Thegooobs

Với $x \in \mathbb{R}$ thì $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (ta còn gọi $[x]$ là hàm số nguyên lớn nhất)

Từ đó tính giới hạn sau:

$$\lim_{x \to 0^+}x^2\left(1+2+...+\left[\dfrac{1}{x}\right]\right)$$

Sau quá trình học hỏi em có tổng kết ra một số định lí, bổ đề và tính chất về vô cùng bé em xin được trình bày để có thể lưu giữ nó trên diễn đàng và để các bạn có thể tham khảo mọi lúc, mọi nơi ạ

Phần I : CÁC ĐỊNH LÍ

Ta quy ước $a$ có thể là một số thực hoặc $\pm \infty$ hoặc $a^{\pm}$ (dành cho giới hạn một bên)

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $\lim_{ x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$

Nhận xét:

$1$. Đây là định lí quan trọng nhất trong việc ứng dụng vô cùng bé nó chuyển các giới hạn vô cùng phức tạp trở về các giới hạn đơn giản (thường là chứa đa thức).

$2$. Trong các giáo trình giải tích thường người ta giả sử giới hạn $\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$ phải tồn tại nhưng trong định lí mình nêu trên không yêu cầu điều đó nếu $\lim_{x \to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$ không tồn tại thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ cũng không tồn tại nên để dấu bằng là phù hợp. 

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ thì $\lim_{x \to a}f(x)\cdot g(x) =\lim_{x \to a}u(x)\cdot g(x)$

Nhận xét:

Định lí này cho phép ta thế tương đương cho hàm $f$ để chuyển về giới hạn của $u\cdot g$ mà không cần quan tâm tới $g$

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x\to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Nếu $f_i(x) \stackrel{x \to a}{\sim}g_i(x), \ i=1,2,3,...,n$ thì $\prod_{1 \leq i \leq n }f_i(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \prod_{1 \leq i \leq n}g_i(x)$

Đặc biệt nếu $f_i(x)=f(x)$ và $g_i(x)=g(x)$ với $i=1,2,3,...,n$ thì $f^n(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g^n(x)$

Nhận xét:

Đây là một định lí rất mạnh trong việc tìm vô cùng bé tương đương cho một tích và có thể áp dụng kết hợp với định lí $1$.

Nếu $\lim_{x \to a}f(x)= \ell \ne 0$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \overline{g(x)}$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} \ell\cdot\overline{g(x)}$

Nhận xét:

Định lí này cho phép ta tìm vô cùng bé tương đương cho một tích nhưng lúc này một hàm có giới hạn hữu hạn khác $0$ và một hàm số có vô cùng bé tương đương.

Chú ý: Khi $\ell =0$ thì không thể áp dụng định lí vì lúc này dẫn đến $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} 0$ và đều này là sai. Khi $\ell=0$ thì ta đang xét tích hai vô cùng bé nên ta hãy cố gắng áp dụng định lí $3$ sẽ khả thi hơn.

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}o(g(x))$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$

Nếu $f_i(x)\stackrel{x \to a}{=}o(f_1(x)), i=2,3,...,n$ thì $\sum_{ 1 \leq i \leq n}f_i(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)$

Nhận xét:

Đây là một trong các định lí hay được dùng nhất vì nó cho phép ta tìm vô cùng bé tương đương của một tổng khi biết hàm số này bậc cao hơn hàm số kia, ngoài ra hệ quả của nó cũng nói rằng trong một tổng nếu tất cả các hàm số đều bậc cao hơn một hàm số $f_1$ nào đó thì tổng đó sẽ tương đương với $f_1$ hay nói ngắn gọn là tổng các vô cùng bé sẽ tương đương với vô cùng bé có bậc thấp nhất.

