Tìm kiếm
Nam
Em không biết cách này có đúng không và khá dài, mọi người có cách nào hay hơn thì chỉ em với 
Hai số nguyên tố lớn hơn 5 thì có hiệu lớn hơn hoặc bằng 2 và là số chẵn. Dễ dàng chứng minh được trong các số $b-a, c-b, d-c$ nếu tồn tại một số lớn hơn hoặc bằng 6 hoặc hai số lớn hơn hoặc bằng 4 thì sẽ không tmđk $a<b<c<d<a+10$.
Từ đó suy ra được $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+2,a+6,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}.$
Nhận thấy nếu $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}$ thì trong $a,b,c,d$ luôn có số chia hết cho 3 không thoả mãn nên $(a,b,c,d)=(a,a+2,a+6,a+8)$. Khi này $a+b+c+d=4a+16$.
Dễ dàng chứng minh được $a+b+c+d$ chia hết cho 4. $(1)$
Nếu $a$ có chữ số tận cùng là 3, 5, 7, 9 thì trong $a,b,c,d$ sẽ tồn lại số chia hết cho 5 không thoả mãn nên $a$ có chữ số tận cùng là 1. Khi đó $4a+16\equiv 4.1+16\equiv0 \pmod 5$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 5. $(2)$
Nếu $a$ chia 3 dư 1 thì $b=a+2$ chia hết cho 3 không thoả mãn nên $a$ chia 3 dư 2. Khi đó $4a+16\equiv 4.2+16\equiv0 \pmod 3$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 3. $(3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho 60.
