nhancccp

Lời giải đúng rồi đấy bạn, tuy nhiên có cách làm khác bạn, ít khéo léo và đòi sức mạnh của năm ba ngày tu vi cộng lại

Chưa nghĩ ra các khác,mình làm tạm cách bình phương vậy

ĐK:$x^4-x^3+x^2-9 \geq 0$

Phương trình đã cho $\Rightarrow (x^4-x^3+x^2-9)^2=x^2+5$

$\Leftrightarrow x^8 - 2 x^7 + 3 x^6 - 2 x^5 - 17 x^4 + 18 x^3 - 19 x^2 + 76 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) (x^7 + 3 x^5 + 4 x^4 - 9 x^3 - 19 x - 38) = 0$...

Ta có $$\begin{align*}[x^0]g &=  g(0)=-1 \\ [x^1]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5+1}{x}=5 \\ [x^2]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1} {x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5-5x+1}{x^2}=-5 \\ [x^3]g &=\lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1-[x^2]g\times x^2} {x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5+5x^2-5x+1}{x^3}=-10 \end{align*}$$

Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển là $-10$

Giải hệ phương trình $\begin{cases}
x^5y^5(1+\sqrt{y})=\sqrt{y}(\sqrt{x}+1) \\
\sqrt[5]{15+2y}.\sqrt{3x-2}=\left ( 8x-12\right )\sqrt[5]{y}
\end{cases} (x;y \in \mathbb{R})$

ĐK:$x \geq \dfrac{2}{3};y>0$

Phương trình thứ nhất tương đương với $(x^5y^5-\sqrt{xy})+\sqrt{y}(x^5y^5-1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{y}(xy-1)(x^4y^4+x^3y^3+x^2y^2+xy+1)+\sqrt{xy}(\sqrt{xy}-1)(xy+\sqrt{xy}+1)(x^3y^3+\sqrt{x^3y^3}+1)=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)[\sqrt{y}(\sqrt{xy}+1)(x^4y^4+x^3y^3+x^2y^2+xy+1)+\sqrt{xy}(xy+\sqrt{xy}+1)(x^3y^3+\sqrt{x^3y^3}+1)]=0$$\Leftrightarrow y=\frac{1}{x}$ (vì ....>0)

Thay $y=\frac{1}{x}$ vào phương trình thứ hai ta được 
$\sqrt{3x-2}\sqrt[5]{\frac{2}{x}+15}=(8x-12)\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$$\Rightarrow (3x-2)^5(15x+2)^2=(8x-12)^{10}$$\Leftrightarrow 1073741824 x^{10} - 16106127360 x^9 + 108716359680 x^8 - 434865493395 x^7 + 1141521944310 x^6 - 2054739393324 x^5 + 2568424097880 x^4 $$- 2201506298640 x^3 + 1238347280160 x^2 - 412782427200 x+61917364352=0$$\Leftrightarrow (x-2)(1073741824x^9-13958643712x^8+80799072256x^7-273267348883x^6+594987246544x^5-864764900236x^4+838894297408x^3$$-523717703824x^2+190911872512x-30958682176)=0$

Mong bạn xem lại đề ạ

Nếu cho $m=n=5$ thì phương trình đã cho trở thành $2d^3+11d^2-25=0\Leftrightarrow (d+5)(d^2+2d-5)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} d=-5 \\ d=\frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4} \end{array}\right.$

Và phương trình này có đến ba nghiệm trong đó chỉ có một nghiệm dương 

Nếu áp dụng công thức cardano:$\Delta=b^2-3ac=(m+n+1)^2>0;k=\frac{9ab-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{108mn-2(m+n+1)^3}{2\sqrt{(m+n+1)^3}}$

Và nếu muốn phương trình trên có nghiệm duy nhất thì $|k|>1$,điều này không đúng $\forall m,n>0$

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\\ & x^2+(y+1)^2=2\bigg(1+\frac{1-x^2}{y}\bigg) \end{matrix}\right.$

ĐK:$x \in \mathbb{R},y \neq 0$

Phương trình thứ hai tương đương với $y(x^2+y^2+2y+1)=-2(x^2-y-1)\Leftrightarrow x^2y+2x^2+y^3+2y^2-y-2=0\Leftrightarrow (y+2)(x^2+y^2-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=-2\\ x^2+y^2=1 \end{array}\right.$

TH1:Thay $y=-2$ vào $(1)$ ta được $3x^2=x^2\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow x^2(\sqrt{x^2+1}-3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\pm 2\sqrt{2} \end{array}\right.$

