nhancccp

1. Giải phương trình:

$\sqrt{10x-5} + \sqrt{5x^2+5} = \sqrt{9x(x+2)}$

 

Đk:$x\geq 0$

Phương trình đã cho tương đương với $5\sqrt{(2x-1)(x^2+1)}=2x^2+4x$$\Leftrightarrow -4x^4+34x^3-41x^2+50x-25=0\Leftrightarrow (x^2-8x+5)(4x^2-2x+5)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} & x=4-\sqrt{11}\\ & x=4+\sqrt{11} \end{bmatrix}$

Bạn giải thích chỗ này rõ thêm tí được không?

Một trong 2 số $p;q$ chẵn mà nó lại là số nguyên tố nữa nên có 1 số bằng 2
Phần ở dưới em bận quá nên mò đại nghiệm,dùng casio test thử thì chỉ có cặp đó thôi ạ

Tìm p,q,r là các số nguyên tố thỏa mãn : $(p^{2}+1)(q^{2}+1)=r^{2}+1$

Xét $r$ chẵn,vì $r$ là số nguyên tố nên $r=2$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $(p^2+1)(q^2+1)=5$

Ta xét trường hợp $\left\{\begin{matrix} & p^2+1=5\\ & q^2+1=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & p=2\\ & q=0 \end{matrix}\right.$ (loại)

Xét $r$ lẻ,đặt $r=2k+1$

Phương trình trên tương đương với $(p^2+1)(q^2+1)=2(2k^2+2k+1)$ (1)

Vì VT chẵn nên tồn tại 1 trong 2 số $p;q$ bằng 2,giả sử số đó là $p$

$(1)\Leftrightarrow 5(q^2+1)=2(2k^2+2k+1)$

Giải phương trình ta tìm được nghiệm $q=3;k=3$ suy ra $q=3;r=7$ 

Vậy $p=2;q=3;r=7$ là các số thỏa mãn

Phương trình tương đương $x(y+1)^2=9y$. Ta lại có $4y\leq (y+1)^2$ và lưu ý $x, y$ nguyên dương, suy ra $x.4y<9y$ hay $x<\frac{9}{4}$. 

Vậy $x=1$ hoặc $x=2$. Tới đây thay ngược trở lại phương trình ban đầu ta tìm được giá trị của $y$. 

Ban đầu em cũng làm đến chỗ bôi đỏ nhưng không nghĩ ra được nữa

Tư duy của em là cố gắng tách phần nguyên nhưng thất bại

Giải pt x,y nguyên dương

 

$xy^{2} + 2xy +x=9y$

Phương trình đã cho tương đương với  $xy^2+(2x-9)y+x=0$,$\Delta=-36x+81$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $-36x+81$ là số chính phương hay tồn tại $k \in N$ thỏa $-36x+81=k^2 \Leftrightarrow x=\frac{81-k^2}{36}$  suy ra $k^2-81 \leq 0 \Leftrightarrow -9 \leq k \leq 9$.

Vì $k \in N$ nên $k \in [1;9]$,thế từng giá trị của k vào ta được nghiệm nguyên dương $x=2$ và $y=2$ khi $k=3$

Vậy $(x;y)=(2;2)$

Tìm tất cả các số nguyên $p;q;r$ và các số nguyên dương $t;n$ thỏa mãn $p^2+qr=t^4;p^2+qt=(p+t)^n$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & x^3-6x^2+13x-10-(x-y+2)\sqrt{x-y+1}=0\\ & (3x^2+18x-2xy-y^2)\sqrt{x-y+6}-24x-8y=0 \end{matrix}\right.$

Bài 1: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$

Bài 2: Cho $a, b, c, d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $P(x)= ax^3+bx^2+cx+d$ có nghiệm là $3+2\sqrt{2}$, chứng minh rằng $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-6x+1$

Bài 3: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $xy+5y - \sqrt{4y-1}= \frac{7x}{2} - \sqrt{x+1}$

Bài 2: Ta có $P(3+2\sqrt{2})=99a+70a\sqrt{2}+17b+12b\sqrt{2}+3c+2c\sqrt{2}+d=(99a+17b+3c+d)+\sqrt{2}(70a+12b+2c)=0$

Vì $a;b;c$ hữu tỷ suy ra $99a+17b+3c+d$ và $70a+12b+2c$ đều là các số hữu tỷ nên theo kết quả ta có $99a+17b+3c+d=70a+12b+2c =0$.

Khi đó $P(3-2\sqrt{2})$=$(99a+17b+3c+d)-\sqrt{2}(70a+12b+2c)=0$ nên $P(x)$ cũng có nghiệm là $3-2\sqrt{2}$.

Vậy $P(x)$ chia hết cho $(x-3-2\sqrt{2})(x-3+2\sqrt{2})$$=x^2-6x+1$ (đpcm)

Bạn chú ý là bài yêu cầu $x,y$ hữu tỉ, chính điều kiện đó ràng buộc $x=y$.

