Đến nội dung

nhancccp

nhancccp

Đăng ký: 24-03-2023
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#743412 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 09-02-2024 - 09:54

Mình nghĩ câu 53 là "cho $x;y;z \neq 0$ thỏa mãn $\frac{x^2+y}{y^2}=\frac{y^2+z}{x^2}=\frac{z^2+x}{z^2}=2$...." nhỉ bạn.

53)Ta có $\frac{a}{m}+\frac{b}{m^2}+\frac{c}{m^3}=m\Rightarrow \frac{2a}{1+\sqrt{5}}+\frac{4b}{(1+\sqrt{5})^2}+\frac{8c}{(1+\sqrt{5})^3}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\Leftrightarrow (2c+3a+b-7)+\sqrt{5}(a+b-3)=0$ (1)

Vì $a,b,c \in \mathbb{Z}$ nên để thỏa mãn $(1)$ thì $\left\{\begin{matrix} & 3a+b+2c=7\\ & a+b=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & b=3-a\\ & c=2-a \end{matrix}\right.$

Vậy $S=2a+b+c=2a+3-a+2-a=5$

 




#743400 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 08-02-2024 - 11:13

51)Cho phương trình $(m-1)x^3+(m^2-1)x^2+mx+1=0$.Tìm $m$ để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt

 




#743380 $(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$

Gửi bởi nhancccp trong 07-02-2024 - 11:53

*Sử dụng bổ đề LTE

Ta có $v_2(3^n-1)=v_2(4)+v_2(2)+v_2(n)-1=v_2(n)+2$.Để $3^n-1 \vdots 2^{2023}$ thì $v_2(3^n-1)\geq 2023$ hay $v_2(n)\geq 2021$

Vậy số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn là $2^{2021}$




#743356 $ax^{2}+(a+b-c)x+b=0$

Gửi bởi nhancccp trong 04-02-2024 - 17:33

Mọi người giải giúp mình bài này. Xin cảm ơn!

Cho $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ là độ dài các cạnh của tam giác. Giải phương trình sau:

$ax^{2}+(a+b-c)x+b=0$

ĐK:$a;b;c>0$

$\Delta=(a+b-c)^2-4ab=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ac)=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Theo bất đẳng thức tam giác $\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}>0;\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}>0;\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>0;\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}<0$

Vậy $\Delta<0$ nên phương trình vô nghiệm 




#743345 Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^...

Gửi bởi nhancccp trong 03-02-2024 - 17:17

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

Dùng phép "nhân tung tóe" chắc cũng mất mấy tiếng,ngồi chờ lời giải đẹp

Ta có ${\color{Red} f(f(x))}=(x^2+x+1)^2+(x^2+x+1)+1=x^4+2x^3+4x^2+3x+3$

${\color{Red} f(f(f(x)))}=(x^2+x+1)^4+2(x^2+x+1)^3+4(x^2+x+1)^2+3(x^2+x+1)+3=x^8+4x^7+12x^6+22x^5+35x^4+38x^3+37x^2+21x+13$

${\color{Red} f(f(f(f(x)))}=(x^2+x+1)^8+4(x^2+x+1)^7+12(x^2+x+1)^6+22(x^2+x+1)^5+35(x^2+x+1)^4+38(x^2+x+1)^3+37(x^2+x+1)^2+21(x^2+x+1)+13$$=x^{16}+8x^{15}+40x^{14}+140x^{13}+390x^{12}+884x^{11}+1702x^{10}+2790x^9+3980x^8+4900x^7++5286x^6+4876x^5+3910x^4+2580x^3+1440x^2+567x+183$

