Leonguyen

Hình dưới là khả năng các cột có thể xảy ra.

Gọi $(xyzt)$ là một cách "lắp" các cột tạo thành bảng với $x,y,z,t$ lần lượt là cột thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tính từ trái sang phải.

Ta dễ nhận thấy các cách "lắp" thoả mãn là $(aaff),$ $(bbee),$ $(ccdd),$ $(abef),$ $(acdf),$ $(bcde)$ và các hoán vị của chúng.

Vậy có $3\cdot C^2_4+3\cdot 4!=90$ cách sắp xếp thoả mãn đề bài.

$2MA+3MB=2(MA+MB)+MB$ $\geq2AB=6\sqrt2,$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} M\in AB & \\ M\equiv B \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow M\equiv B.$

Vậy tập hợp điểm $M$ thoả mãn $2MA+3MB\leq 6\sqrt{2}$ là điểm $B.$

$a^2+b^2+c^2+abc=4\Leftrightarrow a^2+bc.a+b^2+c^2-4=0.$ Coi $a$ là ẩn, ta có $\Delta=b^2c^2-4(b^2+c^2-4)$ $=(4-b^2)(4-c^2)\ge0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm: $a_1=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$ và $a_2=\frac{-bc-\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}<0$ (loại). 

Ta có: \begin{align*}2a+b+c&=-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}+b+c\le-bc+\frac{8-b^2-c^2}{2}+b+c\\&=4-\frac{(b+c)^2}{2}+(b+c)=-\frac{1}{2}[(b+c)-1]^2+\frac{9}{2}\le\frac{9}{2} \end{align*}

Vậy ta có đpcm.

Câu 3: Đổi biến $(a,b,c)\mapsto(x^3,y^3,z^3),$ suy ra $xyz=1.$

Áp dụng bđt $m^3+n^3\geq mn(m+n)$ với $m,n$ dương, dấu bằng xảy ra tại $m=n$ ta có:

$C=\sum\frac{1}{a+b+1}=\sum\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq\sum\frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum\frac{1}{xy(x+y+z)}=1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Vậy $\min C=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Ta có $x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow(x-2y)^2\ge0$ (đúng). Đẳng thức xảy ra khi $x=2y.$

$3x^2+2y^2=2x^2-2y^2+(x^2+4y^2)\ge2x^2-2y^2+4xy=10.$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=2y\\x^2-y^2+2xy=5 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ $\vee$ $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+2y^2$ là $10,$ đạt tại $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right. .$

Nhận xét: Lời giải chính xác
Điểm: 10/10