Đến nội dung

huytran08

huytran08

Đăng ký: 30-01-2023
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:01
-----

Trong chủ đề: Bài 2 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

13-02-2024 - 00:18

Lời giải:

​Do $\left ( ab,5ab-1 \right )=1$ nên $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} $ nguyên dương(do $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}$ nguyên dương)

Đặt $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} =  k\,(k \in \mathbb{N^*})$

      $\Leftrightarrow 5a^2-5kab+5b^2+k-2=0$ (1)

Gọi $\left ( a_{0};b_{0} \right ) $ là 1 cặp nghiệm của (1) sao cho $a_{0}+b_{0}$ nhỏ nhất.

Ta có $5a_{0}^{2}-5ka_{0}b_{0}+5b_{0}^{2}+k-2=0$

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn $a$.

Theo định lí Viète thì (1) còn 1 nghiệm nữa,gọi nghiệm đó là $a_{1}$.Ta có:$ \left\{\begin{matrix}a_{0}+a_{1}=kb_{0} & \\a_{0}a_{1}=\frac{5b_{0}^{2}+k-2}{5} & \end{matrix}\right.$

Suy ra $a_{1}\in \mathbb{N^*} $.

Mặt khác theo điều giả sử thì $a_{1}\geq a_{0}$.

Xét hàm số $f(x)=5x^{2}-5kxb_{0}+5b_{0}^2+k-2 $.Lập bảng biến thiên với chú ý rằng $b\notin (a_{0},a_{1}) $ ta được $f(b)\geq 0$ và $5b_{0}^{2}-5kb_{0}^{2}+5b_{0}^2+k-2\geq 0$ hay $k\leq2$  (2)

Lại có: $k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} \geq \frac{10ab-2}{5ab-1}=2$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $k=2$ hay $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} =2 \Rightarrow a=b $

Vậy $a=b$


Trong chủ đề: nếu dù chỉ một số $a$ hay $b$ không chia hết cho...

13-01-2024 - 17:58

Ôi trời, học rồi chứ bạn  :lol:

Với các bạn đội tuyển 6, khi học sinh học xong chương I là dạy đến đồng dư thức và tất nhiên là không thể thiếu Fermat nhỏ, định lý Euler, Wilson, De Polignac. Học xong chương II thì có thể đưa thêm đồng dư cho số nguyên âm để tính toán được thuận lợi, ngắn gọn hơn.

Lớp 6 đã học khoai vậy rồi hả thầy :ohmy:  :ohmy: .Chỗ em lớp 9 mới học định lí Euler đây thầy


Trong chủ đề: $(a^{3}+b)(b^{3}+a)=n^{n}$

16-10-2023 - 20:35

Anh lấy bài này từ sách nào vậy ạ  :D  :D  :D  :D

Bài này là anh tự nghĩ ra em ạ.Anh mở rộng từ các bài toán như $\left ( a^{3}+b \right )\left ( b^{3}+a \right )=2^{n};\left ( a^{3}+b \right )\left ( b^{3}+a \right )=n^{3};\left ( a^{3}+b \right )\left ( b^{3}+a \right )=3^{n};...$ ra em ạ.


Trong chủ đề: Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I, (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F.,...C...

25-09-2023 - 18:41

1 bổ đề khá hay trong lúc mình làm toán : $\Delta ABC$ có tâm nội tiếp $I$, trực tâm $H$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $AH$ cắt $EF$ tại $J$. Chứng minh $IJ//MH$

Where is M?


Trong chủ đề: $\frac{a}{\sqrt{b}-1} +...

30-08-2023 - 16:09

Bài này Cauchy-Schwarz rồi biến đổi tương đương là ra :unsure:  :unsure: