QuocMinh2k8

Ta thấy có dạng tổng bình phương trong ngoặc, nên ta sẽ viết lại biểu thức để làm xuất hiện tổng đó:
\begin{align*}
P & = 2\sqrt {9{x^2} - 6x + 2} + 3\sqrt {4{x^2} + 4x + 2} \hfill \\
& = 2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^2} + 1} + 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 1} \hfill \\
& = \sqrt {{{\left( {6x + 2} \right)}^2} + 4} + \sqrt {{{\left( {6x + 3} \right)}^2} + 9} \hfill \\
& = \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \hfill \\
& = AB + AC \hfill \\
\end{align*}
Trong đó, $A,B,C$ là các điểm có tọa độ lần lượt là $A\left( {6x;1} \right);B\left( { - 2; - 1} \right);C\left( { - 3; - 2} \right)$.

Tới đây, bạn có thể sử dụng một chút kiến thức hình học phẳng để tìm min, hoặc sử dụng BĐT Minkowski:
\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \geqslant \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \]

Dùng BĐT em thấy dễ hơn
Ra MIN =√25, x=-5/12
Đko ạ?

Phải là E thuộc AC, F thuộc AB chứ bạn

Nếu đề sửa như này thì mk xin giải như sau:
Gọi M là giao BE và FY, N là giao CF và EX
Dễ dàng CM: ∆CNX~∆CFA
=> NX/CX=FA/CA (1)
Theo tính chất đường phân giác trong ∆ABC, ta có: BF/AF=BC/AC
=> FA/CA=BF/BC (2)
Dễ dàng CM: ∆BFM~∆BCE
=> FM/CE=BF/BC (3)
Theo tính chất đường phân giác trong ∆CEX: NE/NX=CE/CX
=> NE/CE=NX/CX (4)
Từ (1),(2),(3),(4)
=> FM/CE=NE/CE
=> FM=NE
Mà FM//NE
=> FMNE là hình bình hành
=> I là trung điểm FN
Mà O là trung điểm FE
=> OI//EN
Mà EN vuông góc BC
=> OI vuông góc BC

XIN LỖI AD VÀ MỌI NGƯỜI VÌ MK KO DÙNG ĐƯỢC CÔNG CỤ VÀ VẼ ĐƯỢC HÌNH!!!!!

Tách vế trái và vế phải,chuyển vế rồi nhân 4, ta được:
$16a^2+36b^2+64c^2-44ab+4bc-28ca≥0$
$\Leftrightarrow (4a)^2 - 2.4a.\frac{11b+7c}{2} + \frac{(11b+7c)^2}{4} -\frac{(11b+7c)^2}{4}  + 36b^2 + 64c^2 + 4bc ≥0$
$\Leftrightarrow \left[4a - \frac{11b+7c}{2} \right]^2 + 23\left(\frac{b}{2}- \frac{3c}{2}\right)^2 ≥0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $3a=5b=15c$

XIN LỖI AD VÌ MK DÙNG MÁY TÍNH BẢNG NÊN KO DÙNG CÔNG CỤ ĐƯỢC!!!!!

 

Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.

Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.

 

Đk: $x\geq \frac{3}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+8x-6+2\sqrt{x.\left ( x+4 \right ).2.\left ( 2x-3 \right )}=3x^{2}+7x+2$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-x+8-2\sqrt{\left ( 2x^{2}-3x \right )\left ( 2x+8 \right )}=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8} \right )^{2}=0$

$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}=\sqrt{2x+8}$

$\Rightarrow 2x^{2}-3x=2x+8$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-5x-8=0$

$\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{89}}{4}$ $\left (Vì  x\geq \frac{3}{2} \right )$

KL: $S=\left \{ \frac{5+\sqrt{89}}{4} \right \}$

Câu 2:

a) +) Có ac=-2.1=-2<0

$\Rightarrow$ (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

+) $\left ( x_{1}+2 \right )\left ( x_{2}+2 \right )=6\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+2\left ( x_{1}+x_{2} \right )+4=6\Leftrightarrow -2+2m=2\Leftrightarrow m=2$.

b) +) Có:

$B=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2x_{1}^{2}.x_{2}^{2}=\left ( \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2} \right )^{2}=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-8$

$\Rightarrow$ Khi m nguyên thì B nguyên.

+) Có: $B+1=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-7$

Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có 2 TH

TH1: $m^{2}$ chia hết cho 3

$\Rightarrow m^{2}+4$ chia cho 3 dư 1

$\Rightarrow \left ( m^{2}+4 \right )^{2}$ chia cho 3 dư 1

$\Rightarrow$ $B+1=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-7$ chia cho 3 dư 0 hay chia hết cho 3

TH2: $m^{2}$ chia cho 3 dư 1

Ta chứng minh tương tự, được B+1 chia hết cho 3

 

$\Rightarrow$ B+1 chia hết cho 3 với m nguyên.

