huytran08

Ta sẽ chứng minh:$ \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$

 Thật vậy:$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \sum \frac{ab}{a+b} \right )\leq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)$

               $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$ (luôn đúng)

         $ \Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\leq \frac{3}{2}$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ (thỏa mãn)

Chỗ này là dấu "=" nhỉ bạn.

À ừ để mình sửa

Ta có:$ \sqrt{a^{3}+b^{2}+2c}\geq \sqrt{a^{3}+2(b+c)-1}=\sqrt{a^{3}-2a+5}$

 Xét:$ \sqrt{a^{3}-2a+5}\geq \frac{a+7}{4}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(16a+31)\geq 0$ (luôn đúng $\forall a\geq 0$)

              $\Rightarrow \sqrt{a^{3}+b^{2}+2c}\geq \frac{a+7}{4}$ 

 

Tương tự cộng lại ta có:$ \Rightarrow \sum \sqrt{a^{3}+b^{2}+2c}\geq 6$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ ( thoả mãn)

1, Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nếu $x\geq1$ hoặc $y\geq1.$ Do đó xét trường hợp $x,y\in(0;1).$

Áp dụng BĐT $\text{Bernoulli}$ với $0<y<1$ ta có:

$\frac{1}{x^y}=\left(1+\frac{1}{x}-1\right)^y\leq1+y\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x+y-xy}{x}\leq \frac{x+y}{x}$ $\Rightarrow x^y\geq\frac{x}{x+y}$

Chứng minh tương tự thu được $y^x\geq\frac{y}{x+y}.$

Cộng vế theo vế ta có đpcm.

Giải hay thật,câu b mình có ý tưởng thế này,không biết có sai không:

  $S=x^{x}+y^{y}=x^{x}+(1-x)^{1-x}=f(x)$ có tập xác định $D=(0;1)$

+Nếu $x\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$ thì $f(x)$ nghịch biến $\Rightarrow MinS\Leftrightarrow Max(x)\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow S=\sqrt{2}$

+Nếu $x\in \left [ \frac{1}{2};1 \right )$ thì $f(x)$ đồng biến xong tương tự như trên.

Đề sai. Xét $a=b=2, c=4: 2 \times 4 \ne \frac{2 \times 2 \times 4}{2 \times 2 \times 2}$

Vậy hả anh,em ghi đề lại từ sách nên không rõ.