Đến nội dung

nhancccp

nhancccp

Đăng ký: 24-03-2023
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#744154 Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x...

Gửi bởi nhancccp trong 14-03-2024 - 18:07

Bài 3 ngoài cách đặt ẩn phụ của cao thủ minhhaiproh ta có thể sử dụng phương pháp bình phương 

ĐK:$x \in \mathbb{R}$

Ta có $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$$\Rightarrow (7x^2-10x+14)^2=25(x^4+4)$$\Leftrightarrow 6x^4-35x^3+74x^2-70x+24=0\Leftrightarrow (2x^2-5x-4)(3x^2-10x-6)=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{7}}{3}$

Và em xin góp vui một bài :Giải phương trình $(x-2)(x^2+x+3)=2\sqrt[3]{4x^2+12x+9}+\sqrt[3]{2x+3}$




#744147 $\left\{\begin{matrix} xy-x-y=1 &...

Gửi bởi nhancccp trong 14-03-2024 - 12:45

Xét $x=1$ không là nghiệm của hệ

Phương trình thứ nhất tương đương với $y=\frac{x+1}{x-1}$.Thế $y=\frac{x+1}{x-1}$ vào (2) ta được $4x^3-12x^2+9x=\frac{-(x+1)^3}{(x-1)^3}+\frac{6(x-1)}{(x+1)}+7$$\Leftrightarrow (x-1)^3(4x^3-12x^2+9x)=12x^3-30x^2+12x-2\Leftrightarrow 4x^6+24x^5+57x^4-79x^3+69x^2-21x+2=0\Leftrightarrow (x^2-x+2)(2x^2-5x+1)^2=0$$\left[ \begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\x=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của hệ là $(x;y)=(\frac{5\pm\sqrt{17}}{4};\frac{1\pm \sqrt{17}}{2})$




#744146 Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x...

Gửi bởi nhancccp trong 14-03-2024 - 12:22

1)ĐK:$x \in \mathbb{R}$

Phương trình đã cho tương đương với $(3x)^3+3x=(3x^2+4x+5)\sqrt{3x^2+4x+5}+\sqrt{3x^2+4x+5}$

Xét hàm $f(t)=t^3+t$ có $f'(t)=3t^2+1>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến

Lại có $f(3x)=f(\sqrt{3x^2+4x+5})\Rightarrow 3x=\sqrt{3x^2+4x+5}\Rightarrow 6x^2-4x-5=0$

Giải phương trình bậc hai và đối chiếu và thử lại ta thấy $x=\frac{2+\sqrt{54}}{6}$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp bình phương (và các pp khác ...)

Ta có $27x^3+3x=(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}$$\Rightarrow (27x^3+3x)^2=(3x^2+4x+6)^2(3x^2+4x+5)$$\Leftrightarrow 702 x^6 - 108 x^5 - 135 x^4 - 472 x^3 - 551 x^2 - 384 x - 180 = 0$$\Leftrightarrow (6 x^2 - 4 x - 5) (117 x^4 + 60 x^3 + 115 x^2 + 48 x + 36) = 0$....




#744064 đề thi hsg toán tỉnh Bình Phước 2023-2024

Gửi bởi nhancccp trong 10-03-2024 - 08:38

3)Xét $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.Phương trình thứ hai tương đương với $x=\frac{y^2-3y+3}{y}$

Thế $x=\frac{y^2-3y+3}{y}$ vào phương tình (1) ta được $5y^2-6y+9=\sqrt{\frac{(y^2-3y+3)^2}{y^2}+3} (1')\Rightarrow (5y^2-6y+9)^2=\frac{16y^2[(y^2-3y+3)^2+3y^2]}{y^2}  $$\Leftrightarrow (5y^2-6y+9)^2=16(y^2-3y+3)^2+48y^2\Leftrightarrow 9y^4+36y^3-114y^2+180y-11=0$$\Leftrightarrow (y-1)(3y^3+15y^2-23y+37)=0$

Vậy $y=1(n) \Rightarrow x=1$ hoặc $3y^3+15y^2-23y+37=0 (*)$

{Giải phương trình bậc ba (*)}

Ta có $\Delta=b^2-3ac=432;k=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{-29\sqrt{3}}{36}$