Nếu $\begin{cases}u(x) \stackrel{x \to a}{\sim} k_1\cdot(x -a)^{\alpha}\\ v(x) \stackrel{x \to a}{\sim} k_2\cdot(x-a)^{\alpha}\end{cases}$ và $k_1, k_2 \ne 0 , k_1+k_2 \ne 0$ thì $u(x)+v(x) \stackrel{x \to a}{\sim}(k_1+k_2)\cdot(x-a)^{\alpha}$

Nhận xét:

Định lí này cho phép tìm vô cùng bé tương đương cho một tổng khi từng hàm số trong tổng tương đương với một hàm lũy thừa dạng $f(x)=k\cdot(x-a)^{\alpha}$. Tuy nhiên ta phải lưu ý tới điều kiện của $k_1, k_2$ trong định lí chúng phải khác 0 và tổng $k_1+k_2$ phải khác $0$. Nếu tổng của chúng bằng $0$ thì lúc này ta đang xét hiệu hai vô cùng bé tương khi đó có thể có vô cùng bé tương đương nhưng không dễ dàng tìm ra mà phải dùng các phương pháp mạnh hơn đó là khai triển $\text{Taylor, Maclaurin}$.

Nếu $\begin{cases}f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x) \\ g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x) \end{cases}$ và $\text{sign}(u(x))=\text{sign}(v(x))$ trong một lân cận của $a$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)+v(x)$

Để hiểu đúng định lí ta quy ước như sau:

Khi $a$ là số thực thì lân cận của $a$ lúc này là lân cận thủng $(a-\delta,a+\delta) \setminus \{a\}$

Khi $a$ là $\infty$ (tương ứng $-\infty$) thì lân cận của $a$ lúc này là một khoảng mở dạng $(c, \infty)$ (tương ứng $(-\infty,c)$ )

Khi $a$ dạng $a^{+}$ (tương ứng $a^{-}$) thì lân cận của $a$ lúc này là khoảng mở dạng $(a,a+\delta)$ (tương ứng $(a-\delta,a)$) 

Với $\delta >0$ và $c$ là số thực

P/s: Định lí này em tìm được trên diendantoanhoc.org nhưng nó phát biểu dưới dạng $u,v$ cùng dấu trong một lân cận của $a$ nhưng em thấy nói như vậy sẽ dễ dẫn đến hiểu nhầm là cùng dương hoặc cùng âm nhưng thực tế không phải vậy nên em sử dụng hàm $\text{signum}$ để mô tả một cách rõ ràng điều kiện cùng dấu.

Nhận xét: 

Tiếp tục là một định lí để tìm vô cùng bé tương đương cho tổng nhưng lúc này ta xét dấu của các vô cùng bé.

Nếu $f(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} g(x)$ và $\lim_{x \to a}u(x)=0$ thì $f(u(x)) \stackrel{x \to a}{\sim}g(u(x))$

Nhận xét:

Đây là một định lí giúp ta tìm được một vô cùng bé tương đương hàm hợp $f \circ u $ từ đó ta có các vô cùng bé tương đương $\sin u \sim u$, $\tan u \sim u$, $\ln(1+u) \sim u$,.... 

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$ và $g(x)=h(x)$ trong một lân cận của $a$ thì $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} h(x)$

Quy ước lân cận của $a$ tương tự định lí $7$

Nhận xét:

Định lí cho phép thay thế hàm $g$ bằng một hàm số $h$ miễn là $g=h$ trong một lân cận của $a$

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim}g(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} h(x)$ thì $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim}h(x)$

Nhận xét:

 Định lí này rất hay nó cho phép ta thực hiện quy tắc "bắt cầu" cho vô cùng bé tương đương ngoài ra ta có thể mở rộng định lí này khi $g=O(h)$($g$ cùng bậc với $h$), $g=o(h)$ ($g$ bậc cao hơn $h$) và $g$ không so sánh được với $h$

Phần II: CÁC BỔ ĐỀ

Hiệu hai vô cùng bé tương đương là một vô cùng bé bậc cao hơn cả 2 vô cùng bé đó

Chứng minh (proof):

Cho $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$.

Xét giới hạn

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}-1\right)=1-1=0$$

Chứng minh tương tự cho $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)- g(x)}{f(x)}$

Tích hai vô cùng bé cùng bậc là một vô cùng bé bậc cao hơn hai vô cùng bé đó

Chứng minh (proof):

Cho $f(x)\stackrel{x \to a}{=}O(g(x))$

Xét giới hạn

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{g(x)}$$

Vì $f=O(g)$ nên $g \ne 0$ trong một lân cận của $a$ nên 

$$\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}f(x)=0$$

Chứng minh tương tự cho $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)\cdot g(x)}{f(x)}$

Nhận xét: 

Trong định lí có in đậm chữ "cùng bậc" bởi vì nếu nói tích 2 vô cùng bé là một vô cùng bé bậc cao hơn chúng thì chưa chắc đúng vì không chắc rằng $f$ hoặc $g \ne 0$ trong một lân cận của $a$ dẫn đến ta không thể triệt tiêu $g(x)$ (hoặc $f(x)$ ) như trên và định lí có thể sẽ sai.