TH2:Thay $x^2+y^2=1\Rightarrow x^2=1-y^2$ vào $(1)$ ta được $4(1-y^2)=(-y^3-y^2+3y-1)(\sqrt{2-y^2}+1)\Leftrightarrow y^3-3y^2-3y+5=(-y^3-y^2+3y-1)\sqrt{2-y^2}$$\Rightarrow (y^3-3y^2-3y+5)^2=(-y^3-y^2+3y-1)^2(2-y^2)$$\Leftrightarrow y^8+2y^7-6y^6-14y^5+24y^4+30y^3-42y^2-18y+23=0$$\Leftrightarrow (y-1)^2(y+1)(y^5+3y^4-2y^3-14y^2+5y+23)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=1\Rightarrow x=0 \\ y=-1(ktm) \\ y^5+3y^4-2y^3-14y^2+5y+23=0(ktm) \end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(0;1);(\pm 2\sqrt{2};-2);(0;-2)$

Bài 3 ngoài cách đặt ẩn phụ của cao thủ minhhaiproh ta có thể sử dụng phương pháp bình phương 

ĐK:$x \in \mathbb{R}$

Ta có $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$$\Rightarrow (7x^2-10x+14)^2=25(x^4+4)$$\Leftrightarrow 6x^4-35x^3+74x^2-70x+24=0\Leftrightarrow (2x^2-5x-4)(3x^2-10x-6)=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{7}}{3}$

Và em xin góp vui một bài :Giải phương trình $(x-2)(x^2+x+3)=2\sqrt[3]{4x^2+12x+9}+\sqrt[3]{2x+3}$

Xét $x=1$ không là nghiệm của hệ

Phương trình thứ nhất tương đương với $y=\frac{x+1}{x-1}$.Thế $y=\frac{x+1}{x-1}$ vào (2) ta được $4x^3-12x^2+9x=\frac{-(x+1)^3}{(x-1)^3}+\frac{6(x-1)}{(x+1)}+7$$\Leftrightarrow (x-1)^3(4x^3-12x^2+9x)=12x^3-30x^2+12x-2\Leftrightarrow 4x^6+24x^5+57x^4-79x^3+69x^2-21x+2=0\Leftrightarrow (x^2-x+2)(2x^2-5x+1)^2=0$$\left[ \begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\\x=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của hệ là $(x;y)=(\frac{5\pm\sqrt{17}}{4};\frac{1\pm \sqrt{17}}{2})$

1)ĐK:$x \in \mathbb{R}$

Phương trình đã cho tương đương với $(3x)^3+3x=(3x^2+4x+5)\sqrt{3x^2+4x+5}+\sqrt{3x^2+4x+5}$

Xét hàm $f(t)=t^3+t$ có $f'(t)=3t^2+1>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến

Lại có $f(3x)=f(\sqrt{3x^2+4x+5})\Rightarrow 3x=\sqrt{3x^2+4x+5}\Rightarrow 6x^2-4x-5=0$

Giải phương trình bậc hai và đối chiếu và thử lại ta thấy $x=\frac{2+\sqrt{54}}{6}$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp bình phương (và các pp khác ...)

Ta có $27x^3+3x=(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}$$\Rightarrow (27x^3+3x)^2=(3x^2+4x+6)^2(3x^2+4x+5)$$\Leftrightarrow 702 x^6 - 108 x^5 - 135 x^4 - 472 x^3 - 551 x^2 - 384 x - 180 = 0$$\Leftrightarrow (6 x^2 - 4 x - 5) (117 x^4 + 60 x^3 + 115 x^2 + 48 x + 36) = 0$....

3)Xét $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.Phương trình thứ hai tương đương với $x=\frac{y^2-3y+3}{y}$

Thế $x=\frac{y^2-3y+3}{y}$ vào phương tình (1) ta được $5y^2-6y+9=\sqrt{\frac{(y^2-3y+3)^2}{y^2}+3} (1')\Rightarrow (5y^2-6y+9)^2=\frac{16y^2[(y^2-3y+3)^2+3y^2]}{y^2}  $$\Leftrightarrow (5y^2-6y+9)^2=16(y^2-3y+3)^2+48y^2\Leftrightarrow 9y^4+36y^3-114y^2+180y-11=0$$\Leftrightarrow (y-1)(3y^3+15y^2-23y+37)=0$

Vậy $y=1(n) \Rightarrow x=1$ hoặc $3y^3+15y^2-23y+37=0 (*)$

{Giải phương trình bậc ba (*)}

Ta có $\Delta=b^2-3ac=432;k=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{-29\sqrt{3}}{36}$

