Đến nội dung

Thegooobs

Thegooobs

Đăng ký: 18-12-2022
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 13:53
-----

#744351 tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{e^...

Gửi bởi Thegooobs trong 24-03-2024 - 22:34

giải dùm e bài này với ạ 

 $\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{e^{sin 2x}-1-2x}{x^{2}} \right )$

Đây là dạng $\frac{0}{0}$ tại $x = 0$

Nhận thấy trên tử là hiệu 2 hàm tương đương nhau do vậy không thế tương đương được nên ta áp dụng quy tắc $\text{L'Hospital}$ được:

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(2x)}-1-2x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{\sin(2x)}-1-2x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\cdot e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-2}{2x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-1}{x}$$

Tới đây ta không sử dụng quy tắc $\text{L'Hospital}$ nữa (mặc dù hoàn toàn được và sẽ gọn hơn cách dưới đây) ta sẽ sử dụng hàm tương đương cụ thể là vô cùng bé tương đương.

Đâu tiên viết lại 

$$e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-1=\cos(2x)\cdot (e^{\sin(2x)}-1)+\cos(2x)-1$$

Sử dụng các cặp tương đương:

$$e^u -1\sim u \ \ \text{và} \ \ 1-\cos(u)\sim \dfrac{u^2}{2}$$

Kết hợp định lí

Định lý

Nếu $\lim_{x \to a}f(x)= \ell \ne 0$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim}\overline{g}(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \ell \cdot \overline{g}(x)$

Ta được

$$\cos(2x)\cdot (e^{\sin(2x)}-1) \stackrel{x \to 0}{\sim} 1\cdot 2x=2x$$

và 

$$ \cos(2x)-1 \stackrel{x \to 0}{\sim} -2x^2$$

Vì $-2x^2 \stackrel{x \to 0}{=} o(2x)$ nên

$$e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)-1=\cos(2x)\cdot (e^{\sin(2x)} -1)+\cos(2x)-1 \stackrel{x \to 0}{\sim} 2x -2x^2 \stackrel{x \to 0}{\sim} 2x$$

Vậy 

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\sin(2x)}\cdot \cos(2x) -1}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2x}{x}=2$$

Vậy đáp án cho giới hạn ban đầu là $2$




#744253 $\lim_{x \to 0^+}x^2\sum_{j=1}^{...

Gửi bởi Thegooobs trong 19-03-2024 - 21:08

$\left\lfloor \dfrac 1x\right\rfloor =n\Rightarrow \substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$
$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor} k=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac 12$

Tại sao lại suy ra $\substack{\displaystyle{x^2} \\ x\to 0^+}\sim \substack{\dfrac 1{n^2}\\ n\to +\infty}$? Thầy @hxthanh có thể giải thích không ạ ?




#744245 $\lim_{x \to 0^+}x^2\sum_{j=1}^{...

Gửi bởi Thegooobs trong 19-03-2024 - 12:22

Với $x \in \mathbb{R}$ thì $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (ta còn gọi $[x]$ là hàm số nguyên lớn nhất)

Từ đó tính giới hạn sau:

$$\lim_{x \to 0^+}x^2\left(1+2+...+\left[\dfrac{1}{x}\right]\right)$$




#744019 Các định lí, bổ đề, tính chất về vô cùng bé

Gửi bởi Thegooobs trong 07-03-2024 - 21:14

Sau quá trình học hỏi em có tổng kết ra một số định lí, bổ đề và tính chất về vô cùng bé em xin được trình bày để có thể lưu giữ nó trên diễn đàng và để các bạn có thể tham khảo mọi lúc, mọi nơi ạ

Phần I : CÁC ĐỊNH LÍ

Ta quy ước $a$ có thể là một số thực hoặc $\pm \infty$ hoặc $a^{\pm}$ (dành cho giới hạn một bên)

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $\lim_{ x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Nhận xét:

$1$. Đây là định lí quan trọng nhất trong việc ứng dụng vô cùng bé nó chuyển các giới hạn vô cùng phức tạp trở về các giới hạn đơn giản (thường là chứa đa thức).

