Đến nội dung

Leonguyen

Leonguyen

Đăng ký: 16-01-2023
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:46
***--

Trong chủ đề: Cho $a^2\geq 2b> 0$. Tìm GTNN của $A=\frac{a...

20-02-2024 - 04:41

Câu 3: Đổi biến $(a,b,c)\mapsto(x^3,y^3,z^3),$ suy ra $xyz=1.$

Áp dụng bđt $m^3+n^3\geq mn(m+n)$ với $m,n$ dương, dấu bằng xảy ra tại $m=n$ ta có:

$C=\sum\frac{1}{a+b+1}=\sum\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq\sum\frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum\frac{1}{xy(x+y+z)}=1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Vậy $\min C=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$


Trong chủ đề: Bài 4 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

14-02-2024 - 15:06

Ta có $x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow(x-2y)^2\ge0$ (đúng). Đẳng thức xảy ra khi $x=2y.$

$3x^2+2y^2=2x^2-2y^2+(x^2+4y^2)\ge2x^2-2y^2+4xy=10.$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=2y\\x^2-y^2+2xy=5 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ $\vee$ $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+2y^2$ là $10,$ đạt tại $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right. .$

 

Nhận xét: Lời giải chính xác
Điểm: 10/10


Trong chủ đề: Bài 1 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

12-02-2024 - 01:29

Em xin lỗi, mong mod xoá đi bài trước của em do nhầm kí hiệu ạ, em cảm ơn ạ.
Dễ thấy $a(p)=a(2p),a(2p+1)=2p+1.$
Ta sẽ chứng minh $\sum_{n=k}^{2k-1} a(2n)=k^2 (k \in \mathbb{N}^{*}) (*).$
Thử với $n=1$ ta có $a(2)=1=n^2$ (thoả mãn).
Giả sử $n=i(i\in \mathbb{N}^{*})$ thoả mãn $(*)$, tức là $\sum_{n=i}^{2i-1} a(2n)=i^2.$
Cần chứng minh $n=i+1$ cũng đúng, hay $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2n)=(i+1)^2.$
Thật vậy, ta có $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2n)$ $=\sum_{n=i}^{2i-1} a(2n)-a(2i)+a(4i)+a(4i+2)$ $=i^2+a(2i+1)$ $=i^2+2i+1$ $=(i+1)^2, $ ta chứng minh được đẳng thức $(*).$
Vậy:
$\begin{align*} \sum_{n=2024}^{4048} a(n)&=\sum_{n=1012}^{2023} a(2n)+\sum_{n=1012}^{2023} a(2n+1)+a(4048) \\&=1012^2+\sum_{n=1012}^{2023} (2n+1)+253\\&=1024397+(2025+4047)\left(\frac{4047-2025}{2}+1\right)\div 2\\&=\boxed{4096829}.\end{align*}$
Trùng lặp

Trong chủ đề: Bài 1 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

12-02-2024 - 01:26

Dễ thấy $a(p)=a(2p),a(2p+1)=2p+1.$
Ta sẽ chứng minh $\sum_{n=k}^{2k-1} a(2n)=k^2 (k \in \mathbb{N}^{*}) (*).$
Thử với $n=1$ ta có $a(2)=1=n^2$ (thoả mãn).
Giả sử $n=i(i\in \mathbb{N}^{*})$ thoả mãn $(*)$, tức là $\sum_{n=i}^{2i-1} a(2i)=i^2.$
Cần chứng minh $n=i+1$ cũng đúng, hay $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2i)=(i+1)^2.$
Thật vậy, ta có $\sum_{n=i+1}^{2i+1} a(2i)$ $=\sum_{n=i}^{2i-1} a(2i)-a(2i)+a(4i)+a(4i+2)$ $=i^2+a(2i+1)$ $=i^2+2i+1$ $=(i+1)^2, $ ta chứng minh được đẳng thức $(*).$
Vậy:
$\begin{align*} \sum_{n=2024}^{4048} a(n)&=\sum_{n=1012}^{2023} a(2n)+\sum_{n=1012}^{2023} a(2n+1)+a(4048) \\&=1012^2+\sum_{n=1012}^{2023} (2n+1)+253\\&=1024397+(2025+4047)\left(\frac{4047-2025}{2}+1\right)\div 2\\&=\boxed{4096829}.\end{align*}$

Nhận xét: Cách này tương tự như đáp án, tuy nhiên rõ ràng $\sum_{n=k}^{2k-1}a(2n)=\sum_{n=k}^{2k-1}a(n)$ nên không cần phải tách ra như vậy?

Trong chủ đề: Bài 1 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

12-02-2024 - 00:40

Một lời giải vô cùng thủ công, mong sẽ chính xác ạ.
Các số lẻ có ước số lẻ lớn nhất là chính nó.
Tổng các số lẻ từ 2024 đến 2048 là $(2025+4047)\left(\frac{4047-2025}{2}+1\right):2=3072432.\qquad(1)$
Xét các số tự nhiên chẵn từ 2024 đến 2048.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 là 2026 và 2046.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 là 2028 và 4044.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 8 mà không chia hết cho 16 là 2024 và 4040.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 16 mà không chia hết cho 32 là 2032 và 4048.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 32 mà không chia hết cho 64 là 2048 và 4000.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 64 mà không chia hết cho 128 là 2112 và 4032.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 128 mà không chia hết cho 256 là 2176 và 3968.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 256 mà không chia hết cho 512 là 2304 và 3840.
Số bé nhất và lớn nhất chia hết cho 512 mà không chia hết cho 1024 là 2560 và 3584.
Số chia hết cho 1024 mà không chia hết cho 2048 là 3072.
Số số chia hết cho 2048 là 2048.
Nhận xét: Nếu $a$ chia hết cho $2^k$ mà không chia hết cho $2^{k+1}$ thì $a+2^{k+1}$ cũng sẽ có tính chất như trên.
Do đó tổng ước số lẻ lớn nhất của các số:
Chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 là $\frac{2026+2030+...+2046}{2}=1013+1015+...+2023.$
Chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 là $\frac{2028+...+4044}{4}=507+...+1011.$
Chia hết cho 8 mà không chia hết cho 16 là $\frac{2024+...+4040}{8}=253+...+505.$
Chia hết cho 16 mà không chia hết cho 32 là $\frac{2032+...+4048}{16}=127+...+251+253.$
Chia hết cho 32 mà không chia hết cho 64 là $\frac{2048+...+4000}{32}=65+...+125.$
Chia hết cho 64 mà không chia hết cho 128 là $\frac{2112+...+4032}{64}=33+...+63.$
Chia hết cho 128 mà không chia hết cho 256 là $\frac{2176+...+3968}{128}=17+...+31.$
Chia hết cho 256 mà không chia hết cho 512 là $\frac{2304+...+3840}{256}=9+...+15.$
Chia hết cho 512 mà không chia hết cho 1024 là $\frac{2560+3584}{512}=5+7.$
Chia hết cho 1024 mà không chia hết cho 2048 là $\frac{3172}{1024}=3.$
Chia hết cho 2048 là $\frac{2048}{2048}=1.$
Tổng ước số lẻ lớn nhất của các số chẵn từ 2024 đến 4048 là $(1+3+5+...+2023)+253=1012^2+253=1024397.\qquad(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\sum_{n=2024}^{4048} a(n)=3072432+1024397=4096829.$
Nhận xét: Thêm một lời giải thủ công!
Điểm 9/10.