VÌ $\Delta<0;|k|>1$ nên (*) có một nghiệm duy nhất $y=\frac{\Delta|k|}{3ak}(\sqrt[3]{|k|+\sqrt{k^2-1}}+\sqrt[3]{|k|-\sqrt{k^2-1}})-\frac{b}{3a}=\frac{1}{3}(-5-\frac{12\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{29-\sqrt{409}}}-2\sqrt[3]{29-\sqrt{409}})$

Thế vào (1') ta thấy không thỏa mãn 

Vậy nghiệm của hệ là $(x;y)=(1;1)$

Câu 2 trong đề thi thử trường ĐHSP Hà Nội sáng nay

61)Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn $a \neq c$ và $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=2$

Tính giá trị của biểu thức $S=\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Ta sẽ sử dụng liên hợp (hoặc hàm đặc trưng) để giải quyết bài toán trên

58)ĐK:$y \leq -x^2,x \leq -y^2$

Ta có $(\sqrt{y^2+x}+x)(\sqrt{x^2+y}-y)=y$

$\Leftrightarrow (\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}-y^2-y)+(x\sqrt{x^2+y}-y\sqrt{x+y^2})+(-xy-y+y^2+y)=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)(x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y)}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3)}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)\bigg[\frac{(x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y)}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{(x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3)}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y\bigg]=0$

Vậy $x=y$ hoặc $\frac{x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y=0(*)$

Dễ chứng minh Vt(*)>0 nên (*) vô nghiệm với $y \leq -x^2,x \leq -y^2$

Vậy $x=y$

57)Cho các số thực $a;b;c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ac=1$.Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{2}{a+b+c-abc}$

${\color{Blue} \boxed{\text{55}}}$Với $a+b+c \neq 0$ và $(a+b)(b+c)(a+c)=1$.Chứng minh rằng $\frac{a}{a^2(a+b+c)+1+abc}+\frac{b}{b^2(a+b+c)+1+abc}=\frac{ab(a+b+c)+abc+1}{(a+b+c)^2}$

${\color{Blue} \boxed{\text{56}}}$ Giả sử $a_1;a_2;...;a_{2021}$ là những số thực thỏa mãn $\frac{a_1}{a_1^2+1}+\frac{a_2}{a_2^2+1}+...+\frac{a_{2021}}{a_{2021}^2+1}=0$.Chứng minh rằng tồn tại sơ tự nhiên $k(1 \leq k leq 2021)$ thỏa mãn $\bigg|\frac{a_1}{a_1^2+1}+\frac{2a_2}{a_2^2+1}+...+\frac{ka_k}{a_k^2+1}\bigg| \leq \frac{2k+1}{8}$

(Trích đề KHTN 202x)

Em xin đóng góp hai cách giả cho bài này,cách thứ nhất là bình phương và cách thứ hai là dùng hàm đặc trưng

Cách thứ nhất:ĐK:$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

Ta có $10x^3-13x^2+6x-1+2(x^2-x)\sqrt{2x-3x^2}=0$$\Rightarrow (10x^3-13x^2+6x-1)^2=4(x^2-x)^2(2x-3x^2)$$\Leftrightarrow 112x^6-292x^5+317x^4-184x^3+62x^2-12x+1=0$$\Leftrightarrow (7x^2-6x+1)(16x^4-28x^3+19x^2-6x+1)=0$$\left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}(n)\\x=\frac{3-\sqrt{2}}{7}(l)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$

Cách thứ hai:ĐK:$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho $x^3$.Ta được $10-\frac{13}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}+2\bigg(1-\frac{1}{x}\bigg)\sqrt{\frac{2}{x}-3}=0$

Đặt $t=\frac{1}{x}(t > 0)$ ta có $-t^3+6t^2-13t+10+2(1-t)\sqrt{2t-3})=0\Leftrightarrow t^3-6t^2+13t-10=(2-2t)\sqrt{2t-3}\Leftrightarrow (t-2)^3+(t-2)=(-\sqrt{2t-3})^3-\sqrt{2t-3}$

Xét hàm $f(y)=y^3+y$ có $f'(y)=3y^2+1>0,\forall y \in \mathbb{R}$ nên $f(y)$ luôn đồng biến trên R

Ta có $f(t-2)=f(-\sqrt{2t-3})\Leftrightarrow t-2=-\sqrt{2t-3}\Rightarrow t^2-6t+7=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t=3-\sqrt{2}(n)\\t=3+\sqrt{2}(l)\end{array} \right.$

Vậy $x=\frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$