$2$. Trong các giáo trình giải tích thường người ta giả sử giới hạn $\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$ phải tồn tại nhưng trong định lí mình nêu trên không yêu cầu điều đó nếu $\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$ không tồn tại thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ cũng không tồn tại nên để dấu bằng là phù hợp. 

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ thì $\lim_{x \to a}f(x)\cdot g(x) =\lim_{x \to a}u(x)\cdot g(x)$

Nhận xét:

Định lí này cho phép ta thế tương đương cho hàm $f$ để chuyển về giới hạn của $u\cdot g$ mà không cần quan tâm tới $g$

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x\to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Hệ quả
Nếu $f_i(x) \stackrel{x \to a}{\sim}g_i(x), \ i=1,2,3,...,n$ thì $\prod_{1 \leq i \leq n }f_i(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \prod_{1 \leq i \leq n}g_i(x)$

Đặc biệt nếu $f_i(x)=f(x)$ và $g_i(x)=g(x)$ với $i=1,2,3,...,n$ thì $f^n(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g^n(x)$

Nhận xét:

Đây là một định lí rất mạnh trong việc tìm vô cùng bé tương đương cho một tích và có thể áp dụng kết hợp với định lí $1$.

Định lý
Nếu $\lim_{x \to a}f(x)= \ell \ne 0$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \overline{g(x)}$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \ell\cdot\overline{g(x)}$

Nhận xét:

Định lí này cho phép ta tìm vô cùng bé tương đương cho một tích nhưng lúc này một hàm có giới hạn hữu hạn khác $0$ và một hàm số có vô cùng bé tương đương.

Chú ý: Khi $\ell =0$ thì không thể áp dụng định lí vì lúc này dẫn đến $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} 0$ và đều này là sai. Khi $\ell=0$ thì ta đang xét tích hai vô cùng bé nên ta hãy cố gắng áp dụng định lí $3$ sẽ khả thi hơn.

Định lý
Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}o(g(x))$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$

Hệ quả
Nếu $f_i(x)\stackrel{x \to a}{=}o(f_1(x)), i=2,3,...,n$ thì $\sum_{ 1 \leq i \leq n}f_i(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)$

Nhận xét:

Đây là một trong các định lí hay được dùng nhất vì nó cho phép ta tìm vô cùng bé tương đương của một tổng khi biết hàm số này bậc cao hơn hàm số kia, ngoài ra hệ quả của nó cũng nói rằng trong một tổng nếu tất cả các hàm số đều bậc cao hơn một hàm số $f_1$ nào đó thì tổng đó sẽ tương đương với $f_1$ hay nói ngắn gọn là tổng các vô cùng bé sẽ tương đương với vô cùng bé có bậc thấp nhất.

Định lý
Nếu $\begin{cases}u(x) \stackrel{x \to a}{\sim} k_1\cdot(x -a)^{\alpha}\\ v(x) \stackrel{x \to a}{\sim} k_2\cdot(x-a)^{\alpha}\end{cases}$ và $k_1, k_2 \ne 0 , k_1+k_2 \ne 0$ thì $u(x)+v(x) \stackrel{x \to a}{\sim}(k_1+k_2)\cdot(x-a)^{\alpha}$

Nhận xét:

Định lí này cho phép tìm vô cùng bé tương đương cho một tổng khi từng hàm số trong tổng tương đương với một hàm lũy thừa dạng $f(x)=k\cdot(x-a)^{\alpha}$. Tuy nhiên ta phải lưu ý tới điều kiện của $k_1, k_2$ trong định lí chúng phải khác 0 và tổng $k_1+k_2$ phải khác $0$. Nếu tổng của chúng bằng $0$ thì lúc này ta đang xét hiệu hai vô cùng bé tương khi đó có thể có vô cùng bé tương đương nhưng không dễ dàng tìm ra mà phải dùng các phương pháp mạnh hơn đó là khai triển $\text{Taylor, Maclaurin}$.

