even numbers

_ With no $0$ 

Choose and priortize the first $3$ odd nums : $A_5^3$

There are $2$ spaces between the odd nums and $2$ outer space, place $2$ even nums there we have $A_4^2$

$\to$ There're : $A_5^3 . A_4^2 = 720(nums)$

_ With a $0$

Choose and priortize the first $3$ odd nums : $A_5^3$

Choose other even number(not 0) $\to$ $C_4^1$ ways

Choose $2$ places for $2$ even number $\to C_4^2$ ways

To sum up, there're $A_5^3.C_4^1.C_4^2$(nums)

Let $0$ be the head of the num , we can create $A_5^3.C_4^1.C_3^1$

In altogether, we can create : $A_5^3.C_4^1.C_4^2  -  A_5^3.C_4^1.C_3^1 = 720$ (nums)

This case has $720 . 2 = 1440$(nums)

Case $4$ : There are $3$ even numbers

Applying the same method we can create $480 + 480 = 960$ (nums)

Call A  ... 

So we have $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{25}{126}$

Bài 1: Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?

Solve:

Số các số tạo được từ $1,3,4,8$ mà chữ số $3$ lặp $3$ lần là :$ \dfrac{6!}{3!} = 120$

Để số đó chia hết cho $4$ thì số đó phải có tận cùng là $2$ số chia hết cho $4$.

Dễ thấy trong bài chỉ có $2$ số tạo thành chia hết cho $4$ là $4$ và $8$

Xếp $2$ số đó ở $2$ vị trí cuối có $2!$ cách xếp.

Xếp số $1$ và $3$ số $3$ vào vị trí còn lại có $4!$ cách xếp

Do số $3$ lặp lại $3$ lần nên số chữ số lập được là : $\dfrac{2!.4!}{3!} = 8(\text{số})$

Xác suất cần tìm $P = \dfrac{8}{120}  = \dfrac{1}{15}$

Bài 2: Trong tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số ta chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.

Solve:

Số số lập được có $4$ chữ số là $9.10^3 = 9000$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc1}$

Ta có $\overline{abc1} = 10.\overline{abc}+1$

Do $10 \equiv 3(mod 7)$ và $1 \equiv 1 (mod 7)$

Vậy nên để thỏa mãn đề bài thì $\overline{abc} \equiv 2 (mod 7)$

Đặt $\overline{abc} = 7K + 2(K \in N)$

Mà $100 \le \overline{abc} \le 999$

$=> 100 \le 7K + 2 \le 999$

$=> 98 \le 7K \le 997$

$=> 14 \le K \le 142$

Số số thỏa mãn là $142-14+1=129(\text{số})$

Xác suất cần tìm là $P = \dfrac{129}{9000} = \dfrac{43}{3000}$

Mấy bài này e trình bày như này có đc ko ạ?

Cho e hỏi về công thức chia kẹo Euler nghe nói là nó có ứng dụng khá rộng nhưng mà theo e thấy thì cái này khi bài nào đó có input về tổng hay bài đó có thể quy về tổng thì mới áp dụng được đúng ko ạ?

Bạn xem kĩ lại xem Ở dạng tổng quát n thì  $\frac{-u_{n}^{2}}{u_{n}^{2}+1}=2022(\frac{1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}})-1$

Do đó chạy từ 1 tới n tổng cộng lại chỉ có n ( tại mọi i thì cái giá trị 1 đấy k thay đổi )

Sao cho $n$ mà lại bắt tìm giới hạn khi $x \to +\infty$ nhỉ

Srry bạn t nhầm chút

Theo như ta tìm được ở trên thì

$\dfrac{u_1^2}{u_1^2 +1} = 1 - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_2})$

$\dfrac{u_2^2}{u_2^2 +1} = 1 - 2022(\dfrac{1}{u_2} - \dfrac{1}{u_3})$

$............................$

$\dfrac{u_n^2}{u_n^2 +1} = 1 - 2022(\dfrac{1}{u_{n}} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

Khi đó :

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{u_i^2+1}$

$= \underbrace{1+1+1+...+1}_{n} - 2022(\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_2} + \dfrac{1}{u_2} - \dfrac{1}{u_2} + ... + \dfrac{1}{u_{n}} - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

$= n - 2022(\dfrac{1}{u_1}  - \dfrac{1}{u_{n+1}})$

thnk u bn nhen

Từ HTTH ta có:

$\large{x_{n+1}  = \dfrac{5x_n + 4}{x_n + 2}}$

$\large{\to x_{n+1} + 1 = \dfrac{6(x_n + 1)}{x_n+2}}$

$\large{\to \dfrac{1}{x_{n+1}+1} = \dfrac{1}{6(x_n+1)} + \dfrac{1}{6}}$

$\large{\to \dfrac{1}{x_{n+1} + 1} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{x_n + 1} - \dfrac{1}{5})}$

$\large{\to \dfrac{1}{x_n + 1} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{x_{n-1} + 1} - \dfrac{1}{5}) = ... = \dfrac{1}{6^{n-1}}(\dfrac{1}{x_{1} + 1} - \dfrac{1}{5}) = -\dfrac{1}{5.6^n}}$

$\large{\to \dfrac{1}{x_n + 1} = -\dfrac{1}{5.6^n} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{6^n - 1}{5.6^n}}$

$\large{\to x_n  = \dfrac{5.6^n}{6^n-1} - 1}$

Vậy ...