${\color{Red} f(f(f(f(f(x)))))}=x^{32} + 16 x^{31} + 144 x^{30} + 920 x^{29} + 4620 x^{28} + 19208 x^{27} + 68348 x^{26} + 212732 x^{25} + 588380 x^{24} + 1462760 x^{23} + 3297580 x^{22} $$+ 6786000 x^{21} + 12814320 x^{20} + 22292560 x^{19} + 35837420 x^{18} + 53355230 x^{17} + 73679935 x^{16} + 94452240 x^{15} + 112430520 x^{14}+ 124216240 x^{13}$$+ 127251670 x^{12} + 120654560 x^{11} + 105615510 x^{10} + 85034690 x^9 + 62677680 x^8 + 42006568 x^7 + 25385078 x^6 + 13653832 x^5 + 6434290 x^4$$ + 2579820 x^3 + 849969 x^2 + 208089 x + 33673$

Vậy hệ số của $x^2$ trong đa thức $f(f(f(f(f(x)))))$ là $\mathbf{{\color{Red} \boxed{849969}}}$




#743341 $\sum \frac{{1 - {a^2}}}{{1 + {a^2}}} = \frac{{4abc}}{...

Gửi bởi nhancccp trong 03-02-2024 - 11:12

Thay $ab+bc+ac=1$ vào ta được 

$\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}$

$=\frac{ab+bc+ac-a^2}{ab+bc+ac+a^2}+\frac{ab+bc+ac-b^2}{ab+bc+ac+b^2}+\frac{ab+bc+ac-c^2}{ab+bc+ac+c^2}$

$=\frac{(b+c)(ab+bc+ac-a^2)+(a+c)(ab+bc+ac-b^2)+(a+b)(ab+bc+ac-c^2)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+6abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ (1)

Và $\frac{4abc}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}+1$

$=\frac{4abc}{\sqrt{(ab+bc+ac+a^2)(ab+bc+ac+b^2)(ab+bc+ac+c^2)}}+1$

$=\frac{4abc}{\sqrt{(a+b)^2(b+c)^2(a+c)^2}}+1$

$=\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}+1$ $(a,b,c>0)$

$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+6abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm




#743296 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 30-01-2024 - 19:52

43)Chứng minh rằng $\sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ac-bd)}$ là số hữu tỉ trong đó $a;b;c;d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $a+b+c+d=0$

44)Cho $a;b>0;c \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$.Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}$

45)Tìm số thực $x$ để giá trị biểu thức $M=\sqrt[3]{6+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{x}}$ nhận giá trị nguyên

46)Cho $a;b$ là các số dương sao cho $a>b>0$ và biểu thức $P=\frac{1}{a^3-b^3}\bigg[(a^2-b^2)(a^2-ab+b^2)-(a-b)\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(a^2-b^2)(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\bigg]$

a)Rút gọn biểu thức $P$

b)Chứng minh rằng $P<3$ với $a^2+b^2=2$

47)Tìm $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt $x^4-(m+1)x^3+2mx^2-(m^2+m-1)x-m-1=0$

Lần sau,ta sẽ đi qua chuyên đề hàm số bậc nhất,phương trình bậc hai nhé  :D




#743274 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 28-01-2024 - 17:23

Một số bài tương tự bài 34:

34.1)Cho $a;b;c$ thỏa $abc \neq 0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$.Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$ 

34.2)Cho $a;b;c$ là các số thực khác không,đôi một phân biệt thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{[a^2+2(bc-1)][b^2+2(ac-1)][c^2+2(ab-1)]}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}$

34.3)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $ab+bc+ac=0$.Tính $B=\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2-a^2c^2}+\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2}+\frac{a^2b^2c^2}{c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2}$

34.4)Cho $ax+by+cz=0$ và $a+b+c=\frac{1}{2024}$.Chứng minh rằng $\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=2024$

34.5)Rút gọn biểu thức $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

35)Tìm $min,max$ của các biểu thức sau bằng hai cách (miền giá trị,đạo hàm)

a)$A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}$

b)$B=\frac{2x^2+4x+5}{x^2+1}$

c)$C=\frac{27-12x}{x^2+9}$

d)$D=\frac{x+1}{x^2+x+1}$

34.5)$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{b^2(a+c)+b(a^2+c^2+2ac)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=1$

