Câu này trong BTVN của mình nhưng có vẻ các bạn THCS cũng có thể làm được
Tìm tất cả các cặp số thực $x,y$ thoả mãn $|xy|\le4$ và $(x-y)^2+20=(x+y)(xy-8).$
- Duc3290 yêu thích
你好!こんいちわ!안녕하세요! Привет! Bonjour! Hello! Xin chào!
Gửi bởi Leonguyen trong 20-02-2024 - 04:41
Câu 3: Đổi biến $(a,b,c)\mapsto(x^3,y^3,z^3),$ suy ra $xyz=1.$
Áp dụng bđt $m^3+n^3\geq mn(m+n)$ với $m,n$ dương, dấu bằng xảy ra tại $m=n$ ta có:
$C=\sum\frac{1}{a+b+1}=\sum\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq\sum\frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum\frac{1}{xy(x+y+z)}=1.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$
Vậy $\min C=1\Leftrightarrow a=b=c=1.$
Gửi bởi Leonguyen trong 14-02-2024 - 15:06
Ta có $x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow(x-2y)^2\ge0$ (đúng). Đẳng thức xảy ra khi $x=2y.$
$3x^2+2y^2=2x^2-2y^2+(x^2+4y^2)\ge2x^2-2y^2+4xy=10.$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=2y\\x^2-y^2+2xy=5 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ $\vee$ $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+2y^2$ là $10,$ đạt tại $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=-\frac{2\sqrt{35}}{7}\\y-=\frac{\sqrt{35}}{7} \end{matrix}\right. .$
Nhận xét: Lời giải chính xác
Điểm: 10/10
Gửi bởi Leonguyen trong 12-02-2024 - 01:29
Gửi bởi Leonguyen trong 12-02-2024 - 01:26
Gửi bởi Leonguyen trong 12-02-2024 - 00:40
Gửi bởi Leonguyen trong 18-12-2023 - 15:44
Nếu từ đầu không cho giả thiết là $\frac{1}{3}\le a,b,c\le3$ $(1)$ thì bài toán sẽ hay hơn. Ta sẽ đánh giá như sau:
$$11=a^2+b^2+c^2\le a^2+\frac{(b+c)^2}{2}=a^2+\frac{(5-a)^2}{2}\Rightarrow \frac{1}{3}\le a,b,c\le3.$$
Dễ dàng tính được $ab+bc+ca=7.$ Từ (1) ta suy ra được
$\left\{\begin{matrix} \left(a-\frac{1}{3}\right)\left(b-\frac{1}{3}\right)\left(c-\frac{1}{3}\right)\ge0 \\ (a-3)(b-3)(c-3)\le0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc\ge\frac{1}{27}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)=\frac{49}{27}\\ abc\le27+3(ab+bc+ca)-9(a+b+c)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\frac{49}{27}\le abc\le3.$
$abc$ đạt $\min$ tại $a=\frac{1}{3}, b=c=\frac{7}{3}$ và các hoán vị.
$abc$ đạt $\max$ tại $a=3, b=c=1$ và các hoán vị.
Vậy ...
Gửi bởi Leonguyen trong 10-09-2023 - 07:59
Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Chứng minh rằng $MI$ đi qua trung điểm của $AD.$
Gửi bởi Leonguyen trong 27-08-2023 - 07:53
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
$a)\quad\tan9^{\circ}-\tan27^{\circ}-\tan63^{\circ}+\tan81^{\circ}=4.$
$b)\quad\tan20^{\circ}-\tan40^{\circ}+\tan80^{\circ}=3\sqrt3.$
$c)\quad \tan10^{\circ}-\tan50^{\circ}+\tan60^{\circ}+\tan70^{\circ}=2\sqrt3.$
$d)\quad \tan30^{\circ}+\tan40^{\circ}+\tan50^{\circ}+\tan60^{\circ}=\frac{8\sqrt3}{3}\cdot\cos20^{\circ}.$
Gửi bởi Leonguyen trong 07-08-2023 - 18:35
Bài 2:
Nếu ta chọn một số trong dãy $ a_1;a_2;...;a_{19},$ và một số trong dãy $b_1;b_2;...;b_{21}$ thì ta chọn được được có $19.21=399$ cặp. Từ điều kiện đề cho thì tổng của hai số đã chọn sẽ có giá trị từ $2$ đến $400,$ tổng có 399 giá trị. Nếu tồn tại đồng thời hai tổng có giá trị là $2$ và $400$ thì bốn số cần tìm là $(1;1;200;200).$ Nếu không thì khi này chỉ còn 398 giá trị cho 399 tổng, theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại hai tổng $a_i+b_k=a_j+b_l$ hay $a_j-a_i=b_l-b_k.$
Gửi bởi Leonguyen trong 07-08-2023 - 18:15
Bài 1:
a) $10^{2023}+2024\equiv1^{2023}+2\equiv1+2\equiv0\pmod3$ nên $10^{2023}+2024$ chia hết cho $3.$
b) $n^3+2024n+2\equiv n^3-n+2=n(n-1)(n+1)+2\equiv2\pmod3$ (do $n(n-1)(n+1)$ là tích $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3), thu được $n^3+2024n+2$ không chia hết cho $3.$
Mà theo câu a) lại có $10^{2023}+2024$ chia hết cho 3 nên ta suy ra được $n^3+2024n+2$ không chia hết cho $10^{2023}+2024.$
Bài 3:
a) Ta có:
$3^{2n+1}-7\equiv 3^{2n}.3+3\equiv3(3^{2n}+1)\equiv3(9^n+1)\equiv3((-1)^n+1)\equiv 3(-1+1)\equiv0\pmod5$ (do $n$ là số nguyên lẻ).