VÌ $\Delta<0;|k|>1$ nên (*) có một nghiệm duy nhất $y=\frac{\Delta|k|}{3ak}(\sqrt[3]{|k|+\sqrt{k^2-1}}+\sqrt[3]{|k|-\sqrt{k^2-1}})-\frac{b}{3a}=\frac{1}{3}(-5-\frac{12\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{29-\sqrt{409}}}-2\sqrt[3]{29-\sqrt{409}})$

Thế vào (1') ta thấy không thỏa mãn 

Vậy nghiệm của hệ là $(x;y)=(1;1)$

 




#743870 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 27-02-2024 - 16:29

Ta sẽ sử dụng liên hợp (hoặc hàm đặc trưng) để giải quyết bài toán trên

58)ĐK:$y \leq -x^2,x \leq -y^2$

Ta có $(\sqrt{y^2+x}+x)(\sqrt{x^2+y}-y)=y$

$\Leftrightarrow (\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}-y^2-y)+(x\sqrt{x^2+y}-y\sqrt{x+y^2})+(-xy-y+y^2+y)=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)(x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y)}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3)}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)\bigg[\frac{(x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y)}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{(x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3)}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y\bigg]=0$

Vậy $x=y$ hoặc $\frac{x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y=0(*)$

Dễ chứng minh Vt(*)>0 nên (*) vô nghiệm với $y \leq -x^2,x \leq -y^2$

Vậy $x=y$




#743864 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 26-02-2024 - 21:34

57)Cho các số thực $a;b;c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ac=1$.Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{2}{a+b+c-abc}$

 




#743858 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 26-02-2024 - 19:03

${\color{Blue} \boxed{\text{55}}}$Với $a+b+c \neq 0$ và $(a+b)(b+c)(a+c)=1$.Chứng minh rằng $\frac{a}{a^2(a+b+c)+1+abc}+\frac{b}{b^2(a+b+c)+1+abc}=\frac{ab(a+b+c)+abc+1}{(a+b+c)^2}$

${\color{Blue} \boxed{\text{56}}}$ Giả sử $a_1;a_2;...;a_{2021}$ là những số thực thỏa mãn $\frac{a_1}{a_1^2+1}+\frac{a_2}{a_2^2+1}+...+\frac{a_{2021}}{a_{2021}^2+1}=0$.Chứng minh rằng tồn tại sơ tự nhiên $k(1 \leq k leq 2021)$ thỏa mãn $\bigg|\frac{a_1}{a_1^2+1}+\frac{2a_2}{a_2^2+1}+...+\frac{ka_k}{a_k^2+1}\bigg| \leq \frac{2k+1}{8}$

(Trích đề KHTN 202x)




#743845 $10x^3-13x^2+6x-1+2(x^2-x)\sqrt{2x-3x^2}=0$

Gửi bởi nhancccp trong 25-02-2024 - 21:24

Em xin đóng góp hai cách giả cho bài này,cách thứ nhất là bình phương và cách thứ hai là dùng hàm đặc trưng

 

Cách thứ nhất:ĐK:$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

Ta có $10x^3-13x^2+6x-1+2(x^2-x)\sqrt{2x-3x^2}=0$$\Rightarrow (10x^3-13x^2+6x-1)^2=4(x^2-x)^2(2x-3x^2)$$\Leftrightarrow 112x^6-292x^5+317x^4-184x^3+62x^2-12x+1=0$$\Leftrightarrow (7x^2-6x+1)(16x^4-28x^3+19x^2-6x+1)=0$$\left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}(n)\\x=\frac{3-\sqrt{2}}{7}(l)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$

Cách thứ hai:ĐK:$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho $x^3$.Ta được $10-\frac{13}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}+2\bigg(1-\frac{1}{x}\bigg)\sqrt{\frac{2}{x}-3}=0$

Đặt $t=\frac{1}{x}(t > 0)$ ta có $-t^3+6t^2-13t+10+2(1-t)\sqrt{2t-3})=0\Leftrightarrow t^3-6t^2+13t-10=(2-2t)\sqrt{2t-3}\Leftrightarrow (t-2)^3+(t-2)=(-\sqrt{2t-3})^3-\sqrt{2t-3}$

Xét hàm $f(y)=y^3+y$ có $f'(y)=3y^2+1>0,\forall y \in \mathbb{R}$ nên $f(y)$ luôn đồng biến trên R