34.4)Xét hiệu $(ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)-[bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2]$$=a^2x^2+abx^2+aby^2+acx^2+acz^2+b^2y^2+bcy^2+bcz^2+c^2z^2-(abx^2-2abxy+aby^2+caz^2-2caxz+cax^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2)$$=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(abxy+acxz+bcyz)$$=(ax+by+cz)^2=0$

$\Rightarrow (ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)=bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2\Rightarrow \frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2024}}=2024(dpcm)$

34.1)Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0$

Xét tổng $(a+b)(b+c)(a+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)=0$$\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=-abc\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=-1$

Vậy $A=-1$

35)a)Ta có $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $A$ luôn xác định 

cách thứ nhất:phương pháp miền giá trị

Với một giá trị của $x$ tương ứng ta tính được một giá trị của $A$ sao cho $A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\Leftrightarrow (A-1)x^2-2(A+1)x+2(A-1)=0(*)$

Xét $A=1\Rightarrow x=0$,Vậy $A=1$ là một giá trị 

Xét $A \neq 1$,để (*) có nghiệm thì $\Delta'=A^2+2A+1-2(A^2-2A+1)=-A^2+6A-1 \geq 0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{2} \leq A \leq 3+2\sqrt{2}$.

Vậy $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Cách thứ hai:dùng đạo hàm 

$A'=\bigg(\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\bigg)'=\frac{(x^2+2x+2)'(x^2-2x+2)-(x^2-2x+2)'(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{(2x+2)(x^2-2x+2)-(2x-2)(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{-4x^2+8}{(x^2-2x+2)^2}$

Do đó $A'=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Vẽ bảng biến thiên (em chưa biết vẽ trên Latex)

Theo bảng biến thiên $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Các câu còn lại tương tự  :D

Bài tập tương tự:

36)Cho $\left\{\begin{matrix} & x;y;z \neq 0\\ & x\bigg(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\bigg)+y\bigg(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\bigg)+z\bigg(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\bigg)=2\\ & x^3+y^3+z^3=1 \end{matrix}\right.$.Tính $A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

37)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1)=0$  ~O)




#743266 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 28-01-2024 - 11:03

30) Rút gọn: $A=\frac{x^4-x^3-2x-4}{2x^4-3x^3+2x^2-6x-4}$

31) Gọi a là nghiệm dương của phương trình $\sqrt{2}x^2+x-1=0$ .Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $B=\frac{2a-3}{\sqrt{2(2a^4-2a+3)}+2a^2}$

32) Cho biểu thức $C=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}$ .Tìm các giá trị nguyên của a để C có giá trị nguyên.

33) Rút gọn biểu thức: $D=\left ( \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b} \right ).\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$

34) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=0$ Chứng minh rằng: $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3$

30)$A=\frac{x^4-x^3-2x-4}{2x^4-3x^3+2x^2-6x-4}=\frac{x^2(x^2-x-2)+2(x^2-x-2)}{x^2(2x^2-3x-2)+2(2x^2-3x-2)}=\frac{(x^2+2)(x+1)(x-2)}{(x^2+2)(x-2)(2x+1)}=\frac{x+1}{2x+1}$

Vậy $A=\frac{x+1}{2x+1}$

32)ĐK:$a >4$

$C=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}=\frac{\sqrt{2(a+\sqrt{a^2-16a+64})}}{\sqrt{\frac{a^2-8a+16}{a^2}}}=\frac{a\sqrt{2(a+|a-8|)}}{a-4}$

Xét $4<a<8$ ta có $C=\frac{a\sqrt{2(a+8-a)}}{a-4}=\frac{4a}{a-4}=4+\frac{16}{a-4}$

Để $C$ nhận giá trị nguyên thì $16 \vdots a-4$ ...Vậy $a=5;a=6$ thì $C$ nhận giá trị nguyên

