Tìm kiếm
Nam
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA PHÚ YÊN 2024 - 2025
Ngày thi: 09/10/2024
Câu 1: (4,00 điểm) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn
$P\left(1 + \sqrt[3]{3}\right) = 1 + \sqrt[3]{3}$ và $P\left(1 + \sqrt{7}\right) = 1 + 3\sqrt{7}$?
Câu 2: (4,00 điểm) Cho $\alpha \in (1; + \infty)$.
a) Chứng minh rằng, với mọi $n \ge 1$, ta luôn có bất đẳng thức
$$\frac{\alpha - 1}{(n+1)^\alpha} < \frac{1}{n^{\alpha-1}} - \frac{1}{(n+1)^{\alpha - 1}}.$$
b) Cho $(x_n)^{+\infty}_{n=1}$ là một dãy số thực xác định bởi
$x_1=2024$ và $x_{n+1} = x_n + 2025.\frac{\sqrt{x_n}}{n^\alpha}$ với mọi $n \ge 1$.
Chứng minh rằng dãy $(x_n)^{+\infty}_{n=1}$ có giới hạn hữu hạn.
Câu 3: (4,00 điểm) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$, $C'$ là điểm đối xứng với $C$ qua $DF$. Các đường thẳng $BC'$ và $CB'$ cắt nhau tại $T$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $M,I,T$ thẳng hàng.
Câu 4: (4,00 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) $a$ là ước của $b^4 + 1$.
(ii) $b$ là ước của $a^4 + 1$.
(iii) $x^2 - \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)x + \sqrt{ab} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{N}$.
Câu 5: (4,00 điểm) Cho $X = \{1,2,...,2025\}$. Một tập $S \subset X$ được gọi là tốt nếu $S$ không chứa hai phần tử mà phần tử này chia hết cho phần tử kia và cũng không chứa hai phần tử nguyên tố cùng nhau.
a) Chỉ ra một tập tốt có 6 phần tử.
b) Hỏi tập tốt chứa nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
