Toan0710

CMR: nếu $u=u(x,t)$ thoả phương trình truyền nhiệt $\frac{\partial u }{\partial t}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, a>0$ thì

$v=\frac{1}{a\sqrt{t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}u(\frac{x}{a^2t},\frac{-1}{a^4t}), t>0$ cũng thoả phương trình đó.

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và $H, K \subset G$. CMR

$\left | H \right |+ \left | K \right |>\left | G \right | \Rightarrow G=HK=\left \{ ab/ a\in H,b \in K \right \}$

1) Từ giả thiết $\Leftrightarrow 3z^2-6xy.z+x^2+2y^2=0(*)$

Ta xem (*) là pt bậc 2 theo ẩn z với x,y là tham số.

(*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta'_{(*)}\geq 0 \Leftrightarrow (3xy)^2-3(x^2+2y^2)\geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}\leq 3.$ $(**)$

Từ $(**)\Rightarrow 9\geq (1+2)(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2})=(1^2+(\sqrt{2})^2)(\frac{1^2}{y^2}+\frac{(\sqrt{2})^2}{x^{2}})\geq (\frac{1}{x}+\frac{2}{y})^2$ (Bunhiacopxki)

$\Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{2}{x}\leq 3.\square$.

Dấu "=" $\Leftrightarrow \frac{1}{1/y}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}/x} \Rightarrow x=y=z=1$.

Câu 3b: (xem hình vẽ)

Gọi $\ R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $\ ABCD$

Chọn hệ tọa độ $\ Oxyz$ sao cho:

$\ A(a;0;0), B(0;0;0), C(2a\cos 120^o;2a\sin 120^o;0)=C(-a;a\sqrt{3};0)$

* Cần tìm D <= phải tìm E.

Xét mp $\ Oxy$

Ta có $\ EA\perp AB(cmt)$ $\ \Rightarrow x_E=a$

Mà $\ \widehat{EBA}=30^o => BE: y-0=\tan 30^o(x-0) \Leftrightarrow BE:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x \Rightarrow E(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};0)$

Lại có: $\ \left\{\begin{matrix} DE\perp (ABC) & \\ DE=\frac{a}{\sqrt{6}} & \end{matrix}\right. \Rightarrow D(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};\frac{a}{\sqrt{6}})$

Gọi $\ (S): x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0$ là phương trinh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $\ ABCD$

$\ B(0;0;0)\in (S) =>D=0$

$\ A(a;0;0)\in (S) => A=\frac{a}{2}.$

$\ C(-a;a\sqrt{3};0)\in (S) \Rightarrow B=\frac{5a}{2\sqrt{3}}$

$\ D(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};\frac{a}{\sqrt{6}})\in (S) \Rightarrow C=\frac{-7\sqrt{6}a}{12}$

Vậy $\ R=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}=a\sqrt{\frac{35}{8}}$

Câu 3a: TT (xem hình vẽ)

Kẻ $\ DE\perp (ABC)$ tại $\ E$

Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của E lên DA và DB.

$\ \left\{\begin{matrix}AB\perp AD & \\ AB\perp DE \ & \end{matrix}\right. \Rightarrow AB\perp (ADE)$

Mà $\ EF\subset (ADE) \Rightarrow AB\perp EF$

Lại có $\ AD\perp EF$

$\ \Rightarrow EF\perp (ABD) (1)$

$\ \left\{\begin{matrix} BC\perp DE & \\ BC\perp DB & \end{matrix}\right. \Rightarrow BC\perp (BDE) \Rightarrow BC \perp EG (EG\subset (BDE))$

Mà $\ BD\perp EG \Rightarrow EG\perp (BCD)(2)$

Từ (1) và (2) => Góc giữa $\ (BCD)$ và $\ (ABD)$ là $\ \widehat({EF,EG})=\widehat{FEG}=30^{o}$

Đặt $\ DE=x$

Đ/l hàm cos: $\ BC=2a$

Ta có: $\ \left\{\begin{matrix} EF\perp (DAB) & \\ FG\subset (DAB) & \end{matrix}\right. => EF\perp FG \Rightarrow \Delta EFG$ vuông tại F.

Lại có $\ \widehat{EBC}=90^{o}(BC\perp (BDE))$

$\ \Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ABC}-\widehat{EBC}=120^{o}-90^{o}=30^{o}$

$\ \Delta ABE$ vuông tại A:

$\ \tan 30^{o}=\frac{EA}{AB}\Rightarrow EA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\ EB=\sqrt{EA^2+AB^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\ \Delta AED$ vuông tại E có đg cao EF

$\ \frac{1}{EF^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EA^2}\Rightarrow EF=\frac{a\sqrt{3}{x}}{3\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+x^2}}$

$\ \Delta EBD$ vuông tại E có đg cao EG

$\ \frac{1}{EG^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EB^2}\Rightarrow EG=\frac{2a\sqrt{3}x}{3\sqrt{(\frac{2a\sqrt{3}}{3})^2+x^2}}$

$\ \Delta EFG$ vuông tại F có $\ \widehat{FEG}=30^o$

$\ \cos 30^o=\frac{EF}{EG} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{\frac{4a^2}{3}+x^2}}{\sqrt{\frac{a^2}{3}+x^2}} \Leftrightarrow ...\Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{6}}$

Vậy $\ V_{ABCD}=\frac{1}{3}.DE.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{6}}.\frac{1}{2}a.2a.\sin 120^o=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

Câu 2: độc giả tự giải vì không quá khó. Sử dụng công thức đạo hàm và pttt là ra.

DS: y=202x+2020.

Câu 1: Phân tích

Đầu tiên, ta dùng pp Hàm đăc trưng do không thể biến đổi thông thuòng theo cách đại số.

  Tiếp theo, ta tách các logarit bà chuyển về mỗi vế.

   $\log_{3}(x+5)^{2} + (...) = \log_{3}(x+1)^2+ (...)$

Như vậy là đã xong, nhưng cái khó khăn ở đây là bài này giấu rất kĩ, biến đổi $x^2+x$ sang biểu thức bao gồm $(x+5)^2$ và $(x+1)^2$. Do đó, từ ý tưởng và câu hỏi tự đặt ra. Mình có phương pháp sau:

Ta cần biểu diễn $x^2 +x$ theo $(x+5)^2$ và $(x+1)^2$, tức là:

 $ x^{2}+ x=a(x^{2}+10x+25)+b(x^{2}+2x+1)+c$

$ \Leftrightarrow x^{2}+x=(a+b)x^2+(10a+2b)x +25a+b+c$

$ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1 & & \\ 10a +2b=1 & & \\ 25a+b+c=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{8} & & \\ b=\frac{9}{8} & & \\ c=2 & & \end{matrix}\right.$ 

Giải

 ĐK: $\ \left\{\begin{matrix} x\neq -5 & \\ x\neq -1 & \end{matrix}\right.$ 

PT $ \Leftrightarrow \log _{3}(x+5)^2-\log _{3}(x+1)^2=-\frac{1}{8}(x^2+10x+25)+\frac{9}{8}(x^2+2x+1)+2$

$ \Leftrightarrow \log _{3}(x^2+10x+25)+\frac{1}{8}(x^2+10x+25)=\log _{3}(9x^2+18x+9)+\frac{1}{8}(9x^2+18x+9)$

Xét hàm số $ f(t)=\log_{3}t+\frac{1}{8}t, t\in (0;+\infty )$

$ f'(t)=\frac{1}{t\ln3}+\frac{1}{8}>0, \forall t\in (0;+\infty )$

$ \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\ (0;+\infty )$

$ \Rightarrow f(x^2+10x+25)=f(9x^2+18x+9)$

$\ \Leftrightarrow x^2+10x+25=9x^2+18x+9$

$\ \Leftrightarrow 8x^2+8x-16=0$

$\ \Leftrightarrow x=-2 \vee x=1$ (nhận)

 Vậy $ S=\left \{ -2;1 \right \}$

SỞ GD&ĐT TP.HỒ CHÍ MINH

KÌ THI HSG CẤP THÀNH PHỐ

Khóa ngày: 07/04/2022

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (3 điểm)
Giải phương trình: $ \log_3\left(\frac{x+5}{x+1}\right)^2=x^2+x$.

Câu 2: (3 điểm)