Định lý
Nếu $\begin{cases}f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x) \\ g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x) \end{cases}$ và $\text{sign}(u(x))=\text{sign}(v(x))$ trong một lân cận của $a$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)+v(x)$

Để hiểu đúng định lí ta quy ước như sau:

Khi $a$ là số thực thì lân cận của $a$ lúc này là lân cận thủng $(a-\delta,a+\delta) \setminus \{a\}$

Khi $a$ là $\infty$ (tương ứng $-\infty$) thì lân cận của $a$ lúc này là một khoảng mở dạng $(c, \infty)$ (tương ứng $(-\infty,c)$ )

Khi $a$ dạng $a^{+}$ (tương ứng $a^{-}$) thì lân cận của $a$ lúc này là khoảng mở dạng $(a,a+\delta)$ (tương ứng $(a-\delta,a)$) 

Với $\delta >0$ và $c$ là số thực

P/s: Định lí này em tìm được trên diendantoanhoc.org nhưng nó phát biểu dưới dạng $u,v$ cùng dấu trong một lân cận của $a$ nhưng em thấy nói như vậy sẽ dễ dẫn đến hiểu nhầm là cùng dương hoặc cùng âm nhưng thực tế không phải vậy nên em sử dụng hàm $\text{signum}$ để mô tả một cách rõ ràng điều kiện cùng dấu.

Nhận xét: 

Tiếp tục là một định lí để tìm vô cùng bé tương đương cho tổng nhưng lúc này ta xét dấu của các vô cùng bé.

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} g(x)$ và $\lim_{x \to a}u(x)=0$ thì $f(u(x)) \stackrel{x \to a}{\sim}g(u(x))$

Nhận xét:

Đây là một định lí giúp ta tìm được một vô cùng bé tương đương hàm hợp $f \circ u $ từ đó ta có các vô cùng bé tương đương $\sin u \sim u$, $\tan u \sim u$, $\ln(1+u) \sim u$,.... 

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$ và $g(x)=h(x)$ trong một lân cận của $a$ thì $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} h(x)$

Quy ước lân cận của $a$ tương tự định lí $7$

Nhận xét:

Định lí cho phép thay thế hàm $g$ bằng một hàm số $h$ miễn là $g=h$ trong một lân cận của $a$

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim}g(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} h(x)$ thì $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim}h(x)$

Nhận xét:

 Định lí này rất hay nó cho phép ta thực hiện quy tắc "bắt cầu" cho vô cùng bé tương đương ngoài ra ta có thể mở rộng định lí này khi $g=O(h)$($g$ cùng bậc với $h$), $g=o(h)$ ($g$ bậc cao hơn $h$) và $g$ không so sánh được với $h$

Phần II: CÁC BỔ ĐỀ

Bổ đề
Hiệu hai vô cùng bé tương đương là một vô cùng bé bậc cao hơn cả 2 vô cùng bé đó

Chứng minh (proof):

Cho $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$.

Xét giới hạn

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}-1\right)=1-1=0$$

Chứng minh tương tự cho $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)- g(x)}{f(x)}$

Bổ đề
Tích hai vô cùng bé cùng bậc là một vô cùng bé bậc cao hơn hai vô cùng bé đó

Chứng minh (proof):

Cho $f(x)\stackrel{x \to a}{=}O(g(x))$

Xét giới hạn

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{g(x)}$$

Vì $f=O(g)$ nên $g \ne 0$ trong một lân cận của $a$ nên 

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}f(x)=0$$

Chứng minh tương tự cho $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{f(x)}$

Nhận xét: 

Trong định lí có in đậm chữ "cùng bậc" bởi vì nếu nói tích 2 vô cùng bé là một vô cùng bé bậc cao hơn chúng thì chưa chắc đúng vì không chắc rằng $f$ hoặc $g \ne 0$ trong một lân cận của $a$ dẫn đến ta không thể triệt tiêu $g(x)$ (hoặc $f(x)$ ) như trên và định lí có thể sẽ sai.