Từ $AB=R\sqrt{3}\Rightarrow AI=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Từ đó $\Rightarrow \widehat{AOI}=60^{\circ}$ (Tỉ số lượng giác góc nhọn trong $\Delta AOI$)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=120^{\circ}$ (1)

$\Rightarrow \widehat{AMB}=\frac{1}{2}.\widehat{AOB}=60^{\circ}$

Vì AMBC là tgnt (nội tiêp (O))

$\Rightarrow \widehat{ACB}+\widehat{AMB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{AMB}=120^{\circ}$ (2)

Dễ dàng CM ANBC là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ANB}$ (3)

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{AOB} (=120^{\circ})$

Mà N, O là 2 đỉnh kề nhau trong tứ giác ANOB

$\Rightarrow$ ANOB là tgnt

$\Rightarrow$ A,B,N,O cùng thuộc 1 đường tròn ( khi $AB=R\sqrt{3}$ )

(ĐPCM)

Cho (O;R) với dây AB cố định (không qua O). Điểm M thuộc cung lớn AB của (O). Gọi I là trung điểm AB. Vẽ (O') qua M, tiếp xúc AB tại A.Tia MI cắt (O') tại N, cắt (O) tại C. CM:

1) AN//BC

2) $\Delta INB\sim \Delta IBM$

3) BI là tiếp tuyến của (MBN)

4) A,B,N,O thuộc 1 đường tròn khi $AB=R\sqrt{3}$.

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Qua B,C kẻ đường thẳng d và d' vuông góc BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB,BC cắt d và d' tại D và E. Chứng minh MA vuông góc DE .

Anh ơi đề lỗi ko ạ chứ sao qua M kẻ đường vuông góc BC cắt d' tại E được ạ?

Hay là vuông góc AC ạ?

Gọi C là giao OS và AB

Dễ dàng CM: $SC.SO=SA^{2}=SM.SN$

$\frac{SC}{SN}=\frac{SM}{SO}$

$\Delta SCM\sim \Delta SNO (c.g.c)$

$\widehat{SCM}=\widehat{SNO}$$\Rightarrow$ MNOC là tgnt

$\Rightarrow \widehat{OCN}=\widehat{OMN}=\widehat{ONM}=\widehat{SCM}$

Mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{OCN}+\widehat{ICN}=\widehat{OCI}=90^{\circ}\\ \widehat{SCM}+\widehat{MCI}=\widehat{SCI}=90^{\circ} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \widehat{MCI}=\widehat{NCI}$

$\Rightarrow$ CI là phân giác $\widehat{MCN}$

$\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{CM}{CN}$(1)

Xét $\Delta MCN$

CI là phân giác $\widehat{MCN}$

CS vuông góc CI

$\Rightarrow$ CS là phân giác ngoài $\widehat{MCN}$

$\Rightarrow \frac{SM}{SN}=\frac{CM}{CN}$(2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{SM}{SN}\Rightarrow IM.SN=SM.IN$ (đpcm)

Áp dụng cosi:

+) $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$

+) $\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a} \right ) \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a} \right )$

Tương tự: ....

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c} \right )=\frac{1}{2}.(1+1+1)=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}(TM)$

Do $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ nên $0 \leq x,y,z\leq 1$

 Từ đó có $x^{2}\leq x\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$

 Tương tự: $ \frac{y}{2-y}\leq y;\frac{z}{2-z}\leq z$

  $\Rightarrow P \leq 1$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị.

Sao từ $x^{2}\leq x$ lại $\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ ạ?

 

Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]

Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.

 

+) Max:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$S^{2}=\left ( \sqrt{a}.\sqrt{b+1}+\sqrt{b}.\sqrt{a+1} \right )^{2}\leq\left ( \sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2} \right )\left (\sqrt{b+1}^{2}+\sqrt{a+1}^{2} \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+b+2 \right )=1.3=3$

$\Rightarrow S\leq \sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}(TM)$

+) Min:

Ta có:

$S^{2}=a\left ( b+1 \right )+b\left ( a+1 \right )+2\sqrt{a\left ( b+1 \right )b\left ( a+1 \right )}\geq 2ab+a+b+0\geq 0+1+0=1$

$\Rightarrow S\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\begin{bmatrix} (a,b)=(0;1)\\ (a,b)=(1;0) \end{bmatrix}$

Vậy là tùy địa phương à Chỗ mình ngày xưa chỉ được dùng những gì có trong SGK, cộng với BĐT Cauchy 2 số, còn lại phải tự chứng minh thêm.

Ptoleme chắc phải chứng minh ạ, tại đây là đề thi thử vào 10

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $3\sqrt{zx}+4\sqrt{xy}=14$

Tìm Min của $P=\frac{7yz}{x}+\frac{10zx}{y}+\frac{11xy}{z}$

Theo Cosi:

+) $\left ( x+1+y+1 \right )^{2}\geq 4\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=9$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

+) $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Theo Bunhia...:

+) $\left ( \left ( x^{2} \right )^{2} +1^{2}\right )\left ( 1^{2}+4^{2} \right )\geq \left ( x^{2}+4 \right )^{2}$

$\Rightarrow x^{4}+1\geq \frac{\left ( x^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

+) Tương tự: $y^{4}+1\geq \frac{\left ( y^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

Có:

$A=\left ( \sqrt{x^{4}+1}+\sqrt{y^{4}+1} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{x^{2}+4+y^{2}+4}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2=\frac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ \frac{x^{2}}{1}=\frac{1}{4} \\ \frac{y^{2}}{1}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (TM)

KL: Max $A=\frac{9}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$