$3^{2n+1}-7\equiv (-1)^{2n+1}-7\equiv -1-7\equiv 0\pmod4.$
Từ hai điều trên suy ra được $3^{2n+1}-7$ chia hết cho $20.$
b) Dễ thấy $n^4-2n^3+3n^2+2n-2$ là số chẵn nên $n^4-2n^3+3n^2+2n-2$ là số nguyên tố khi và chỉ khi nó bằng $2.$
Suy ra $n^4-2n^3+3n^2+2n-2=2$ $\Leftrightarrow n^4-2n^3+3n^2+2n-4=0 $ $\Leftrightarrow (n+1)(n−1)(n^2−2n+4)=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} n=1& \\ n=-1& \end{matrix}\right.$ (do $n$ là số tự nhiên).
Gửi bởi Leonguyen trong 03-08-2023 - 14:32
Ta sẽ chọn các số $x,y,z,t$ thoả mãn $xa^4b+yb^4c+zc^4d+td^4a\geq a^2bcd.$
Sử dụng $\text{Weighted AM-GM}$ ta được
\begin{align*} xa^4b+yb^4c+zc^4d+td^4a&\geq(x+y+z+t)\cdot\sqrt[x+y+z+t]{(a^4b)^x\cdot(b^4c)^y\cdot(c^4d)^z\cdot(d^4a)^t}\\&=(x+y+z+t)\cdot\sqrt[x+y+z+t]{a^{4x+t}b^{4y+x}c^{4z+y}d^{4t+z}} \end{align*}
Chọn $x+y+z+t=1,$ đồng nhất các tham số ta được $\left\{ \begin{array}{l} 4x + t = 2\\ 4y + x = 1\\ 4z + y = 1\\4t + z = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{23}{51}\\y = \frac{7}{51}\\z = \frac{11}{51}\\t = \frac{10}{51}\end{array} \right. .$
$\ast$
$\ast$ $\ast$
Sử dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$ ta có
\begin{align*}a^4b +b^4c + c^4d +d^4a &=\sum\left(\frac{23}{51}a^4b +\frac{7}{51}b^4c + \frac{11}{51}c^4d + \frac{10}{51}d^4a\right)\\&=\frac{1}{51}\sum(23a^4b +7b^4c + 11c^4d +10d^4a)\\&\geq\frac{1}{51}\left(\sum51\sqrt[51]{a^{23\cdot4+10}b^{23+7\cdot4}c^{7+11\cdot4}d^{11+10\cdot4}}\right)\\&=\sum a^2bcd=abcd(a+b+c+d)\end{align*}
Vậy ta có đpcm.
Gửi bởi Leonguyen trong 01-08-2023 - 04:33
Trong một giải đấu bóng bàn nam có $n$ $(n\geq3)$ vận động viên tham gia, hai vận động viên bất kì thi đấu với nhau đúng một trận (không có kết quả hoà). Kết thúc giải đấu, mỗi vận động viên sẽ viết ra tên những đối thủ thua mình và tên những vận động viên thua một trong các đối thủ đó. Một vận động viên được gọi là vô địch tương đối nếu anh ta viết được tên của tất cả $n-1$ đối thủ còn lại. Gọi $S_n$ là số vận động viên vô địch tương đối nhiều nhất có thể.
a) Tính $S_3,S_4.$
b) Chứng minh rằng $S_n=n$ với mọi $n\geq5.$
P/s: các mod cho em hỏi ở phần tiêu đề các bài tổ hợp cần tóm tắt không ạ?
Gửi bởi Leonguyen trong 29-07-2023 - 20:46
$1,$
Xét $x=3$ thoả mãn phương trình.
Xét $x>3$ thì $\sqrt[5]{x-2}+\sqrt[7]{x-3}>1$ còn $\sqrt[3]{4-x}<1,$ không thoả mãn.
Xét $x<3$ thì $\sqrt[5]{x-2}+\sqrt[7]{x-3}<1$ còn $\sqrt[3]{4-x}>1,$ không thoả mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{3\}.$
Gửi bởi Leonguyen trong 23-07-2023 - 17:26
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học