Minhcarnation

Bai này mình nghĩ bạn dùng định nghĩa của cấp của phần tủ.
như câu a, b và c. Đặt A là phần tủ rồi thử tính $A^{2}, A^{3}$ rồi bạn sẽ thấy là nó sẽ không có cấp khi $n\rightarrow \infty$

Tương tự với câu d thì cấp của phần tử đó sẽ là 6

Câu d: Ta biết rằng m-cycle có cấp là m nên cấp của (1 2) là 2 và cấp của (3 4 5) là 3 nên cấp của (1 2)(3 4 5) là LCM(2,3)=6

Nếu cảm thấy sách của Dummit-Foote viết hơi khó hiểu thì bạn có thể thử đọc cuốn của Joseph J. Rotman. Cuốn đó viết dài nhưng có rất nhiều ví dụ chi tiết, đặc biệt là phần tác động nhóm (quỹ đạo, định lý Cauchy, bổ đề Burnside...) và định lý Sylow. 

Cám ơn bạn đã giới thiệu sách cho mình. Nhiều lúc mình hơi bị khó hiểu về tác động liên hợp. Kiểu như không biết xác định chính xác là dùng như thế nào. Nên nhiều bài toán áp dụng phần tác động nhóm để xác định chỉ số, ...

$(\Rightarrow )$ Assume $HK\leq G$

Let $x,y \in HK$ we have: there exists $h_1 \in H, k_1 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK$

We have: $x^{-1} \in HK \Rightarrow (h_1k_1)^{-1} \in HK \Rightarrow k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH \Rightarrow HK \subseteq KH$

Similarly: $KH \subseteq HK$

So $HK = KH$

$(\Leftarrow )$ Assume $HK = KH$ there exists $h_1, h_2 \in H, k_1, k_2 \in K$ such that: $h_1k_1 \in HK, h_2k_2 \in HK$

We have: $xy = h_1k_1h_2k_2 = h_1h_3k_3k_2 \in HK$ since $HK = KH \Rightarrow k_1h_2 = h_3k_3$ (Note that KH = KH does not mean that elements in HK are commute)

$x^{-1} = (h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}= h_2^{-1}k_2^{-1} \in HK$ since $HK = KH$

Therefore, HK is subgroup of G base on subgroup criterion

VD xét ánh xạ $\phi: R \rightarrow S$ thì R được gọi là domain còn S được gọi là codomain

Let $x, y \in HK$ We have: $x = h_1k_1 , y = h_2k_2$

Consider: $xy = (h_1k_1)(h_2k_2)=h_1k_1h_2k_2=h_1h_2(h_2^{-1}k_1h_2)k_2$

Since $H \leq G$ so $h_2 \in G  \Rightarrow h_2^{-1}k_1h_2 \in K$

So, $xy \in HK$

Now, consider $x^{-1}=(h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}=h_1^{-1}h_1k_1^{-1}h_1^{-1} \in HK$ since $h_1 \in H , H \leq G\Rightarrow h_1^{-1}\in H$

Therefore, HK is subgroup of G base on subgroup criterion.