Lấy ví dụ: $x$ và $x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ là hai vô cùng bé khi $x \to 0$ nhưng tích hai vô cùng bé đó $x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ lại không so sánh được với $x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$  khi $ x \to 0$ vì hàm số 

$$f(x)=\dfrac{x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}$$ không thể xác định trong một lân cận thủng của $0$

Theo định nghĩa giới hạn thì 

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}$$ 

không tồn tại

Bổ đề
$\lim_{x \to a}f(x)=\ell \Longleftrightarrow \alpha(x)=f(x)-\ell$ là vô cùng bé khi $x \to a$

Phần III: CÁC TÍNH CHẤT 

Phần này em để cuối vì phần định lí là rất quan trọng nên sẽ để ở đầu, mục đích em đưa thêm phần tính chất vào đây là để cho các bạn một vài tính chất quan trọng của vô cùng bé bởi vì để sử dụng tốt các định lí trên thì không thể bỏ qua các tính chất

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là 2 vô cùng bé khi $ x \to a$ khi đó 

Mệnh đề
$\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x)$ là một vô cùng bé khi $x \to a$ $(\alpha,\beta \in \mathbb{R})$

Mệnh đề
Nếu $u(x)$ là một hàm số bị chặn trong một lân cận của $a$ thì $f(x)\cdot u(x)$ là vô cùng bé $ x \to a$

Mệnh đề
Tổng hữu hạn và tích hữu hạn các vô cùng bé khi $x \to a$ là một vô cùng bé khi $ x \to a$

Ngoài ra, tổng hiệu hai vô cùng bé tương đương cũng là một chủ đề hay các bạn có thể tham khảo ở đây .

Cập nhật:

8/3/2024, 11:53 AM: Chỉnh sửa định lí $10$: Sửa nội dung định lí và bỏ phần hệ quả.




#743961 Tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{1+...

Gửi bởi Thegooobs trong 04-03-2024 - 17:40

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{1+xtanx} - cos(sinx)}{sin(tanx)}$

 

Dạng vô định $\dfrac{0}{0}$

Ở đây không dùng quy tắc $\text{L'Hospital}$ bởi vì hàm quá phức tạp, ta sẽ sử dụng một công cụ tương đối mạnh đó là vô cùng bé tương đương.

Đặt giới hạn cần tính là $\ell$ và

$$\ell=\lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x\tan(x))^{\frac{1}{5}}-1+1-\cos(\sin(x))}{\sin(\tan(x))}$$

Sử dụng các cặp vô cùng bé sau:

$$(1+u)^{\alpha}-1 \sim \alpha\cdot u,\ \sin(u) \sim u,\ \tan(u)\sim u\ \text{khi}\ u \to 0\  \text{trong một quá trình} \to a$$

Ta được:

$$(1+x\tan(x))^{\frac{1}{5}}-1 \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{1}{5}x\tan(x)\stackrel{x \to 0}{\sim}\dfrac{1}{5}x^2$$

$$1-\cos(\sin(x)) \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{1}{2}\sin^2(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{1}{2}x^2$$

$$\sin(\tan(x))\stackrel{x \to 0}{\sim} \tan(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} x$$

Thế vào ta được:

$$\ell=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{1}{2}x^2}{x}=0$$

Nhận xét: Ở đây mình thế vô cùng bé tương đương cho tổng hai vô cùng bé vì chúng cùng bậc nhưng không rơi vào các trường hợp "nguy hiểm" của tổng hai vô cùng bé cụ thể trong bài viết về tổng và hiệu 2 vô cùng bé có nói kĩ về vấn đề này.




