HuyCubing

Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c\geqslant ab+bc+ca.$ Chứng minh rằng $$\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\leqslant \dfrac{3}{2}.$$

Tiếp tục là một đề ôn tập mức độ tỉnh/thành phố. Đa số các bài em tự chế lại, đề này chắc sẽ có độ khó cao hơn đề thi thật một tí.

- Xét $a=0$, thay vào, ta có $b^3-1$ là lũy thừa của 9. Đặt $b^3-1=9^n$ (n là số tự nhiên), khi đó, ta có $(b-1)(b^2+b+1)=9^n$. Mà $b^2+b+1\not\equiv 0(mod9)$ nên $b-1=9^n\Rightarrow b=9^n+1$
- Xét $a=1$, tương tự TH trên, ta có $b=9^n+1$
- Xét $a=2$, thay vào, ta có $b^3+1=9^k$ (k là số tự nhiên), khi đó, ta có $(b+1)(b^2-b+1)=9^k$. Mà $b^2-b+1\not\equiv 0(mod9)$ nên $b=9^k-1$
- Xét $a\geq 3\Rightarrow a!\vdots 6$. Khi đó, ta có $2^a!\equiv 1(mod9)$ nên $b^3-3\equiv -1(mod9)\Rightarrow b^3\equiv 2(mod9)$. Mà $b^3$ là số lập phương nên $b^3\equiv 0,1,8(mod9)$ (vô lí)
Vậy...

Bạn quên xét TH $k=0$ và chỗ suy ra $b-1=9^n$, $b+1= 9^n$ chưa ổn.

Cho bốn số thực dương $a,\,b,\,c,\,d.$ Chứng minh rằng $$\left( \dfrac{a}{a+b} \right)^4+ \left( \dfrac{b}{b+c} \right)^4 + \left( \dfrac{c}{c+d} \right)^4+ \left( \dfrac{d}{d+a} \right)^4 \geqslant \dfrac{1}{4}. $$

Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có $\large \sqrt{3a^2+b^2}=\dfrac{\sqrt{4b}\sqrt{\frac{3a^2}{b}+b}}{2}\leqslant \dfrac{4b+\frac{3a^2}{b}+b}{4}=\frac{3a^2}{4b}+\dfrac{5b}{4}.$

Suy ra $\dfrac{\sqrt{3a^2+b^2}}{2}\leqslant \frac{3a^2}{8b}+\dfrac{5b}{8}. $ Thực hiện tương tự rồi cộng các kết quả lại, ta được $$VP\leqslant \frac{3}{8}\sum \frac{a^2}{b} + \dfrac{5}{8}\sum a .$$

Do đó, ta chỉ cần chỉ ra $$\sum \dfrac{a^2}{b}\geqslant \frac{3}{8}\sum \frac{a^2}{b} + \dfrac{5}{8}\sum a, $$

hay là $$\sum \frac{a^2}{b} \geqslant \sum a.$$

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên  .

Mời mọi người tham khảo và đóng góp ý kiến cho một đề do em tự soạn ạ (một số bài được trích từ nhiều nguồn).