vâng, lúc đấy em chả nghĩ ra cứ máy móc đi xét đạo hàm, mà cũng không cần biến đổi tương đương, có ngay $t\leq 2$ và $0<2\leq t+6\leq 8 \Rightarrow \sqrt{2(t+6)} \leq 4$ nên $t+\sqrt{2(t+6)} \leq 6$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2$.
Với cách chứng minh này thì thậm chí chỗ đó không cần cả đặt ẩn $t$ nữa. Và toàn bộ lời giải thật sự đẹp.