Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Saturina

Đăng ký: 24-10-2022
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:00
-----

#735935 $\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b}...

Gửi bởi Saturina trong 28-11-2022 - 20:34

Phương pháp S-S, có

$\sum_{cyc}^{}\frac{a}{b} -3 = \frac{(a-b)^{2}}{ab} + \frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -1=-\frac{(a-b)^{2}+(a-c)b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Do đó BĐT bài cho tương đương:
$M(a-b)^{2} + N(a-c)(b-c)\geq 0$ với M, N lần lượt là: $\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $\frac{1}{ac}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Mà dễ dàng cm dc $M\geq 0,N\geq 0$
Ta có đpcm, dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?




#735931 $\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b}...

Gửi bởi Saturina trong 28-11-2022 - 12:44

Với mọi $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$$




#735872 $\sum^n_{k=0}{kP_n(k)}=n!$

Gửi bởi Saturina trong 24-11-2022 - 23:13

Cho số tự nhiên $n \ge 1$. Một hoán vị của tập $A= {1,2,3,...,n}$ được gọi là hoán vị bảo tồn $a \in A$ nếu như phần tử $a$ ở nguyên vị trí cũ của nó trong hoán vị mới. Kí hiệu $P_n(k)$ là số hoán vị bảo tồn đúng $k$ phần tử của $A$. Chứng minh rằng: $$\sum^n_{k=0}{kP_n(k)}=n!$$