Xét $a\geq 8$ ta có $C=\frac{2a\sqrt{a-4}}{a-4}=\frac{2a}{\sqrt{a-4}}$$\Rightarrow C^2=\frac{4a^2}{a-4}=4a+16+\frac{64}{a-4}$.Vì $C \in \mathbb{Z}$ nên $C^2\in \mathbb{Z}$

Để $C^2\in \mathbb{Z}$ thì $64 \vdots a-4$...Vậy $a=8,a=12,a=20,a=68$

Kết:Để $C$ nhận giá trị nguyên thì $a=5,a=6,a=8,a=12,a=20,a=68$

33)ĐK:$a\neq b,a;b \geq 0$

$D=\bigg(\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}\bigg).\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\bigg(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\bigg).\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a+b-\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}$

34)Ta có $ab+bc+ac=0 \Rightarrow (ab+bc+ac)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2)=0\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=3a^2b^2c^2\Rightarrow \displaystyle \frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3 (a;b;c \neq 0)$

32)$\sqrt{2}x^2+x-1=0\Leftrightarrow x-1=-\sqrt{2}x^2\Rightarrow 2x^4-x^2+2x-1=0\Rightarrow 2a^4-2a+3=a^2-4a+4$

Dễ chứng minh $a<2$ nên $B=\frac{2a-3}{\sqrt{2(a^2-4a+4)}+2a^2}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}(2-a)+2a^2}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}(\sqrt{2}a^2+a-1)-\sqrt{2}(2a-3)}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

Vậy $B=\frac{-1}{\sqrt{2}}$




#743239 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 26-01-2024 - 18:37

25/ chứng minh $x_{0}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là nghiệm phương trình:

$x^{4}-16x^{2}+32=0$

26/ Tính 

a, $A=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+...+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2008}}$

b, $B=\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2009^{2}}+\frac{1}{2010^{2}}}$

27/ cho $a^{2}+a+1=0$ tính giá trị của biểu thức: $P=a^{1981}+\frac{1}{a^{1981}}$

28/ tìm $x$ biết $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$  (trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa $5$ và $13$ một cách vô hạn lần

29/ tìm biểu thức ngắn gọn hơn cho tích sau đây:

$P_{n}=(1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2n-1)^{2}})$ biết rằng nó đúng với $n\geq 1$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Câu 27 bạn xem đề lại nhé,Mặc dù ta vẫn tính được $P=-1$ nhưng $a^2+a+1=0$ vô nghiệm trên trường số thực thì tính trên trường số phức luôn à :?  ~O)

25)Ta có $x_{0}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\Rightarrow x_0^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{\bigg(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\bigg)\bigg(6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}\bigg)}$$\Rightarrow (x_0^2-8)^2=(-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{6-3\sqrt{3}})^2\Leftrightarrow x^4-16x^2+32=0 (dpcm)$

26)$A=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+...+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2008}}=\frac{1-\sqrt{5}}{-4}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{9}}{-4}+...+\frac{\sqrt{2004}-\sqrt{2008}}{-4}=\frac{1-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{9}++...+\sqrt{2004}-\sqrt{2008}}{-4}=\frac{\sqrt{2008}-1}{4}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{2008}-1}{4}$

b)Áp dụng $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}=\sqrt{\frac{(x^2+x+1)^2}{x^2(x+1)^2}}=\frac{x^2+x+1}{x(x+1)}(x>0)$ rồi thế vào $B$




#743228 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 25-01-2024 - 18:08

Cảm ơn bạn.

