nguyetnguyet829

Với bộ $(a,b,c) = (1,2,1)$ thì BĐT điều kiện thỏa mãn nhưng BĐT cần chứng minh = 9 > 3, bạn kiểm tra lại đề bài nhồi ạ, 

Rồi ạ, mình chép nhầm cái mình nháp vào đề

Đề bài có vấn đề thì phải , K thuộc AC mà $ KP \perp AC$ tại P ? =))

Tại $K$ ạ, còn $P \in AB$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$. Ta có $a^3+b^3+3ab=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)-1-3ab(a+b)+3ab=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-1-3ab(a+b-1)=0\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2+2ab+b^2+a+b+1)-3ab(a+b-1)=0$

$\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2-ab+b^2+a+b+1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} a+b=1\\ a^2-ab+b^2+a+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a=b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=xy\\ x=y=-1 \end{matrix}\right.$

Với $x=y=-1$ thì $A=4$, với $x+y=xy$ thì $A=1$.

Vậy...

Mình nghĩ là với $x \ne y$ thì trường hợp $x=y=-1$ không thỏa mãn

Cho minh xin lỗi mình sửa đề ạ 

Đặt $8n+1=a^3$, suy ra $a$ là số lẻ.

Ta có $8n+1=a^3\Leftrightarrow 8n=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=8\\ a^2+a+1=n \end{matrix}\right.$ (do $a-1$ chẵn và $a^2+a+1$ lẻ)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=9\\ n=91 \end{matrix}\right.$ (thoả mãn $n$ là số nguyên tố).

Thử lại $8n+1=8.91+1=729=9^3$ thoả mãn.

Vậy $n=91$.

Một cách giải khác:

Ta có: $8n + 1$ là số tự nhiên lẻ

Đặt $8n+1 = (2k+1)^3  (n \in N*)$

$=> 4n = 4k^3 + 6k^2 + 3k$

 $=> \left\{\begin{matrix} k=4 \\ 4k^3+6k^2+3k=n \end{matrix}\right.$

$=> n=91$

Thử lại...