Lấy ví dụ: $x$ và $x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ là hai vô cùng bé khi $x \to 0$ nhưng tích hai vô cùng bé đó $x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ lại không so sánh được với $x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$  khi $ x \to 0$ vì hàm số 

$$f(x)=\dfrac{x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}$$ không thể xác định trong một lân cận thủng của $0$

Theo định nghĩa giới hạn thì 

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}$$ 

không tồn tại

$\lim_{x \to a}f(x)=\ell \Longleftrightarrow \alpha(x)=f(x)-\ell$ là vô cùng bé khi $x \to a$

Phần III: CÁC TÍNH CHẤT 

Phần này em để cuối vì phần định lí là rất quan trọng nên sẽ để ở đầu, mục đích em đưa thêm phần tính chất vào đây là để cho các bạn một vài tính chất quan trọng của vô cùng bé bởi vì để sử dụng tốt các định lí trên thì không thể bỏ qua các tính chất

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là 2 vô cùng bé khi $ x \to a$ khi đó 

$\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x)$ là một vô cùng bé khi $x \to a$ $(\alpha,\beta \in \mathbb{R})$

Nếu $u(x)$ là một hàm số bị chặn trong một lân cận của $a$ thì $f(x)\cdot u(x)$ là vô cùng bé $ x \to a$

Tổng hữu hạn và tích hữu hạn các vô cùng bé khi $x \to a$ là một vô cùng bé khi $ x \to a$

Ngoài ra, tổng hiệu hai vô cùng bé tương đương cũng là một chủ đề hay các bạn có thể tham khảo ở đây .

Cập nhật:

8/3/2024, 11:53 AM: Chỉnh sửa định lí $10$: Sửa nội dung định lí và bỏ phần hệ quả.

Mở đầu ta xem xét định lí sau:

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Qua định lí này ta thấy rằng dễ dàng tìm vô cùng bé tương đương cho một tích bằng thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số nhưng đối với tổng hoặc hiệu thì điều này trở nên "nguy hiểm". Ta xét ví dụ sau đây

Ta biết $\tan x \stackrel {x \to 0}{\sim} x$ và $x \stackrel{x \to 0}{\sim} x$ nhưng $\tan x - x \stackrel{x \to 0}{\not\sim} x- x =0$ nhưng trên thực tế $\tan x -x \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^3}{3}$

Ta có thể chứng minh được rằng $ x \stackrel{x \to 0}{\sim} \sin x$ và $\sin x \stackrel{x \to 0}{\sim} \arctan x$ và phép thế $x - \sin x \stackrel{x \to 0}{\sim} \sin x - \arctan x$

là đúng 

Qua đây ta thấy thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số trong một hiệu rất "nguy hiểm" có thể đúng hoặc cũng có thể sai. Vậy khi nào có thể thay tương đương cho hiệu hoặc tổng hai vô cùng bé ? Ở đây mình sẽ trình bày những gì mình biết để cho các bạn có thể có đa dạng cách tiếp cận khi thế tương đương cho tổng hoặc hiệu hai vô cùng bé.

Cách tiếp cận I

Cho $f,g$ là 2 vô cùng bé khi $x \to a$ và $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)$, $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g_1(x)$

Xét giới hạn

$$\ell = \lim_{ x \to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{f_1(x)-g_1(x)}=\lim_{x \to a}\left(\dfrac{\dfrac{f(x)}{g_(x)}-1}{\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}-1} \cdot \dfrac{g(x)}{g_1(x)}\right)=\lim_{x \to a}\dfrac{{\dfrac{f(x)}{g(x)}-1}}{{\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}-1}}$$

