QuocMinh2k8

 

Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.

Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.

 

Đk: $x\geq \frac{3}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+8x-6+2\sqrt{x.\left ( x+4 \right ).2.\left ( 2x-3 \right )}=3x^{2}+7x+2$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-x+8-2\sqrt{\left ( 2x^{2}-3x \right )\left ( 2x+8 \right )}=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8} \right )^{2}=0$

$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}=\sqrt{2x+8}$

$\Rightarrow 2x^{2}-3x=2x+8$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-5x-8=0$

$\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{89}}{4}$ $\left (Vì  x\geq \frac{3}{2} \right )$

KL: $S=\left \{ \frac{5+\sqrt{89}}{4} \right \}$

Câu 2:

a) +) Có ac=-2.1=-2<0

$\Rightarrow$ (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

+) $\left ( x_{1}+2 \right )\left ( x_{2}+2 \right )=6\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+2\left ( x_{1}+x_{2} \right )+4=6\Leftrightarrow -2+2m=2\Leftrightarrow m=2$.

b) +) Có:

$B=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2x_{1}^{2}.x_{2}^{2}=\left ( \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2} \right )^{2}=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-8$

$\Rightarrow$ Khi m nguyên thì B nguyên.

+) Có: $B+1=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-7$

Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có 2 TH

TH1: $m^{2}$ chia hết cho 3

$\Rightarrow m^{2}+4$ chia cho 3 dư 1

$\Rightarrow \left ( m^{2}+4 \right )^{2}$ chia cho 3 dư 1

$\Rightarrow$ $B+1=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-7$ chia cho 3 dư 0 hay chia hết cho 3

TH2: $m^{2}$ chia cho 3 dư 1

Ta chứng minh tương tự, được B+1 chia hết cho 3

$\Rightarrow$ B+1 chia hết cho 3 với m nguyên.

Từ $AB=R\sqrt{3}\Rightarrow AI=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Từ đó $\Rightarrow \widehat{AOI}=60^{\circ}$ (Tỉ số lượng giác góc nhọn trong $\Delta AOI$)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=120^{\circ}$ (1)

$\Rightarrow \widehat{AMB}=\frac{1}{2}.\widehat{AOB}=60^{\circ}$

Vì AMBC là tgnt (nội tiêp (O))

$\Rightarrow \widehat{ACB}+\widehat{AMB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{AMB}=120^{\circ}$ (2)

Dễ dàng CM ANBC là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ANB}$ (3)

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{AOB} (=120^{\circ})$

Mà N, O là 2 đỉnh kề nhau trong tứ giác ANOB

$\Rightarrow$ ANOB là tgnt

$\Rightarrow$ A,B,N,O cùng thuộc 1 đường tròn ( khi $AB=R\sqrt{3}$ )

(ĐPCM)

Cho (O;R) với dây AB cố định (không qua O). Điểm M thuộc cung lớn AB của (O). Gọi I là trung điểm AB. Vẽ (O') qua M, tiếp xúc AB tại A.Tia MI cắt (O') tại N, cắt (O) tại C. CM:

1) AN//BC

2) $\Delta INB\sim \Delta IBM$

3) BI là tiếp tuyến của (MBN)

4) A,B,N,O thuộc 1 đường tròn khi $AB=R\sqrt{3}$.

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Qua B,C kẻ đường thẳng d và d' vuông góc BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB,BC cắt d và d' tại D và E. Chứng minh MA vuông góc DE .

Anh ơi đề lỗi ko ạ chứ sao qua M kẻ đường vuông góc BC cắt d' tại E được ạ?

Hay là vuông góc AC ạ?

Gọi C là giao OS và AB

Dễ dàng CM: $SC.SO=SA^{2}=SM.SN$

$\frac{SC}{SN}=\frac{SM}{SO}$

$\Delta SCM\sim \Delta SNO (c.g.c)$

$\widehat{SCM}=\widehat{SNO}$$\Rightarrow$ MNOC là tgnt

$\Rightarrow \widehat{OCN}=\widehat{OMN}=\widehat{ONM}=\widehat{SCM}$

Mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{OCN}+\widehat{ICN}=\widehat{OCI}=90^{\circ}\\ \widehat{SCM}+\widehat{MCI}=\widehat{SCI}=90^{\circ} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \widehat{MCI}=\widehat{NCI}$

$\Rightarrow$ CI là phân giác $\widehat{MCN}$

$\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{CM}{CN}$(1)

Xét $\Delta MCN$

CI là phân giác $\widehat{MCN}$

CS vuông góc CI

$\Rightarrow$ CS là phân giác ngoài $\widehat{MCN}$

$\Rightarrow \frac{SM}{SN}=\frac{CM}{CN}$(2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{SM}{SN}\Rightarrow IM.SN=SM.IN$ (đpcm)

Áp dụng cosi:

+) $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$

+) $\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a} \right ) \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a} \right )$

Tương tự: ....