Ta có $f(t-2)=f(-\sqrt{2t-3})\Leftrightarrow t-2=-\sqrt{2t-3}\Rightarrow t^2-6t+7=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t=3-\sqrt{2}(n)\\t=3+\sqrt{2}(l)\end{array} \right.$

Vậy $x=\frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$




#743561 Bài 4 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Gửi bởi nhancccp trong 14-02-2024 - 19:36

Để phương trình $x^2-y^2+2xy=5 (*)$ có nghiệm thì $\Delta=2x^2-5 \geq 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x \geq  \sqrt{\frac{5}{2}}\\ x \leq -\sqrt{\frac{5}{2}}\\ \end{matrix} \right.$

Phương trình $(*)$ có nghiệm $y=x \pm \sqrt{2x^2-5}$

Trường hợp 1:Thay $y=x+\sqrt{2x^2-5}$ vào $A=3x^2+2y^2$ ta được $A=9x^2+4\sqrt{2x^2-5}-10$ 

Ta có $A'=\frac{4(4x^2-5)}{\sqrt{2x^2-5}}+18x=\frac{2(\sqrt{2x^2-5}+4x)(\sqrt{2x^2-5}-4x)}{\sqrt{2x^2-5}}$ $(x > \sqrt{\frac{5}{2}}$ hoặc $x < -\sqrt{\frac{5}{2}}$)

Do đó $A'=0\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-5}-4x=0\Rightarrow 16x^2=2x^2-5\Leftrightarrow x=-2\sqrt{\frac{5}{7}} (tm) $

(Vẽ bảng biến thiên)

Theo bảng biến thiên $minA=10$ khi $x=-2\sqrt{\frac{5}{7}}$ (và $y=-\frac{\sqrt{35}}{7}$)

Trường hợp 2:Thay $y=x-\sqrt{2x^2-5}$ vào $A=3x^2+2y^2$ ta được $A=9x^2-4\sqrt{2x^2-5}-10$

Ta có $A'=-\frac{4(4x^2-5)}{\sqrt{2x^2-5}}+18x=\frac{2(-8x^2+9\sqrt{2x^2-5}x+10)}{\sqrt{2x^2-5}}$ $(x > \sqrt{\frac{5}{2}}$ hoặc $x < -\sqrt{\frac{5}{2}}$)

Do đó $A'=0\Leftrightarrow -8x^2+9\sqrt{2x^2-5}x+10=0\Rightarrow (8x^2-10)^2=81x^2(2x^2-5)\Leftrightarrow x=2\sqrt{\frac{5}{7}} (tm)$

(Vẽ bảng biến thiên)

Theo bảng ta thấy $min A=10$ khi $x=2\sqrt{\frac{5}{7}}$ (và $y=\frac{\sqrt{35}}{7}$)

Tổng kết từ 2 trường hợp ta có $minA=10$ khi $x=\pm 2\sqrt{\frac{5}{7}};y=\pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

 




#743412 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 09-02-2024 - 09:54

Mình nghĩ câu 53 là "cho $x;y;z \neq 0$ thỏa mãn $\frac{x^2+y}{y^2}=\frac{y^2+z}{x^2}=\frac{z^2+x}{z^2}=2$...." nhỉ bạn.

53)Ta có $\frac{a}{m}+\frac{b}{m^2}+\frac{c}{m^3}=m\Rightarrow \frac{2a}{1+\sqrt{5}}+\frac{4b}{(1+\sqrt{5})^2}+\frac{8c}{(1+\sqrt{5})^3}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\Leftrightarrow (2c+3a+b-7)+\sqrt{5}(a+b-3)=0$ (1)

Vì $a,b,c \in \mathbb{Z}$ nên để thỏa mãn $(1)$ thì $\left\{\begin{matrix} & 3a+b+2c=7\\ & a+b=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & b=3-a\\ & c=2-a \end{matrix}\right.$

Vậy $S=2a+b+c=2a+3-a+2-a=5$

 




#743400 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 08-02-2024 - 11:13

51)Cho phương trình $(m-1)x^3+(m^2-1)x^2+mx+1=0$.Tìm $m$ để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt

 




#743380 $(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$

Gửi bởi nhancccp trong 07-02-2024 - 11:53

*Sử dụng bổ đề LTE

Ta có $v_2(3^n-1)=v_2(4)+v_2(2)+v_2(n)-1=v_2(n)+2$.Để $3^n-1 \vdots 2^{2023}$ thì $v_2(3^n-1)\geq 2023$ hay $v_2(n)\geq 2021$

Vậy số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn là $2^{2021}$




#743356 $ax^{2}+(a+b-c)x+b=0$

Gửi bởi nhancccp trong 04-02-2024 - 17:33

Mọi người giải giúp mình bài này. Xin cảm ơn!

