HaiDangPham

vâng, lúc đấy em chả nghĩ ra cứ máy móc đi xét đạo hàm, mà cũng không cần biến đổi tương đương, có ngay $t\leq 2$ và $0<2\leq t+6\leq 8 \Rightarrow \sqrt{2(t+6)} \leq 4$ nên $t+\sqrt{2(t+6)} \leq 6$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2$.

Với cách chứng minh này thì thậm chí chỗ đó không cần cả đặt ẩn $t$ nữa. Và toàn bộ lời giải thật sự đẹp. 

Tìm các số tự nhiên $a,b,n$ thỏa mãn:$(a^{3}+b)(b^{3}+a)=n^{n}$

Tìm nhanh thì được vài nghiệm $(a;b;n)$ là $(0;1;1), (1;1;2), (1;2;3), (0;4;4)$.  

Từ PT $(2)$, ta có ngay bằng cách nhân liên hợp: $(\sqrt{x+3}-x)(\sqrt{y+3}-y)=1$.             $(3)$

Nhân liên hợp sao ra được kết quả trên nhỉ? 

$$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=\frac{(x+3-x^2)(y+3-y^2)}{(\sqrt{x+3}-x)(\sqrt{y+3}-y)}$$

 Xét hàm số $y=f(t)=t+\sqrt{2.(t+6)}$ với $t \in [-4; 2]$.

có $f'(t)>0$ nên hàm số đồng biến, $\forall t \in [-4; 2]$ ta có $f(t)\leq f(2)=6$.

Do đó $x+y+\sqrt{2.(x+y+6)} \leq 6$, $(3)$

Ở đây ta không cần thiết phải xét đạo hàm, một kiến thức của THPT. 

Đặt $t=x+y$. Khi đó $-4\leq t \leq 2$. 

Ta có $t+\sqrt{2.(t+6)} \leq 6$ tương đương với $$ \sqrt{2.(t+6)} \leq 6-t. $$ Bình phương hai vế bất đẳng thức ta được $$ 2(t+6)\leq t^2 -12t +36,$$ chuyển vế và rút gọn ta có $$ t^2-14t +24 \geq 0,$$ hay $$(t-2)(t-12) \geq 0.$$ Bất đẳng thức trên đúng vì $t\leq 2$. 

Làm lại. 

* Trước hết, ta có $\frac{(x+y)^2}{2} \leq x^2+y^2$, kết hợp với $(1)$ suy ra $$\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y) \leq 4$$ biến đổi tương đương ta được $$(x+y-2)(x+y+4) \leq 0,$$ tức là ta phải có $$-4\leq x+y \leq 2.$$

* Bây giờ, viết lại $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)(y+3)}$$ 

Ta có ngay đánh giá $$\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq \frac{(x+3)+(y+3)}{2}=\frac{(x+y)+6}{2}\leq \frac{2+6}{2}=4.$$ 

* Tiếp theo, ta chứng minh $$ xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 5.$$Xét các trường hợp: 

$(i)$ Trường hợp $x\geq 0, y \geq 0$. 

Khi đó từ $0\leq x+y\leq 2$ ta suy ra $(x+y)^2\leq 4$. Do đó $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq 1$. 

Để ý rằng $$x.\sqrt{y+3}=\frac{1}{2}x.\sqrt{y+3}.2\leq\frac{1}{2}x.\frac{(y+3)+4}{2}=\frac{7x+xy}{4}\leq\frac{7x+1}{4}$$

Tương tự ta có $$y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7y+1}{4}$$ Do đó 

$$x.\sqrt{y+3}+y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7x+1}{4}+\frac{7y+1}{4}=\frac{7(x+y)+2}{4} \leq\frac{7.2+2}{4}=4$$

Vậy $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 1+4=5.$$

$(ii)$ Trường hợp $x\leq 0, y\leq 0$.  

Từ $x+y\geq -4$ ta suy ra $0 \leq (-x)+(-y)\leq 4$, dẫn tới $$xy=(-x)(-y)\leq \frac{[(-x)+(-y)]^2}{4}\leq \frac{4^2}{4}=4.$$ Mà $x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 0$, suy ra $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}\leq 4<5.$$

$(iii)$ Trường hợp $xy\leq 0$, không mất tính tổng quát giả sử $x\leq 0$ và $y\geq 0$. 

Ta viết lại $(1)$ dưới dạng tương đương $$(2x+1)^2+(2y+1)^2=18$$

Từ đây suy ra $(2y+1)^2\leq 18$, dẫn tới $y \leq \frac{3\sqrt{2}-1}{2}$. 

Do đó $$x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq y\sqrt{x+3} =\frac{y}{2}.\sqrt{x+3}.2 \leq \frac{y}{2}.\frac{(x+3)+4}{2} =\frac{xy+7y}{4} \leq \frac{7y}{4} \leq \frac{7}{4}.\frac{3\sqrt{2}-1}{2}<5$$

Mà $xy\leq 0$ nên ta suy ra ngay $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}<5.$$

* Tóm lại ta có $\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq 4$ và $xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 5.$ Vì vậy $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq 9.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$. 

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $(1;1)$.