#743955 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{8^{x}-7^{x}}{6^{x}-5^{x}}$

Gửi bởi Thegooobs trong 03-03-2024 - 23:47

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{8^{x}-7^{x}}{6^{x}-5^{x}}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề :)

Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ tại $x=0$ ta sử dụng quy tắc $\text{L'hospital}$ với đạo hàm của hàm $a^x$ là 

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(a^x)=a^x\cdot\ln(a)$$

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{8^x-7^x}{6^x-5^x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{8^x\cdot\ln(8)-7^x\cdot\ln(7)}{6^x\cdot\ln(6)-5^x\cdot\ln(5)}=\dfrac{\ln(8)-\ln(7)}{\ln(6)-\ln(5)}=\log_{\frac{6}{5}}^{\frac{8}{7}}$$

Ngoài ra ta có thể sử dụng vô cùng bé tương đương

$$a^x-1 \stackrel{x \to 0}{\sim x}\cdot\ln(a)$$

Nhận xét chút xíu:

Dùng quy tắc $\text{L'Hospital}$ có vẻ gọn và đẹp hơn sử dụng vô cùng bé tương đương vì trong bài ta còn phải thế tương đương cho tổng hai vô cùng bé. Qua đó thấy được quy tắc $\text{L'Hospital}$ rất mạnh trong việc khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.




#743941 Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}\left (...

Gửi bởi Thegooobs trong 02-03-2024 - 23:23

Sử dụng vô cùng bé, tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{1+sinxcos2x}{1+sinxcos3x} \right )^{cot^3x}$

Dạng vô định: $1^{\infty}$ nên ta sẽ chuyển về dạng $1^{\infty}=e^{\ln 1^{\infty}}=e^{0\cdot\infty}$

Đặt giới hạn cần tính là $I$

$$I=\lim_{x \to 0}e^{\cot^3x\cdot\ln\left(\frac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}\right)}$$

Lúc này tính giới hạn của mũ:

Trong đây có sử dụng các vô cùng bé tương đương dành cho hàm hợp:

$$\sin u \sim u , \ln(1+u) \sim u \ \text{khi}\  x \to a \ \text{nếu} \  u \to 0 \ \text{và} \ u \ne 0 \ \text{khi}\  x \to a$$

và công thức lượng giác quen thuộc
$$\cos(x)-\cos(y)=-2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$$

\begin{align*}M=\lim_{x \to 0}\cot^3x\cdot\ln\left(\frac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}\right) & =\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos^3x\cdot\ln\left(1+\dfrac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}-1\right)}{\sin^3x} \\&=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}-1}{\sin^3x}\\ &=\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos(2x)-\cos(3x)}{\left(1+\sin(x)\cdot\cos(3x)\right)\cdot\sin^2(x)}\\&=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\sin\left(\dfrac{5x}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin^2(x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\cdot\dfrac{5x}{2}\cdot\dfrac{x}{2}}{x^2}=\dfrac{5}{2}\end{align*}

Vậy $I=e^M=e^\frac{5}{2}$




#743896 $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^{2}}{sin\pi x }$

Gửi bởi Thegooobs trong 29-02-2024 - 13:43

1,Tìm giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương

$\lim_{x\rightarrow \infty }$$\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$ biết n$\in$N và n $\geq$ 2

2, Tìm giới hạn hàm số

a,$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1-x^{2}}{sin\pi x }$

b,$\lim_{x\rightarrow +\infty }(cos\frac{x}{m})^{m}$

1. Đây là dạng vô định $\dfrac{\infty}{\infty}$ không dễ để dùng vô cùng bé ở đây mình dùng cách đổi biến 

Đặt $\sqrt{1+x}=y \Rightarrow x=y^n-1$ và $ y \to \lim_{x \to \infty}\sqrt{1+x}=\infty$ khi đó ta tính giới hạn

$$\lim_{y \to \infty}\dfrac{y}{y^n-1}$$

Áp dụng quy tắc $\text{L'hospital}$ ta được

$$\lim_{y \to \infty}\dfrac{y}{y^n-1}=\lim_{y \to \infty}\dfrac{1}{n\cdot y^{n-1}}=0$$