Ta sẽ phải chứng minh rằng không tồn tại  $x,y$ là các số hữu tỉ phân biệt sao cho $x^3-2x=y^3-2y$. Đây chính là chỗ hay và khó của bài toán này. 

Dạo này mơ màng,đầu óc cứ như trên mây vậy,làm sai tới sai lui,mong thầy thông cảm.

Nước Bạch ? Nước Đằng ở đâu vậy ?

Nước Bạch Nga (nguồn: https://vi.wikipedia.../wiki/Bạch_Nga)

nước Đằng-chư hầu nhà Chu (nguồn:https://vi.wikipedia...iki/Đằng_(nước)

Vậy còn TH $x_1 \neq x_4; x_2 = x_5; \ldots;$ thì sao bạn ? Rồi còn:

* $x_1 = x_4; x_2 \neq x_5; \ldots$ ?

* $x_1 = x_4; x_2 = x_5; x_3 \neq x_6; \ldots$ ?

Bạn ngộ nhận ở số lượng TH. Bạn nên bắt đầu bằng $x_1 = x_4$, sau đó chia tiếp từng TH. Xong xuôi rồi mới xét lại $x_1 \neq x_4$, rồi lại chia tiếp TH.

Em nhẩm được các nghiệm $x_1=1;x_2=2;x_3=3;x_4=1;x_5=2;x_6=3;...;x_{1985}=1;x_{1986}=2;x_{1987}=3$ và nghiệm  $(x_1;x_2;x_3;...;x_{1985};x_{1986};x_{1987})=(x_1;0;-x_1;...;x_1;0;-x_1)$ với $x_1=-x_3=a$(a là số thực bất kì) và $x_2=0$

Em nghĩ cả buổi không ra,chỉ nhẩm được nghiệm,ai có lời giải hoàn chỉnh thì sửa giúp em với.

Mới phát hiện đã nhẩm sai nghiệm vì khi đó nghiệm sẽ có vòng lặp 3 mà 1987 không chia hết cho 3 !

Vậy còn TH $x_1 \neq x_4; x_2 = x_5; \ldots;$ thì sao bạn ? Rồi còn:

* $x_1 = x_4; x_2 \neq x_5; \ldots$ ?

* $x_1 = x_4; x_2 = x_5; x_3 \neq x_6; \ldots$ ?

Bạn ngộ nhận ở số lượng TH. Bạn nên bắt đầu bằng $x_1 = x_4$, sau đó chia tiếp từng TH. Xong xuôi rồi mới xét lại $x_1 \neq x_4$, rồi lại chia tiếp TH.

À, hôm qua em quên mất chỉ xét 2 trường hợp.

Câu 2)ĐK:$x\geq0$

Đặt $a=b+c;b=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}};c=\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$

Lập phương 2 vế ta có $a^3=b^3+c^3+3bc(b+c)$.Dễ thấy $b^3+c^3=6;$$bc=\sqrt[3]{9-x}$

Vậy $a^3-3a\sqrt[3]{9-x}-6=0 (1)$.

Vì $a\in Z$ nên phương trình 1 có nghiệm nguyên $a=1;a=-1;a=2;a=-2;a=3;a=-3;a=6;a=-6$

Từ đó thế từng giá trị của $a$ vào $(1)$ rồi tính $x$

Cho các số $m,n,p$ thỏa mãn các điều kiện

$\left ( \sqrt{1+m^2}+m \right )\left ( \sqrt{1+n^2}-n \right )=1$ và $\left ( \sqrt{1+n^2}+p \right )\left ( \sqrt{1+p^2}+n \right )=1$

Tính giá trị của biểu thức $Q=m^{2013}+p^{2013}$.

từ $(p+\sqrt{n^2+1})(n+\sqrt{p^2+1})=0\rightarrow p+n=0$$\rightarrow p=-n$

thế $p=-n$ vào$(\sqrt{m^2+1}+m)(\sqrt{n^2+1}-n)=1$ ta được $(\sqrt{m^2+1}+m)(\sqrt{p^2+1}+p)\rightarrow m+p=0$

Vậy ${\color{Red} Q=m^{2013}+p^{2013}=0 }$

(tham khảo cách chứng minh ở đây:https://diendantoanh...sqrtx21right1/)

Phương trình $z^2+xy=yz+xz$ tương đương $(x-z)(y-z)=0$ tức là $x=z$ hoặc $y=z$. 

Phương trình có nghiệm tổng quát $(x, y, x)$ hoặc $(x, y, y)$ trong đó $x,y \geq 0$. 

Vậy mình kết luận nghiệm của phương trình là: $(x;y;z)=(x;y;x);(x;y;y)$ hả thầy