Lời giải:
Do $\left ( ab,5ab-1 \right )=1$ nên $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} $ nguyên dương(do $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}$ nguyên dương)
Đặt $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} = k\,(k \in \mathbb{N^*})$
$\Leftrightarrow 5a^2-5kab+5b^2+k-2=0$ (1)
Gọi $\left ( a_{0};b_{0} \right ) $ là 1 cặp nghiệm của (1) sao cho $a_{0}+b_{0}$ nhỏ nhất.
Ta có $5a_{0}^{2}-5ka_{0}b_{0}+5b_{0}^{2}+k-2=0$
Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn $a$.
Theo định lí Viète thì (1) còn 1 nghiệm nữa,gọi nghiệm đó là $a_{1}$.Ta có:$ \left\{\begin{matrix}a_{0}+a_{1}=kb_{0} & \\a_{0}a_{1}=\frac{5b_{0}^{2}+k-2}{5} & \end{matrix}\right.$
Suy ra $a_{1}\in \mathbb{N^*} $.
Mặt khác theo điều giả sử thì $a_{1}\geq a_{0}$.
Xét hàm số $f(x)=5x^{2}-5kxb_{0}+5b_{0}^2+k-2 $.Lập bảng biến thiên với chú ý rằng $b\notin (a_{0},a_{1}) $ ta được $f(b)\geq 0$ và $5b_{0}^{2}-5kb_{0}^{2}+5b_{0}^2+k-2\geq 0$ hay $k\leq2$ (2)
Lại có: $k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} \geq \frac{10ab-2}{5ab-1}=2$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra $k=2$ hay $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} =2 \Rightarrow a=b $
Vậy $a=b$
- hxthanh yêu thích