Ruka

Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$

Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$ 

Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$

Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$

Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$

$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$

Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$

Thay lại ta thấy thỏa mãn

Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*

@Nesbit  Nhờ anh check hộ em với ạ

Chứng minh $x_n > 2$ bằng qui nạp như trên

Ta có: $x^3_{n+1} - 3x_{n+1} - x^3_n + 3x_n = \sqrt{x_n + 2} - x_n^3 + 3x_n$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2) -3(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n + 2} - (x_n^3 - 3x_n)$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{x_n + 2 - (x_n^3 - 3x_n)^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}$

$\iff (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3) = \dfrac{7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2}{\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n}(*)$

Mà $x_n > 2(\text{chứng minh trên}) \to x_n^2 > 4$ nên $x_{n+1}^2 + x_nx_{n+1} + x_n^2- 3 > 0(1)$

Tương tự ta cũng có

$7x_n + 2 - x_{n+1}^6 - 9x_n^2$

$= x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6)$

Do $x_n > 2$ nên $x_n(7 - 9x_n) < 0$ và $2 - x_{n+1}^6 < 0(2)$

$\to x_n(7 - 9x_n) + (2 - x_{n+1}^6) < 0$

Hiển nhiên ta có $\sqrt{x_n + 2} + x_n^3 - 3x_n > 0(3)$

Từ $(*),(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra được $x_{n+1} - x_n < 0 \to x_{n+1} < x_n$ hay dãy $(x_n)$ giảm

Vì dãy giảm và chặn dưới nên theo đ/lý weierstrass thì dãy có giới hạn và làm tương như trên

Không hiểu sao tầm khoảng hơn tuần trước khi mở thanh thông báo thì nó cứ hiện ra hình tròn quay liên tục và không xem được thông báo mặc dù đã đợi khá lâu. Có thể giúp e được không ạ

@Nobodyv3

E đóng góp thêm $1$ lời giải nữa     

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{a_1a_2...a_{10}}$

Theo đề thì bắt buộc các số $1,2,3,4,6$ phải đứng trước số $5$.

Do đó số $5$ chỉ có thể ở các vị trí $a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10}$

TH1 : $a_{10} = 5$

Có $C_9^1$ cách xếp số $6$

Bộ $(1,2,3,4)$ có $C_8^4$ cách chọn vị trí

Xếp các số $0,7,8,9$ có $4!$ cách

Suy ra có $9.C_8^4.4!$ số được tạo thành(kể cả số 0 đứng đầu)

Cố định $a_1=0$ có $8.C_7^4.3!$ cách

TH1 có : $9.C_8^4.4! - 9.C_7^4.3!$ số được tạo thành

TH2 : $a_9=5$. Ta có $8.C_7^4! - 7.C_6^4.3!$(số)

TH3 : $a_8=5$. Ta có $7.C_6^4! - 6.C_5^4.3!$(số)

TH4 : $a_7=5$. Ta có $6.C_5^4! - 5.C_4^4.3!$(số)

TH5 : $a_6=5$. Ta có $5.C_4^4! $(số)

Từ các trường hợp số số thỏa mãn là $22680$ số 

Long but quite helpful at times     

$\displaystyle\Ruka$

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được xêp theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải nhưng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì không được xếp như vậy.

Giải phương trình: $(x+2)\sqrt{x+1}\doteq x^3+ 6x^2+ 12x+ 7$

ĐK : $x \ge -1$

PT tương đương với

$(x+2)\sqrt{x+1} = (x+1)(x^2 + 5x + 7)$

$\iff (x+2)\sqrt{x+1} = (x+1)[(x+1)^2 + 3(x+2)]$

Đến đây đặt $\sqrt{x+1} = a$,$x+2 = b$ và giải như bth

Nghiệm $x=-1$ và $1$ nghiệm khác.

@thanhng2k7 xem lại bài nhé

Applying LR'hospital theorem we have

$\lim_{x \to 0} \dfrac{tanx-sinx}{x^3}$

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos^2x} - cosx}{3x^2}$

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{sin2x}{cos^4x} + sinx}{6x}$

$=\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{6}(\dfrac{2cos2x + 4sinxsin2xcos^3x}{cos^8x} + sinx)$

$= \dfrac{2}{6}$

$=\dfrac{1}{3}$

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2

Chứng minh $x_n$ giảm phía dưới

$(**)$ CM $x_n > 2(1)$ theo qui nạp

Với $n=0$ thì $x_0 = 3 > 2$(đúng)

Với $n = k \ge 0$ thì $x_k > 2$ 

Ta phải CM $x_{k+1} > 2$

Thật vậy, xét hiệu $x_{k+1}^3 -3x_{k+1} - 2 = \sqrt{x_k+2} - 2$

$\to (x_{k+1}-2)(x_k+1)^2 = \dfrac{x_k - 2}{\sqrt{x_k+2} + 2}$

Theo gtqn thì $x_k - 2 > 0$ nên $\dfrac{x_k-2}{\sqrt{x_k+2}+2}$

Mà $(x_k + 1)^2 > 0$ với mọi $k > 0$ nên $x_{k+1} > 2$

Theo nguyên lí qui nạp thì $(1)$ đúng.

Vậy $x_n > 2$

Do dãy $x_n$ giảm và bị chặn dưới bởi $2$ nên tồn tại gh hữu hạn

Đặt $\lim x_n = t(2 \le t < 3)$ ta có:

$t^3 - 3t = \sqrt{t + 2} \to t = 2(\text{satisfied})$

Vậy $\lim x_n = 2$

P/s : ai ktra cho e phần tô đỏ vs ạ     

Cho dãy số $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n(u_n+1)(u_n+2)(u_n+3) + 1} \end{cases}$ 

Tìm $\lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i+2}$

Cho e thử vs ạ :V

Chỉ là triệt tiêu từ dòng trên thôi mà nhỉ ? =)) 

Giờ t mới để ý đó . Thanks bn nha =)))

Dễ dàng CM được bằng qui nạp $x_n > 0$

Xét hiệu $2(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n = \dfrac{5x_n}{ \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n } > 0$ (do $x_n > 0$)

CM $\lim x_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta có:

$2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n$

$\to 2x_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n^2+5x_n}$

$\to 4x_{n+1}^2 - 4x_{n+1}x_n + x_n^2 = x_n^2 + 5x_n$

$\to 4x_{n+1}(x_{n+1} - x_n) = 5x_n$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n} = \dfrac{5}{x_{n+1}}$

$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n . x_{n+1}} = \dfrac{5}{x_{n+1}^2}$

$\to \dfrac{4}{5}(\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x_{n+1}}) = \dfrac{1}{x_{n+1}^2}$

Từ đó $\lim v_n = \lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_n^2} = \dfrac{4}{15}$

Cho dãy số $\begin{cases} x_1 = 3\\x_{n+1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n) \end{cases}$

Đặt $v_n = \dfrac{1}{u_1^2} + \dfrac{1}{u_2^2}  + ...  + \dfrac{1}{u_n^2}$

Tính $\lim v_n$

Cho dãy số $(x_n)$ : $\begin{cases} x_1 = 3\\ x_{n+1} = \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 4}{x_n^2 - x_n + 6} \end{cases}$

 

Đặt $y_n = \dfrac{1}{x_1^2 + 4} +  \dfrac{1}{x_2^2 + 4} + .... +  \dfrac{1}{x_n^2 + 4} $.

 

Tính $\displaystyle\lim y_n$

Ko biết là đề sai hay không. Nhưng e sửa lại đề như này $\begin{cases} x_1 = 3\\ x_{n+1} = \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 4}{x_n^2 - x_n + 6} \end{cases}$

Dễ dàng CM được bằng qui nạp rằng $x_n > 2$ với mọi $n$

Xét hiệu $x_{n+1} - x_n = \dfrac{x_n^3 + 2x_n + 4}{x_n^2 - x_n + 6} - x_n = \dfrac{x_n^2 - 4x_n + 4}{x_n^2 - x_n + 6} = \dfrac{(x_n-2)^2}{(x_n -\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{11}{2}} > 0$ (do $x_n > 2$)

Từ đó suy ra $x_n$ tăng ngặt. Giả sử dãy $x_n$ bị chặn trên, theo đ/lý Weierstrass/giới hạn thì dãy $x_n$ có giới hạn.

Đặt $\displaystyle\lim x_n = a(a > 3)$. Giải PT giới hạn ta được $a = 2(\text{Exterminated})$

Suy ra $\displaystyle\lim x_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta suy ra

$x_{n+1} - 2 = \dfrac{x_n^3 - 2x_n^2 + 4x_n - 8}{x_n^2 - x_n + 6} = \dfrac{(x_n^2+4)(x_n-2)}{x_n^2 - x_n + 6}$

$\rightarrow \dfrac{1}{x_{n+1} - 2} = \dfrac{(x_n^2 + 4) - (x_n - 2)}{(x_n^2+4)(x_n-2)} =  \dfrac{1}{x_n - 2} - \dfrac{1}{x_n^2 + 4} $

$\to \dfrac{1}{x_n^2 + 4} = \dfrac{1}{x_n - 2} - \dfrac{1}{x_{n+1} - 2}$

... 

Ta suy ra được $\lim y_n = 1$

Xét hiệu $u_n - u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 3u_n + 1}{3+u_n}$        $(1)$

Bây giờ ta chứng minh rằng $u_n > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} (2)$ với mọi $n=0,1,2...$

Ta CM bằng qui nạp 

Hiển nhiên $(2)$ đúng với $n=0$ và $n=1$

_Giả sử $(2)$ đúng đến $n=k$ tức là $u_k > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Khi đó: $3 + u_k > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} + 3 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\rightarrow \dfrac{1}{3+u_k} < \dfrac{2}{3+\sqrt{5}} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

$\rightarrow u_{k+1} = -\dfrac{1}{3+u_k} > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Vậy $(2)$ cũng đúng với $n=k+1$. Theo nlqn thì $(2)$ đúng với mọi $n$

Do $u_n > \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$ nên $3 + u_n > 0 \forall n=0,1,2,..$ và $u_n^2 + 3u_n + 1 > 0$

Vậy từ $(1)$ có $u_n > u_{n+1}$ với mọi $n$, nghĩa là $u_n$ có gh hữu hạn.

Đặt $\lim u_n = x$ và giải ta được $x = \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Vậy ..