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c} \right )=\frac{1}{2}.(1+1+1)=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}(TM)$

Do $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ nên $0 \leq x,y,z\leq 1$

 Từ đó có $x^{2}\leq x\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$

 Tương tự: $ \frac{y}{2-y}\leq y;\frac{z}{2-z}\leq z$

  $\Rightarrow P \leq 1$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị.

Sao từ $x^{2}\leq x$ lại $\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ ạ?

 

Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]

Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.

 

+) Max:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$S^{2}=\left ( \sqrt{a}.\sqrt{b+1}+\sqrt{b}.\sqrt{a+1} \right )^{2}\leq\left ( \sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2} \right )\left (\sqrt{b+1}^{2}+\sqrt{a+1}^{2} \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+b+2 \right )=1.3=3$

$\Rightarrow S\leq \sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}(TM)$

+) Min:

Ta có:

$S^{2}=a\left ( b+1 \right )+b\left ( a+1 \right )+2\sqrt{a\left ( b+1 \right )b\left ( a+1 \right )}\geq 2ab+a+b+0\geq 0+1+0=1$

$\Rightarrow S\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\begin{bmatrix} (a,b)=(0;1)\\ (a,b)=(1;0) \end{bmatrix}$

Vậy là tùy địa phương à Chỗ mình ngày xưa chỉ được dùng những gì có trong SGK, cộng với BĐT Cauchy 2 số, còn lại phải tự chứng minh thêm.

Ptoleme chắc phải chứng minh ạ, tại đây là đề thi thử vào 10

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $3\sqrt{zx}+4\sqrt{xy}=14$

Tìm Min của $P=\frac{7yz}{x}+\frac{10zx}{y}+\frac{11xy}{z}$

Theo Cosi:

+) $\left ( x+1+y+1 \right )^{2}\geq 4\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=9$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

+) $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Theo Bunhia...:

+) $\left ( \left ( x^{2} \right )^{2} +1^{2}\right )\left ( 1^{2}+4^{2} \right )\geq \left ( x^{2}+4 \right )^{2}$

$\Rightarrow x^{4}+1\geq \frac{\left ( x^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

+) Tương tự: $y^{4}+1\geq \frac{\left ( y^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

Có:

$A=\left ( \sqrt{x^{4}+1}+\sqrt{y^{4}+1} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{x^{2}+4+y^{2}+4}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2=\frac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ \frac{x^{2}}{1}=\frac{1}{4} \\ \frac{y^{2}}{1}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (TM)

KL: Max $A=\frac{9}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn: $\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=\frac{9}{4}$

Tìm Min của $A=x^{4}+y^{4}+2\sqrt{\left ( 1+x^{4} \right )\left ( 1+y^{4} \right )}$

Cho $a,b,c\geq 0$ , a+b+c=3

Tìm Max của $P=\left ( 1-a \right )^{3}+\left ( 1-b \right )^{3}+\left ( 1-c \right )^{3}+\frac{1}{4}$

Kẻ OI, OK vuông góc AB, CD $\Rightarrow$ I,K là trung điểm AB,CD

CM đc: OIPK là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ IK=OP ko đổi

Có:

$AB.CD\leq \frac{AB^{2}+CD^{2}}{2}=\frac{4(AI^{2}+CK^{2})}{2}=2(OA^{2}-OI^{2}+OC^{2}-OK^{2})=2(2R^{2}-IK^{2})=2(2R^{2}-OP^{2})$ ko đổi

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AB=CD$

Khi đó $\Delta AOB=\Delta DOC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{ODC}$

$\Rightarrow$ ADOP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AOP}=\widehat{ADP}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\widehat{AOE}$ (vì $\Delta AOC$ cân tại O có OE là đường cao)

Mà $\widehat{AOE}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AOP}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow$ OP vuông góc AC

Mà OE vuông góc AC

$\Rightarrow$ O,P,E thẳng hàng. (ĐPCM)