Leonguyen

Bài 14. Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(1;5).$ Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt là $I(2;2)$ và $K\left(\frac 5 2;3\right).$ Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C.$

Bài 9: Cho tam giác \( ABC \) có đỉnh \( A(2; 6) \), chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \( A \) là điểm \( D \left( 2; -\frac{3}{2} \right) \), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là điểm \( I \left( -\frac{1}{2}; 1 \right) \). Viết phương trình đường thẳng \( BC \).

 bài 9 mnh.png   24.83K   0 Số lần tải

Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Khi đó $K$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC,$ từ đây dễ dàng suy ra được $IK\perp BC.$

Đường thẳng $AK$ có phương trình $x=2.$ Kẻ $IE\perp AK$ tại $E$ thì $E$ có toạ độ $(2;1)$ và là trung điểm của $AK,$ từ đây thu được điểm $K$ có toạ độ $(2;-4).$

Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $D\left(2;-\frac 3 2\right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{IK}=\left(-\frac 5 2;5\right)$ nên ta viết được phương trình đường thẳng $BC$ là $x-2y-5=0.$

\begin{align*} S_{EMN}&=S_{ECD}-S_{END}-S_{EMC}-S_{DNC}-S_{MNC}\\&= S_{EDC} -\frac1 2 S_{EBD}-\frac 1 2 S_{EAC} - \frac 1 2 S_{BDC} - \frac 1 2 S_{ANC}\\&=\frac1 2(S_{ECD}-S_{EBD}-S_{BDC})+\frac1 2(S_{ECD} - S_{EAC} - S_{ANC})\\&=\frac 1 2 \cdot 0+\frac 1 2 S_{ANCD}\\&=\frac 1 2 (S_{AND}+S_{DNC})\\&=\frac 1 4 (S_{ABD}+S_{BDC})\\&=\frac 1 4 S_{ABCD}.\end{align*}

Vì $n$ là số nguyên dương có $9$ ước nên có hai trường hợp:

TH1. $n=a^8$ với $a$ là số nguyên tố. Khi này $d_i=a^{i-1},$ $i=\overline{1,9}.$ Điều kiện trở thành \[a\cdot a^2+a\cdot a^4+a^2\cdot a^4=a^8\Leftrightarrow a^5-a^3-a^2-1=0.\] Phương trình trên không có nghiệm nguyên dương (do không phải ước của $-1$) nên ta loại trường hợp này.

TH2. $n=b^2c^2$ với $b$ và $c$ là số nguyên tố, $b<c.$ Xét các thường hợp:

a) $b<c<b^2.$ Sắp xếp các ước của $n$ từ bé đến lớn, ta được dãy: $1,$ $b,$ $c,$ ${b^2},$ $bc,$ ${c^2},$ ${b^2}c,$ $b{c^2},$ ${b^2}{c^2}.$ Điều kiện trở thành \[bc + {b^2}c + b{c^2} = {b^2}{c^2}\Leftrightarrow 1 + b + c = bc  \Leftrightarrow (b - 1)(c - 1) = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2\\ c = 3 \end{array} \right.\Rightarrow n=36.\]

b) $c>b^2.$ Sắp xếp các ước của $n$ từ bé đến lớn, ta được dãy: $1,$ $b,$ $b^2,$ $c,$ $bc,$ $b^2c,$ $c^2,$ $bc^2,$ ${b^2}{c^2}.$ Điều kiện trở thành \[{b^3} + {b^2}c + {b^3}c = {b^2}{c^2} \Leftrightarrow b + c + bc = {c^2} \Leftrightarrow b = c(c - b - 1),\] mà $b$ là số nguyên tố nên $c-b-1=1$ $\Leftrightarrow b=c-2.$

Mặt khác, $c>b^2=(c-2)^2$ $\Leftrightarrow 1<c<4.$ Lần lượt thử thấy không có giá trị nào thoả mãn.

Vậy $n=36.$

Bài đã có ở đây.

Bạn chú ý việc đặt tiêu đề nhé, tiêu đề là nơi để viết yêu cầu của bài. Nếu bạn muốn nhắn nhủ gì thì có thể thêm ở sau phần nội dung. Còn về latex, bạn có thể truy cập vào https://editor.codecogs.com/ thay thế cho trình soạn thảo của diễn đàn.