David Ting

Mình lấy $A$ là ma trân vuông cỡ $n$. Với $i_1,\ldots,i_r$ và $j_1,\ldots,j_r$ là hai bộ $r$ chỉ số (không nhất thiết đôi một phân biệt), ta ký hiệu
$$A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$$
là định thức của ma trận cỡ $r \times r$ tạo bởi lấy các phần thử trên các hàng thứ $i_1,\ldots,i_r$ của $A$ và các cột thứ $j_1,\ldots,j_r$ của $A$.
 
Giả sử $A$ có hạng $r$, thế thì mọi định thức con cỡ $r+1$ của $A$ đều bằng $0$, và tồn tại một định thức con cỡ $r$ của $A$ khác $0$.

• Khi đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột, rõ ràng các định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ chỉ đảo giá trị lẫn nhau, nên vẫn bằng $0$. chỗ này chưa rõ lắm. Nếu thay đổi 1 cột nằm trong r+1 chỉ số và 1 cột nằm ngoài r+1 chỉ số thì là 1 định thức khác và không biết bằng 0 hay không
  
  
  
• Khi nhân hàng thứ $i$ với vô hướng $\lambda \neq 0$, định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ trở thành $\lambda A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$ và không đổi nếu ngược lại, trong mọi trường hợp thì vẫn bằng $0$. Tương tự cho việc nhân một cột $j$ với một vô hướng $\lambda \neq 0$.
• Khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$ (cộng $\lambda$ lần hàng thứ $i'$ vào hàng thứ $i$, với $i \neq i'$ và $\lambda \in \mathbb{R}$), định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ không đổi nếu $i \notin \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$. Trong trường hợp $i \in \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$, ta có thể giả sử $i = i_1$ chẳng hạn, thế thì định thức $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ trở thành $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}} + \lambda A^{i',\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ qua phép biến đổi này, và vì thế vẫn bằng $0$. Tương tự cho các phép biến đổi cột $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_{j'}$.

Vậy ta đã chứng minh nếu $A$ có hạng $r$ thì sau các phép biến đổi sơ cấp, các định thức con cấp $r+1$ cũng $A$ đều bằng $0$.
Ta còn phải chỉ ra rằng $A$ có một định thức con cấp $r$ khác $0$. Giả sử ban đầu $A$ có một định thức con cấp $r$ khác $0$ là $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$.

• Khi đổi chỗ hai hàng $i$ và $i'$, có thể xảy ra các trường hợp $i, i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ đổi dấu, vì thế vẫn khác $0$), hoặc $i \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$, (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ sẽ khác $0$ khi thay $i$ bởi $i'$), hoặc $i \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ (tương tự), hoặc $i, i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ không đổi, vì thế vẫn khác $0$). Tương tự khi đổi chỗ hai cột $j$ và $j'$.
• Khi nhân hàng thứ $i$ với vô hướng $\lambda \neq 0$, định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ trở thành $\lambda A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_{r}\}$ và không đổi nếu ngược lại, trong mọi trường hợp thì vẫn khác $0$. Tương tự cho việc nhân một cột $j$ với một vô hướng $\lambda \neq 0$.
• Khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$, thì rắc rối hơn một chút.

• Nếu $i \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ không đổi, nên vẫn khác $0$.
• Nếu $i, i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ được cộng thêm một định thức mới với hai hàng bằng nhau (thứ $i$ và thứ $i'$), nên không đổi, nên vẫn khác $0$.
• Nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$. Ta giả sử chẳng hạn $i = i_1$, thế thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ trở thành $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} + \lambda A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$. Nếu $A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} = 0$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ không đổi, nên vẫn khác $0$. Nếu $A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} \neq 0$, nhân xét rằng đây là một định thức con cấp $r$ khác $0$ của ma trận mới thu được sau khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$ (vì phép biến đổi này chỉ thay đổi hàng $i$, trong khi $i \notin \{i',i_2,\ldots,i_r\}$.

Vậy ma trận mới thu được vẫn có một định thức con cấp $r$ khác $0$ trong mọi trường hợp. Tương tự cho phép biến đổi cột $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_{j'}$.

Chỗ chứng minh hạng ma trận r+1=0. Em thắc mắc nếu đổi chỗ 1 dòng không nằm trong dãy r chỉ số và 1 dòng nằm trong dãy chỉ số thì tại sao hạng vẫn bằng 0

Mình lấy $A$ là ma trân vuông cỡ $n$. Với $i_1,\ldots,i_r$
và $j_1,\ldots,j_r$ là hai bộ $r$ chỉ số (không nhất thiết đôi một phân biệt), ta ký hiệu
$$A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$$
là định thức của ma trận cỡ $r \times r$ tạo bởi lấy các phần thử trên các hàng thứ $i_1,\ldots,i_r$ của $A$ và các cột thứ $j_1,\ldots,j_r$ của $A$.
 
