Leonguyen

Câu hỏi phụ: có bao nhiêu cách đặt quân mã thỏa đề mà chúng không ăn nhau ?

 

Đã nhắc tới quân mã mà không đặt thêm một câu hỏi phụ như vậy thì phí quá

Vẫn sử dụng hình của bài trên 

Trong một bảng như vậy luôn có hai cột khác loại đứng cạnh nhau. Thấy rằng chỉ có cột $b$ và $e$ có thể đứng cạnh nhau để cho các quân mã không ăn nhau, do đó chỉ có $(bebe)$ và $(ebeb)$ thoả mãn đề bài.

Hình dưới là khả năng các cột có thể xảy ra.

Gọi $(xyzt)$ là một cách "lắp" các cột tạo thành bảng với $x,y,z,t$ lần lượt là cột thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư tính từ trái sang phải.

Ta dễ nhận thấy các cách "lắp" thoả mãn là $(aaff),$ $(bbee),$ $(ccdd),$ $(abef),$ $(acdf),$ $(bcde)$ và các hoán vị của chúng.

Vậy có $3\cdot C^2_4+3\cdot 4!=90$ cách sắp xếp thoả mãn đề bài.

$2MA+3MB=2(MA+MB)+MB$ $\geq2AB=6\sqrt2,$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} M\in AB & \\ M\equiv B \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow M\equiv B.$

Vậy tập hợp điểm $M$ thoả mãn $2MA+3MB\leq 6\sqrt{2}$ là điểm $B.$

$a^2+b^2+c^2+abc=4\Leftrightarrow a^2+bc.a+b^2+c^2-4=0.$ Coi $a$ là ẩn, ta có $\Delta=b^2c^2-4(b^2+c^2-4)$ $=(4-b^2)(4-c^2)\ge0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm: $a_1=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$ và $a_2=\frac{-bc-\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}<0$ (loại). 

Ta có: \begin{align*}2a+b+c&=-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}+b+c\le-bc+\frac{8-b^2-c^2}{2}+b+c\\&=4-\frac{(b+c)^2}{2}+(b+c)=-\frac{1}{2}[(b+c)-1]^2+\frac{9}{2}\le\frac{9}{2} \end{align*}

Vậy ta có đpcm.

Câu 3: Đổi biến $(a,b,c)\mapsto(x^3,y^3,z^3),$ suy ra $xyz=1.$

Áp dụng bđt $m^3+n^3\geq mn(m+n)$ với $m,n$ dương, dấu bằng xảy ra tại $m=n$ ta có:

$C=\sum\frac{1}{a+b+1}=\sum\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq\sum\frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum\frac{1}{xy(x+y+z)}=1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$

Vậy $\min C=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$