Đến nội dung

Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

Đăng ký: 25-11-2022
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 19:54
***--

Trong chủ đề: $a^2 + \left\lceil {\frac{4a^2}{b}} \right\...

27-03-2024 - 23:18

IMO Shortlist 2019 N8


Trong chủ đề: $4\left ( a^{n}+1 \right )$ là lập phương c...

22-02-2024 - 12:17

https://artofproblem...h368210p2026671

Trong chủ đề: Tổng 2 phần tử là số chính phương.

18-02-2024 - 10:39

Dạ em đã sửa ạ @perfectstrong @minhhaiproh


Trong chủ đề: Tổng 2 phần tử là số chính phương.

18-02-2024 - 02:05

Giả sử tồn tại tập $B$ có $50$ phần tử bất kỳ của $S$ sao cho không tìm được 2 số có tổng là số chính phương.

  • $3 \in B$ thì do $3+78=81 =9^2$ nên $78 \not \in B \implies 22 \in B$. Lại có $22;3 \in B; 22+3=25=5^2$, mâu thuẫn
  • $97 \in B$ thì do $97+99=196=14^3$ nên $99 \not \in B \implies 1 \in B$ Lại có $1+8=3^2;1+48=7^2 \implies 48;8 \not \in B \implies 92;52 \in B$ nhưng $92+52=12^2$ nên mâu thuẫn.
  • $3;97\not\in B$ thì tập B phải chứa đúng 1 phần tử trong 48 cặp $(k;100-k);k\in\{1;…;49\mid k\neq3\}$ và 2 số $50;100$. Nhưng $50+(100-69)=9^2;100+69=13^2$ nên $69;100-69 \not \in B$. Khi đó B ít hơn 50 phần tử.

Do đó giả sử sai.


Trong chủ đề: ​$(x+y\sqrt{5})^z=\sqrt{1+\sqrt{5...

18-02-2024 - 00:54

Bằng quy nạp, ta sẽ chứng minh $(x+y\sqrt5)^z=A+B\sqrt5$ với $A;B$ là số nguyên dương nào đó.

Thật vậy, trong trường hợp $z=1$ thì $A=x;B=y$.

Giả sử $(x+y\sqrt5)^i=A_i+B_i\sqrt5$ với mọi $i$ chạy từ $1$ đến $k$; $A_i;B_i$ là số nguyên dương.

Khi đó $(x+y\sqrt5)^{i+1}=(x+y\sqrt5)^i(x+y\sqrt5)=(A_i+B_i\sqrt5)(A_1+B_1\sqrt5)=(A_iA_1+5B_iB_1)+\sqrt5(B_iA_1+B_1A_i)$.

Do đó mệnh đề trên đúng với $i=k+1$. 

Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề trên luôn đúng.

Khi đó $A+B\sqrt5=\sqrt{1+\sqrt5} \implies \sqrt5(2AB-1)=1-A^2-5B^2$. Nhận thấy $2AB-1 \neq 0$ nên chú ý $A;B$ nguyên dương, khi đó $\sqrt5 \in \mathbb{Q}$, vô lý.

Do đó phương trình vô nghiệm