Giả sử $A$ có hạng $r$, thế thì mọi định thức con cỡ $r+1$ của $A$ đều bằng $0$, và tồn tại một định thức con cỡ $r$ của $A$ khác $0$.

• Khi đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột, rõ ràng các định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ chỉ đảo giá trị lẫn nhau, nên vẫn bằng $0$.
• Khi nhân hàng thứ $i$ với vô hướng $\lambda \neq 0$, định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ trở thành $\lambda A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$ và không đổi nếu ngược lại, trong mọi trường hợp thì vẫn bằng $0$. Tương tự cho việc nhân một cột $j$ với một vô hướng $\lambda \neq 0$.
• Khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$ (cộng $\lambda$ lần hàng thứ $i'$ vào hàng thứ $i$, với $i \neq i'$ và $\lambda \in \mathbb{R}$), định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ không đổi nếu $i \notin \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$. Trong trường hợp $i \in \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$, ta có thể giả sử $i = i_1$ chẳng hạn, thế thì định thức $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ trở thành $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}} + \lambda A^{i',\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ qua phép biến đổi này, và vì thế vẫn bằng $0$. Tương tự cho các phép biến đổi cột $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_{j'}$.

Vậy ta đã chứng minh nếu $A$ có hạng $r$ thì sau các phép biến đổi sơ cấp, các định thức con cấp $r+1$ cũng $A$ đều bằng $0$.
Ta còn phải chỉ ra rằng $A$ có một định thức con cấp $r$ khác $0$. Giả sử ban đầu $A$ có một định thức con cấp $r$ khác $0$ là $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$.

• Khi đổi chỗ hai hàng $i$ và $i'$, có thể xảy ra các trường hợp $i, i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ đổi dấu, vì thế vẫn khác $0$), hoặc $i \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$, (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ sẽ khác $0$ khi thay $i$ bởi $i'$), hoặc $i \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ (tương tự), hoặc $i, i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ không đổi, vì thế vẫn khác $0$). Tương tự khi đổi chỗ hai cột $j$ và $j'$.
• Khi nhân hàng thứ $i$ với vô hướng $\lambda \neq 0$, định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ trở thành $\lambda A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_{r}\}$ và không đổi nếu ngược lại, trong mọi trường hợp thì vẫn khác $0$. Tương tự cho việc nhân một cột $j$ với một vô hướng $\lambda \neq 0$.
• Khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$, thì rắc rối hơn một chút.

• Nếu $i \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ không đổi, nên vẫn khác $0$.
• Nếu $i, i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ được cộng thêm một định thức mới với hai hàng bằng nhau (thứ $i$ và thứ $i'$), nên không đổi, nên vẫn khác $0$.
• Nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$. Ta giả sử chẳng hạn $i = i_1$, thế thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ trở thành $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} + \lambda A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$. Nếu $A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} = 0$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ không đổi, nên vẫn khác $0$. Nếu $A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} \neq 0$, nhân xét rằng đây là một định thức con cấp $r$ khác $0$ của ma trận mới thu được sau khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$ (vì phép biến đổi này chỉ thay đổi hàng $i$, trong khi $i \notin \{i',i_2,\ldots,i_r\}$.

Vậy ma trận mới thu được vẫn có một định thức con cấp $r$ khác $0$ trong mọi trường hợp. Tương tự cho phép biến đổi cột $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_{j'}$.

Cảm ơn anh rất nhiều

Hạng của một ma trận $A$ với các hàng $H_1,...,H_m$ (mỗi $H_i$ là một vector trong $\mathbb{R}^n$) là số chiều của không gian vector sinh bởi các vector $H_1,...,H_m$. Nếu bạn biến đổi sơ cấp trên các hàng, ví dụ $H_1+2H_2,H_2,...,H_m$ thì không thay đổi không gian mà nó sinh ra, vì hai hệ sinh có thể biến đổi ngược lại nhau.

Vâng nhưng nhiều sách trình bày hướng hạng của ma trận trước khi trình bày không gian vector ạ. Nên khiến em không hiểu khái niệm hạng vector có trước hay hạng ma trận có trước

Cảm ơn anh. Em vẫn muốn hỏi thêm tại sao có nghịch đảo thì bảo toàn hạng. Vì hạng của ma trận m*n không phải là ma trận vuông.