Theo mình thì đề câu 24 là  "Tính giá trị của biểu thức $G=\frac{4(x+1)x^{2023}-2x^{2022}+x+1}{2x^2+3x}$ tại $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$ thi sẽ đẹp hơn" và khi ấy $G=1$ còn nếu không thì $G=3-\sqrt{3}$

22)Ta có $\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2-3x+1=0$.Vậy $P=\frac{x^5-4x^3-17x+9}{x^4+3x^2+2x+11}=\frac{(x^2-3x+1)(x^3+3x^2+4x+9)+6x}{(x^2+3x+11)(x^2-3x+11)+32x}=\frac{3}{16}$

23)$\displaystyle H=\frac{15\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2}+\frac{5\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3}+\frac{10\sqrt{z}}{3\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=\frac{15\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3)}+\frac{5\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3}+\frac{10\sqrt{z}}{\sqrt{xz}(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3)}=\frac{5\sqrt{z}(3\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2)}{\sqrt{xz}(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3)}=5$

Vậy $H=5$

24)Ta có $\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$\Rightarrow 2x^2+2x-1=0$

Vậy $\displaystyle G=\frac{4(x+1)x^{2023}-2x^{2022}+x+1}{2x^2+3x}=\frac{2x^{2022}(2x^2+2x-1)+x+1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$

Để "đổi gió" ta nên đưa ra một số bài hệ,phương trình đại số,phương trình vô tỷ được không các bạn  ~O)  ~O)  ~O)




#743194 $\left\{\begin{matrix}2xy-x+2y=3&...

Gửi bởi nhancccp trong 23-01-2024 - 15:19

b, $\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+\frac{8x}{x+y}=16 & \\ \frac{x^{2}}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^{3}}{3y}+\frac{x^{2}}{4}}-\frac{y}{2}&\end{matrix}\right.$

 

ĐK:$x \neq -y \neq 0$$,\frac{4x+3y}{y} \geq 0$

Từ phương trình $(2)$$\Rightarrow (3x^2+16xy+12y^2)^2=16x^2y^2\bigg(\frac{12x}{y}+9\bigg)\Leftrightarrow 9x^4-96x^3y+184x^2y^2+384xy^3+144y^4=0\Leftrightarrow (x-6y)^2(3x+2y)^2=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=6y \\ x=\frac{-2y}{3} \end{array}\right.$

Trường hợp 1:Thay $x=6y$ vào phương trình $(1)$ ta được $259y^2-64=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=\frac{8}{\sqrt{259}}\Rightarrow x=\frac{48}{\sqrt{259}} \\ y=-\frac{8}{\sqrt{259}} \Rightarrow x=\frac{-48}{\sqrt{259}} (ktm) \end{array}\right.$

Trường hợp 2:Thay $x=\frac{-2y}{3}$ vào phương trình $(1)$ ta được $13y^2-288=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \Rightarrow x=\frac{-8\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\\ y=\frac{-12\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\Rightarrow x=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{13}} (ktm) \end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ${\color{Red} \boxed{(x;y)=\bigg(\frac{48}{\sqrt{259}};\frac{8}{\sqrt{259}}\bigg);\bigg(\frac{-8\sqrt{2}}{\sqrt{13}};\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\bigg)}}$

NX:Ngoài cách bình phương như trên để tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y$ ta còn có thể dùng "liên hợp" phương trình $(2)$  ~O)




#743101 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 18-01-2024 - 19:14

Mình xin đăng một số bài để luyện nữa:

${\color{Blue}\boxed{17}}$ (HSG Bình Thuận 2017-2018) Cho biểu thức $Q=\sqrt{25 x}:\left[\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{3 x+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{x}-1}\right]$ với $x \neq 1;x>0$

a)Rút gọn biểu thức $Q$ 

b)Tìm $x$ để biểu thức nhận giá trị nguyên 

Rút gọn biểu thức $P=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{a+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\bigg(\frac{\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}\bigg),(a,b>0;a \neq b)$ (HSG Bắc Ninh 2023-2024)

${\color{Blue} \boxed{18}}$ Chứng minh biểu thức $P=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^3+\frac{2x^2}{\sqrt{x}}++y\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}+\frac{3\sqrt{xy}-3y}{x-y}$ không phụ thuộc vào $x;y$ $(x>0;y>0;x \neq y)$