Cho dãy $(x_n)$ được xác định bởi
$x_1=a$ $(0<a<1)$
$x_{n+1}=2x_n-x_n^3$.
Chứng minh $(x_n)$ hội tụ

Xét hiệu $\large{x_{n+1} - x_n = 2x_n - x_n^3 - x_n = x_n - x_n^3}$

Mà do  $x_1 = a$ và $0 < a < 1$ nên $x_n > x_n^3$ 

Từ đó suy ra $x_n - x_n^3 > 0$ hay $\large{x_{n+1} > x_n}$

$\to (x_n)$ tăng

Đặt $lim x_n = t (t \ge 1)$

Lấy giới hạn $2$ vế ta được 

$\large{t = 2t - t^3}$

$\large{\to t - t^3 = 0}$

$\large{\to t(1-t^2)=0}$

$\large{\to \left[\begin{matrix} t =0 \\ t = 1(\text{accept}) \\ t = -1\end{matrix}\right.}$

$\large{\to lim x_n = 1}$

Từ đó suy ra được dãy $(x_n)$ hội tụ tại $1$

Đường kính nào mà không chia đường tròn làm hai cung bằng nhau?

 

Đánh số lại các đỉnh của đa giác đều $P$ đã cho là $A_0, A_1, \ldots, A_{23}$ và quy ước $A_{24k + i} \equiv A_i$, thì số đo cung $A_i A_{i+1}$ là $\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$ ($P$là đa giác đều).

Với mọi $i$, đoạn thẳng $A_i A_{i + 12}$ sẽ là đường kính. Chọn một đỉnh $A_j$ khác với $A_i$ và $A_{i + 12}$, thì $A_jA_iA_{i+12}$ sẽ là tam giác vuông.

Để $A_jA_iA_{i+12}$ vuông cân thì số đo cung $A_i A_j$ bằng $\frac{\pi}{2} = 3 \times \frac{\pi}{12}$, tức là $j = i \pm 3$.

Tức là trong số $22$ cách chọn đỉnh $A_j$, sẽ có hai đỉnh $A_{j_1}$ và $A_{j_2}$ không thỏa đề.

Nên với mỗi đường kính tạo từ hai đỉnh đối diện trong $P$, ta sẽ tìm được $20$ tam giác vuông không cân.

Mà hiển nhiên hai tam giác vuông với hai cạnh huyền tạo từ đường kính khác nhau thì sẽ khác nhau.

Do đó tất cả $240 (=20 \times 12)$ tam giác vuông tìm được đều khác nhau.

Cảm ơn bạn đã nhắc

T nhầm lẫn chút.

<Đã sửa>

Để tạo thành tam giác vuông thì 1 cạnh của tam giác phải là đường kính đa giác đều. Khi chọn 1 cạnh là đường kính thì sẽ còn 22 điểm còn lại để tạo thành 22 tam giác vuông.  Mỗi một đường kính khi tạo thành 22 tam giác vuông thì sẽ có 2 tam giác vuông cân. Đa giác đều có 24 cạnh thì sẽ có 24 : 2 = 12 đường kính. Vậy nên có tất cả 20 x 12 = 240 tam giác vuông nhưng không phải vuông cân được tạo bởi các đỉnh của đa giác trên. 

(P/s: tui không chắc đoạn 2 tam giác vuông cân đâu    )

Do đa giác này là đa giác đều $24$ cạnh nên giả sử có $1$ đường tròn đi qua $24$ đỉnh đó

Với mỗi đường kính tạo bởi $2$ đỉnh thì nó sẽ chia đường tròn đó thành $2$ cung 

Trong $2$ cung đó đều có $1$ điểm là điểm nằm chính giữa sao cho điểm đó cách đều $2$ mút của đường thẳng chọn làm đường kính và tạo thành tam giác cân.

Hai cung có $2$ điểm chính giữa nên tạo được $2$ tam giác cân.

Yea, Theo mk thì đó là lí do tại sao có đc $2$ tam giác cân.

Nếu bn có cách suy nghĩ hay hơn chia sẻ nha @.@

Chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam có $C_{10}^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện học sinh nam, còn lại $8$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_8^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện $2$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $6$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_6^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện $3$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $4$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_4^1$(cách)

Tránh vị trí đối diện $4$ học sinh nam vừa xếp, còn lại $2$ ghế.Số cách chọn $1$ ghế cho $1$ học sinh nam là $C_2^1$(cách)

Số cách xếp cho $5$ bạn nữ còn lại vào $5$ ghế là:$A_5^5$

Vậy có tất cả:$C_{10}^1 . C_8^1 . C_6^1 . C_4^1 . C_2^1 . A_5^5 = 460800$(cách)

Bạn có thể cho mình hỏi là tại sao lại xét trường hợp $ 5\geqslant m$ và $\ 5< m $ được không ?

Bạn ấy xét 3 TH với ý nghĩa là:

TH1:Khi $(-3;7) \subset (-m;m+2) $

TH2:Khi $(-m;m+2) \cap (-3;7)$

TH3:Khi $(-m;m+2) \subset (-3;7)$