Vậy

$$\lim_{x \to \infty}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}=0$$

2. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ nhưng lúc này $ x \to 1$ để đơn giản ta đổi biến để quá trình trở thành $y \to 0$ để áp dụng các vô cùng bé tương đương khi $y \to 0$

Đặt $y=x-1$ khi đó $y \to \lim_{x \to 1}(x-1)=0$

Khi đó ta tính giới hạn

$$\lim_{y \to 0}\dfrac{1-(y+1)^2}{\sin(\pi\cdot y+\pi)}$$

Sử dụng công thức:

$$\sin(x+y)=\sin(x)\cdot\cos(y)+\cos(x)\cdot\sin(y)$$ ta được:

$$\lim_{y \to 0}\dfrac{1-(y+1)^2}{\sin(\pi\cdot y+\pi)}=\lim_{y \to 0}\dfrac{-y^2-2y}{\sin(\pi\cdot y)\cdot\cos(\pi)+\cos(\pi\cdot y)\cdot\sin(\pi)}=\lim_{y \to 0}\dfrac{y^2+2y}{\sin(\pi \cdot y)}=\lim_{y \to 0}\dfrac{y^2+2y}{\pi \cdot y}=\dfrac{2}{\pi}$$




#743887 Tìm vô cùng bé tương đương của tổng hiệu hai vô cùng bé

Gửi bởi Thegooobs trong 28-02-2024 - 23:03

Mở đầu ta xem xét định lí sau:

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Qua định lí này ta thấy rằng dễ dàng tìm vô cùng bé tương đương cho một tích bằng thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số nhưng đối với tổng hoặc hiệu thì điều này trở nên "nguy hiểm". Ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ
Ta biết $\tan x \stackrel {x \to 0}{\sim} x$ và $x \stackrel{x \to 0}{\sim} x$ nhưng $\tan x - x \stackrel{x \to 0}{\not\sim} x- x =0$ nhưng trên thực tế $\tan x -x \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^3}{3}$

Ví dụ
Ta có thể chứng minh được rằng $ x \stackrel{x \to 0}{\sim} \sin x$ và $\sin x \stackrel{x \to 0}{\sim} \arctan x$ và phép thế $x - \sin x \stackrel{x \to 0}{\sim} \sin x - \arctan x$
là đúng 

Qua đây ta thấy thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số trong một hiệu rất "nguy hiểm" có thể đúng hoặc cũng có thể sai. Vậy khi nào có thể thay tương đương cho hiệu hoặc tổng hai vô cùng bé ? Ở đây mình sẽ trình bày những gì mình biết để cho các bạn có thể có đa dạng cách tiếp cận khi thế tương đương cho tổng hoặc hiệu hai vô cùng bé.

Cách tiếp cận I

Cho $f,g$ là 2 vô cùng bé khi $x \to a$ và $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)$, $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g_1(x)$

Xét giới hạn

$$\ell = \lim_{ x \to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{f_1(x)-g_1(x)}=\lim_{x \to a}\left(\dfrac{\dfrac{f(x)}{g_(x)}-1}{\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}-1} \cdot \dfrac{g(x)}{g_1(x)}\right)=\lim_{x \to a}\dfrac{{\dfrac{f(x)}{g(x)}-1}}{{\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}-1}}$$