${\color{Blue} \boxed{19}}$ Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc  vào các biến 

a)$P=\frac{x}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})}+\frac{y}{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})}+\frac{z}{(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y})}$ $(x;y;z>0;x \neq y\neq z)$

b)$P=\bigg(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\bigg).\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$ ($(x>0;y>0;x \neq y)$

c)$T=\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}-\bigg(\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}\bigg)\bigg(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\bigg)$ $(x;y>0;x\neq y)$

${\color{Blue}\boxed{20}}$ Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{\frac{16}{x^2}-\frac{8}{x}+1}}$ với $x>4$

a)Rút gọn $P$

b)Với giá trị nào của $x$ thì $P$ đạt giá trị nhỏ nhất,$P$ nhận giá trị nguyên ?

 




#743024 $15(x^{3}+x^{2}+2x)=4\sqrt{5}(x^...

Gửi bởi nhancccp trong 15-01-2024 - 21:38

ĐK:$x \geq 0$

Xét $x>2$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)<4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$(VT<VP)

Xét $x<1$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)<4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$ (VT<VP)

Xét $1<x<2$ ta có $15(x^{3}+x^{2}+2x)>4\sqrt{5}(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}+4}$ (VT>VP)

Xét $x=1$ và $x=2$ là nghiệm của phương trình (VT=VP)

Vậy nghiệm của phương trình là S={1;2}




#743023 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi nhancccp trong 15-01-2024 - 21:29

Trong bài thấy toàn căn bậc 2 mà ông thứ 10 lại lù lù căn bậc 3 phi ra  :D , chắc bạn phải dùng hằng đẳng thức mở rộng này hay có giải pháp nào khác nhỉ?

$a^{3}+b^{3}+c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2} -ab-bc-ca)$

Vâng ạ,Đặt $x=\sqrt[3]{2}$ ta được $A=\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+3}=\frac{1}{x^2+x+3}=\frac{x^4-x^3-2x^2-3x+9}{(x^2+x+3)(x^4-x^3-2x^2-3x+9)}=...=\frac{7-\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}}{15}$

Một số bài khử căn ở mẫu (căn bậc ba) như sau :) :

$i)$Trục căn thức ở mẫu $\frac{1}{\sqrt[3]{5}+2\sqrt[3]{25}+3}$

$ii$ Trục căn thức ở mẫu $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt[3]{9}+3\sqrt[3]{3}+7}$

Mình đăng thêm mấy bài và sẽ đưa lời giải các bài còn lại sau (nếu còn tồn)

${\color{Blue} \boxed{\text{11}}}$Chứng minh $x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$ với $a \geq \frac{1}{8}$ là số tự nhiên

${\color{Blue} \boxed{\text{12}}}$So sánh hai số $M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ và $N=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ (HSG Bà Rịa-Vũng Tàu 2022-2023)

${\color{Blue} \boxed{\text{13}}}$Khi $x=1+\sqrt[3]{2}$ thì biểu thức $P=x^4-5x^3+9x^2-12x+6$ có giá trị $a+\sqrt[3]{b}$.Tính giá trị của $a-2b$ (HSG Bắc Giang 2022-2023)

${\color{Blue} \boxed{\text{14}}}$ Cho biểu thức $f(x)=(2x^3-21x+2023)^{2024}$.Tính giá trị của biểu thức $f(x)$ tại $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$

${\color{Blue} \boxed{\text{15}}}$ Cho số thực $a$ thỏa $a^3-a-1=0$,tính giá trị của biểu thức $B=a\sqrt{2a^6-4a^4+4a^2+3a}-\sqrt{2a^2+3a+2}$ (HSG Thanh Hóa 2023-2024)

${\color{Blue} \boxed{\text{16}}}$ 

a)Chứng minh rằng nếu $ax^3=by^3=cz^3$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ thì $\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

b)Tính giá trị của $C=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ biết $\left\{\begin{matrix} & ax^3=by^3=cz^3\\ & \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=k(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}) \end{matrix}\right.$

Cảm ơn vì sự sôi nổi của mọi người ạ.