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}o(g(x))$ thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=0$ dẫn đến $\ell =1$ do vậy

$$f(x) - g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x) -g_1(x)$$

Tương tự khi $g(x)\stackrel{x \to a}{=}o(f(x))$ 

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}O(g(x))$ (nhưng không tương đương) thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=A \ne 1$ dẫn đến $\ell=\dfrac{A-1}{A-1}=1$ do vậy

$$f(x)-g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)-g_1(x)$$

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$  thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=1$ dẫn đến giới hạn $\ell$ là một dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ khi đó $\ell$ có thể hữu hạn hoặc vô cùng hoặc không tồn tại nên chưa chắc

$$f(x)-g(x) \stackrel{x\to a}{\sim } f_1(x)-g_1(x)$$

Tương tự khi $f(x)$ không so sánh được với $g(x)$ hoặc $g(x)$ không so sánh được với $f(x)$ thì giới hạn $\ell$ có thể là hữu hạn, vô cùng hoặc không tồn tại và kết luận giống khi $f \sim g$

Kết luận: 

$1$.Ta có thể thế tương đương cho từng hàm số trong 1 hiệu hai vô cùng bé khi chúng không rơi vào trường hợp tương đương hay không so sánh được.

$2$. Khi chúng tương đương hay không so sánh được thì việc thế chưa chắc đã đúng

Khi xét cho tổng hai vô cùng bé ta có thể chuyển về hiệu 2 vô cùng bé $f(x)+g(x)=f(x)-\left(-g(x)\right)$

hoặc nếu ta không muốn xét $f$ và $-g$ thì có thể tiếp cận như trên các kết luận đều tương tự nhưng khác ở kết luận $2$ một chút ở chỗ khi $f \sim -g$ thì việc thế tương đương chưa chắc đúng chứ không phải là khi $f \sim g$

Cách tiếp cận II

Có một định lí để tìm vô cùng bé cho một tổng khá hay

Trong định lí ta dùng hàm $\text{signum}$ (hàm dấu) được định nghĩa như sau:

$$\text{sign}(x)=\begin{cases} \ 1 ,  \ x>0 \\ \ 0, \ x=0 \\ -1, x<0 \end{cases}$$

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$, $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ và $\text{sign}\left(u(x)\right)=\text{sign}\left(v(x)\right)$ trong 1 lân cận thủng $(a-\delta,a+\delta) \setminus \{a\}$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)+v(x)$

$1.$ Cho hàm $f$ là hàm đại số tức là hàm số được xây dựng từ các đa thức và các phép toán cộng, trừ, nhân chia, căn thức

Với $a \in \mathbb{R}$, giả sử $f$ xác định trong một khoảng $\left(a-\varepsilon,a+\varepsilon\right) \setminus \{a\}$

Hỏi có tồn tại hay không một khoảng con $\left(a-\delta,a+\delta \right) \setminus \{a\}$ để 

$$f(x) \ne 0 \ \  \forall x \in \left(a-\delta,a+\delta\right) \setminus \{a\}$$

$2.$ Cũng với câu hỏi trên nếu thay $f$ là một hàm tổng quát hơn là hàm sơ cấp nhưng không có hàm lượng giác $\sin (x), \cos (x) , \tan (x),\cot (x), \sec (x), \csc (x)$ và các hàm hợp thành của chúng.

Khi đó có tồn tại hay không khoảng con $\left(a-\delta,a+\delta \right) \setminus \{a\}$ ?

Nếu $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ không tồn tại thì $f(x)$ và $g(x)$ là hai vô cùng bé không so sánh được khi $x$ tiến đến $a$

Em tìm ra được vấn đề sau về định nghĩa trên:

Vấn đề:

$1$.Ta có $x^2, x^3$ là 2 vô cùng bé khi $x \to 0$ và $x^3=o\left(x^2\right)$ tức $x^3$ là vô cùng bé bậc cao hơn $x^2$ khi $x \to 0$ 

$2$.$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{x^3}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ và giới hạn $\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ không tồn tại cho nên $\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{x^3}$ không tồn tại theo định nghĩa trên thì $x^2,x^3$ là hai vô cùng bé không so sánh được khi $x \to 0$

Hai kết luận trên nghe có vẻ không phụ hợp với nhau.

Anh chị nghĩ sau về cái này ạ ? Có nên định nghĩa lại không ạ ?