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}o(g(x))$ thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=0$ dẫn đến $\ell =1$ do vậy

$$f(x) - g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x) -g_1(x)$$

Tương tự khi $g(x)\stackrel{x \to a}{=}o(f(x))$ 

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}O(g(x))$ (nhưng không tương đương) thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=A \ne 1$ dẫn đến $\ell=\dfrac{A-1}{A-1}=1$ do vậy

$$f(x)-g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)-g_1(x)$$

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$  thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=1$ dẫn đến giới hạn $\ell$ là một dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ khi đó $\ell$ có thể hữu hạn hoặc vô cùng hoặc không tồn tại nên chưa chắc

$$f(x)-g(x) \stackrel{x\to a}{\sim } f_1(x)-g_1(x)$$

Tương tự khi $f(x)$ không so sánh được với $g(x)$ hoặc $g(x)$ không so sánh được với $f(x)$ thì giới hạn $\ell$ có thể là hữu hạn, vô cùng hoặc không tồn tại và kết luận giống khi $f \sim g$

Kết luận: 

$1$.Ta có thể thế tương đương cho từng hàm số trong 1 hiệu hai vô cùng bé khi chúng không rơi vào trường hợp tương đương hay không so sánh được.

$2$. Khi chúng tương đương hay không so sánh được thì việc thế chưa chắc đã đúng

Khi xét cho tổng hai vô cùng bé ta có thể chuyển về hiệu 2 vô cùng bé $f(x)+g(x)=f(x)-\left(-g(x)\right)$

hoặc nếu ta không muốn xét $f$ và $-g$ thì có thể tiếp cận như trên các kết luận đều tương tự nhưng khác ở kết luận $2$ một chút ở chỗ khi $f \sim -g$ thì việc thế tương đương chưa chắc đúng chứ không phải là khi $f \sim g$

Cách tiếp cận II

Có một định lí để tìm vô cùng bé cho một tổng khá hay

Trong định lí ta dùng hàm $\text{signum}$ (hàm dấu) được định nghĩa như sau:

$$\text{sign}(x)=\begin{cases} \ 1 ,  \ x>0 \\ \ 0, \ x=0 \\ -1, x<0 \end{cases}$$

Định lý

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$, $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ và $\text{sign}\left(u(x)\right)=\text{sign}\left(v(x)\right)$ trong 1 lân cận thủng $(a-\delta,a+\delta) \setminus \{a\}$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)+v(x)$




#743824 Vấn đề về định nghĩa 2 vô cùng bé không so sánh được

Gửi bởi Thegooobs trong 24-02-2024 - 22:40

Định nghĩa
Nếu $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ không tồn tại thì $f(x)$ và $g(x)$ là hai vô cùng bé không so sánh được khi $x$ tiến đến $a$

Em tìm ra được vấn đề sau về định nghĩa trên:

Vấn đề:

$1$.Ta có $x^2, x^3$ là 2 vô cùng bé khi $x \to 0$ và $x^3=o\left(x^2\right)$ tức $x^3$ là vô cùng bé bậc cao hơn $x^2$ khi $x \to 0$ 

$2$.$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{x^3}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ và giới hạn $\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ không tồn tại cho nên $\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{x^3}$ không tồn tại theo định nghĩa trên thì $x^2,x^3$ là hai vô cùng bé không so sánh được khi $x \to 0$

Hai kết luận trên nghe có vẻ không phụ hợp với nhau.

Anh chị nghĩ sau về cái này ạ ? Có nên định nghĩa lại không ạ ?




#743799 $\forall \varepsilon ,\exists N= N\left ( \vare...

Gửi bởi Thegooobs trong 23-02-2024 - 21:01

 : $\forall \varepsilon ,\exists N= N\left ( \varepsilon \right )\epsilon \mathbb{N}$ có nghĩa là gì vậy ạ 

Bạn phải viết $N\left(\varepsilon\right) \epsilon \mathbb{N}$ thành $ N\left(\varepsilon\right) \in \mathbb{N}$ 

và điều này nghĩa là 

Với mọi số $\varepsilon$ luôn tồn tại một số tự nhiên $N$ (phụ thuộc vào $\varepsilon$) 

Đây là một phần của định nghĩa giới hạn dãy số.

$$\lim_{n \to \infty}u_n= \ell \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists N_0 \in \mathbb{N}$$ sao cho $$\forall n\in \mathbb{N}, n >N_0 \Rightarrow |u_n - \ell|<\varepsilon$$




#743797 $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}...

Gửi bởi Thegooobs trong 23-02-2024 - 20:42

Tìm một dãy số nguyên $\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$ sao cho $u_1$ lẻ, $u_2$ lẻ, $u_3$ chẵn , $u_4$ chẵn, $u_5$ lẻ, $u_6$ lẻ, $u_7$ chẵn, $u_8$ chẵn ...
————
Nghe dãy số nguyên thì hợp lý hơn!
Có vô vàn dãy như thế, $u_n=\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}\right\rfloor$ chẳng hạn




#743776 Vấn đề với công thức $\lim_{x\to a}\left[f(x)...

Gửi bởi Thegooobs trong 22-02-2024 - 13:30

Để tính giới hạn của hàm hợp hàm $x^p$ em tìm được công thức sau

$$\lim_{x\to a}\left[f(x)\right]^p=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^p, p \in \mathbb{R}$$

Cho hỏi một câu sau:

Nếu đã xét $p$ là một số thực bất kì thì công thức này sẽ đúng khi $\lim_{x \to a}f(x)>0$ còn khi $\lim_{x \to a}f(x)\leq 0$ thì chỉ đúng với một số giá trị của $p$ thôi đúng không ạ ?

Công thức em đọc ở đây:

Power Rule.png

Dạ với anh/chị nào biết tiếng Anh thì giúp em dịch lại mục Power Rule với ạ ? Em đọc có mấy chỗ không hiểu.

Em xin cảm ơn.




#743764 $\lim _{x \to 0} (cos3x)^{\frac{1...

Gửi bởi Thegooobs trong 21-02-2024 - 20:22

Tìm lim của:

$\lim _{x \to 0} (cos3x)^{\frac{1}{(sinx)^2}}$

Dạng vô định: $1^{\infty} $

Ta có thể viết lại thành: $1^{\infty}=e^{\ln(1^{\infty})}=e^{\infty.0}$. Điều này gợi ý ta dùng cơ số $e$ để chuyển giới hạn về dạng vô định $0.\infty$ vậy ta làm như sau:

$$L=\lim_{x\to 0}(\cos 3x)^{\dfrac{1}{\sin^2x}}=\lim_{x \to 0}e^{\dfrac{\ln(\cos 3x)}{\sin^2x}}$$

Ta tính giới hạn:

$$L'=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(\cos 3x)}{\sin^2x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\cos 3x -1)}{\sin^2x}$$

Sử dụng vô cùng bé (infinitesimal)

$$\sin^2x \stackrel{x \to 0}{\sim} x^2$$

$$\ln(1+\cos 3x -1) \stackrel{x\to 0}{\sim} \cos3x-1=-(1-\cos 3x) \stackrel{x\to 0}{\sim} -\dfrac{1}{2}(3x)^2$$

Thế vô cùng bé tương đương:

$$L'=\lim_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{2}(3x)^2}{x^2}=-\dfrac{9}{2}$$

Sử dụng công thức giới hạn lũy thừa mũ:

$$ \lim_{x\to a}b^{f(x)}= b^{\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)}, b>0$$

Ta sẽ có $L=e^{-\frac{9}{2}}$.




#743700 $ f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ không chẵn cũng không lẻ

Gửi bởi Thegooobs trong 18-02-2024 - 19:35

Ta biết rằng

- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số chẵn khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=f(-x), \forall x \in D \end{cases}$

- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số lẻ khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=-f(-x), \forall x \in D \end{cases}$.

 

Dễ thấy hàm số đề bài cho có $D=(-\infty,-1)\cup (-1,+\infty)$ mà $1\in D$ nhưng $-1\in D$. Vậy hàm số đã cho không chẵn cũng không lẻ.

Em nghĩ là $1 \in D$ nhưng $-1 \notin D $ mới đúng ạ !