Cho $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ là độ dài các cạnh của tam giác. Giải phương trình sau:

$ax^{2}+(a+b-c)x+b=0$

ĐK:$a;b;c>0$

$\Delta=(a+b-c)^2-4ab=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ac)=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Theo bất đẳng thức tam giác $\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}>0;\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}>0;\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>0;\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}<0$

Vậy $\Delta<0$ nên phương trình vô nghiệm 




#743345 Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^...

Gửi bởi nhancccp trong 03-02-2024 - 17:17

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

Dùng phép "nhân tung tóe" chắc cũng mất mấy tiếng,ngồi chờ lời giải đẹp

Ta có ${\color{Red} f(f(x))}=(x^2+x+1)^2+(x^2+x+1)+1=x^4+2x^3+4x^2+3x+3$

${\color{Red} f(f(f(x)))}=(x^2+x+1)^4+2(x^2+x+1)^3+4(x^2+x+1)^2+3(x^2+x+1)+3=x^8+4x^7+12x^6+22x^5+35x^4+38x^3+37x^2+21x+13$

${\color{Red} f(f(f(f(x)))}=(x^2+x+1)^8+4(x^2+x+1)^7+12(x^2+x+1)^6+22(x^2+x+1)^5+35(x^2+x+1)^4+38(x^2+x+1)^3+37(x^2+x+1)^2+21(x^2+x+1)+13$$=x^{16}+8x^{15}+40x^{14}+140x^{13}+390x^{12}+884x^{11}+1702x^{10}+2790x^9+3980x^8+4900x^7++5286x^6+4876x^5+3910x^4+2580x^3+1440x^2+567x+183$

${\color{Red} f(f(f(f(f(x)))))}=x^{32} + 16 x^{31} + 144 x^{30} + 920 x^{29} + 4620 x^{28} + 19208 x^{27} + 68348 x^{26} + 212732 x^{25} + 588380 x^{24} + 1462760 x^{23} + 3297580 x^{22} $$+ 6786000 x^{21} + 12814320 x^{20} + 22292560 x^{19} + 35837420 x^{18} + 53355230 x^{17} + 73679935 x^{16} + 94452240 x^{15} + 112430520 x^{14}+ 124216240 x^{13}$$+ 127251670 x^{12} + 120654560 x^{11} + 105615510 x^{10} + 85034690 x^9 + 62677680 x^8 + 42006568 x^7 + 25385078 x^6 + 13653832 x^5 + 6434290 x^4$$ + 2579820 x^3 + 849969 x^2 + 208089 x + 33673$

Vậy hệ số của $x^2$ trong đa thức $f(f(f(f(f(x)))))$ là $\mathbf{{\color{Red} \boxed{849969}}}$




#743341 $\sum \frac{{1 - {a^2}}}{{1 + {a^2}}} = \frac{{4abc}}{...

Gửi bởi nhancccp trong 03-02-2024 - 11:12

Thay $ab+bc+ac=1$ vào ta được 

$\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}$

$=\frac{ab+bc+ac-a^2}{ab+bc+ac+a^2}+\frac{ab+bc+ac-b^2}{ab+bc+ac+b^2}+\frac{ab+bc+ac-c^2}{ab+bc+ac+c^2}$

$=\frac{(b+c)(ab+bc+ac-a^2)+(a+c)(ab+bc+ac-b^2)+(a+b)(ab+bc+ac-c^2)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+6abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ (1)

Và $\frac{4abc}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}+1$

$=\frac{4abc}{\sqrt{(ab+bc+ac+a^2)(ab+bc+ac+b^2)(ab+bc+ac+c^2)}}+1$

$=\frac{4abc}{\sqrt{(a+b)^2(b+c)^2(a+c)^2}}+1$

$=\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}+1$ $(a,b,c>0)$

$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+6abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm