Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$
- ThienDuc1101 và Sangnguyen3 thích
Gửi bởi Matthew James trong 19-12-2022 - 19:31
Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$
Gửi bởi Matthew James trong 16-12-2022 - 23:01
$x^3-y^3=xy+3$
$\Leftrightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)=xy+3$
Đặt $x-y=a$, $xy=b$ ( $a,b\in \mathbb{Z}$ )
Ta có: $a^3+3ab=b+3$
$\Leftrightarrow a^3-3=b(1-3a)$
$\Rightarrow a^3-3 \vdots 3a+1$
$\Rightarrow 27a^3-1-80\vdots 3a-1$
Mà ta có $27a^3-1\vdots 3a-1$
Nên $3a-1\in U(80)$
Đến đoạn này bạn giải nốt nhé
Gửi bởi Matthew James trong 11-12-2022 - 22:22
Để tạo thành tam giác vuông thì 1 cạnh của tam giác phải là đường kính đa giác đều. Khi chọn 1 cạnh là đường kính thì sẽ còn 22 điểm còn lại để tạo thành 22 tam giác vuông. Mỗi một đường kính khi tạo thành 22 tam giác vuông thì sẽ có 2 tam giác vuông cân. Đa giác đều có 24 cạnh thì sẽ có 24 : 2 = 12 đường kính. Vậy nên có tất cả 20 x 12 = 240 tam giác vuông nhưng không phải vuông cân được tạo bởi các đỉnh của đa giác trên.
(P/s: tui không chắc đoạn 2 tam giác vuông cân đâu )
Gửi bởi Matthew James trong 09-12-2022 - 21:47
Cm BĐT sau với mọi số thực dương a,b,c:
\[\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{bc}}{{a + c}} + \frac{{ac}}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]
Ta có: $(a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}$
$\Rightarrow \frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{4}$
Tượng tự với b và c sau đó cộng các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Gửi bởi Matthew James trong 07-12-2022 - 22:15
Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp năm lần tổng của chúng.
Theo đề ta có: $abc=5(a+b+c)$
Vì $abc$ là tích 3 số nguyên tố, $abc$ chia hết cho 5 nên 1 trong 3 số chia hết cho 5 nên 1 trong 3 số là 5. Giả sử $a=5$
Với $a=5$, ta có: $bc=b+c+5$
$(b-1)(c-1)=6$
Sau đó giải phương trình với $b-1$ và $c-1$ là các số nguyên. Thu được kết quả :
$(a;b;c)=(2;5;7)$
Vậy 3 số cần tìm là 2, 5, 7
Gửi bởi Matthew James trong 28-11-2022 - 22:18
Đây bạn tham khảo
Gửi bởi Matthew James trong 28-11-2022 - 21:04
Th
Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?
Theo mình thì S-S là một phương pháp khai triển khá hay và được sử dụng cũng khá nhiều. Bạn tham khảo thêm phương pháp khai triển S.O.S và khai triển Abel vì những cách khai triển này dùng khá tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức
Gửi bởi Matthew James trong 25-11-2022 - 22:15
Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.
Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được
Gửi bởi Matthew James trong 25-11-2022 - 22:01
Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$
=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2
$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$
Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
Gửi bởi Matthew James trong 24-11-2022 - 19:25
Với $p$ là các số nguyên tố khác 3 và $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b$ chia hết cho $p$ và $a^3+b^3$ chia hết cho $p^2$, chứng minh rằng $a+b$ chia hết cho $p^2$ hoặc $a^3+b^3$ chia hết cho $p^3$
Gửi bởi Matthew James trong 24-11-2022 - 19:14
Tìm các cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a^2+ab+1 | b^2+ab+a+b-1$.
Gợi ý: $b^2+ab+a+b-1+a^2+ab+1 \vdots a^2+ab+1$
Gửi bởi Matthew James trong 23-11-2022 - 21:29
$f(x)+f(1-x)=1$
$\Rightarrow S=49.1 +f(\frac{50}{100})=49.1 +f(\frac{1}{2})=49+\frac{1}{2}=49\tfrac{1}{2}$
Gửi bởi Matthew James trong 16-11-2022 - 20:13
Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.
Gửi bởi Matthew James trong 10-11-2022 - 19:24
Cho các số thức $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=6$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=12$. Chứng minh rằng $0\leq a,b,c,d\leq 3$ và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)$
Gửi bởi Matthew James trong 08-11-2022 - 19:28
Chứng minh a=b=c
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học