stray

Đặt $x=\dfrac{a+b}{c}, \quad y=\dfrac{b+c}{a} \Rightarrow z=\dfrac{c+a}{b}$.

Khi đó: $2\sqrt{xy}=2\sqrt{\dfrac{(a+b)(b+c)}{ca}} \le \dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+2$.

Tương tự ta có điều phải chứng minh.

Cách làm khác:

Đặt $a=\frac{1}{x+1} ,b=\frac{1}{y+1} , c=\frac{1}{z+1}$

      $x+y+z+2=xyz$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1=(\frac{1}{a-1})(\frac{1}{b-1})(\frac{1}{c-1})$

$\Leftrightarrow a+b+c=1$

Do đó $x=\frac{1}{a}-1=\frac{a+b+c-a}{a}=\frac{b+c}{a}$

Tương tự, $y=\frac{c+a}{b},$ $z=\frac{a+b}{c}$

Vậy $x+y+z+6=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+6$

                              $=\frac{a+b}{a}+\frac{c+a}{a}+\frac{b+c}{b}+\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{c}+\frac{c+a}{c}$

                              $\geq 2(\sqrt{\frac{(b+c)(c+a)}{ab}}+\sqrt{\frac{(c+a)(a+b)}{bc}}+\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{ca}})$

                              $=2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

                                 $(?)$

tai sao $(ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{1}{4}(a+b+c)^4$ nhir

 theo mình dùng bđt chebyshev

Phần còn lại không đơn giản đâu bạn.

Theo cách làm này thì $\sqrt{x^2+yz}+\sqrt{y^2+zx}+\sqrt{z^2+xy} \leq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số $x,y,z$ bằng 0.

Với $x+y+z=3$ thì $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} = 3+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq 3+ x+y+z =6$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Như vậy ta kết luận $T<6$ và không tìm được GTLN.

Còn rõ ràng ta không thể chứng minh $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq \frac{9}{2}$.

e làm thế này: 

dấu "=" <=> $x=y=\frac{3}{2}$, $z=0$ 

           hoặc $x=y=0$, $z=3$

rồi xét...

Em làm thế này không biết được không?

$\sqrt{x^2 + yz}\leq x+\sqrt{yz}$

     Dấu "=" <=> $x^2 = 0$

     hoặc             $yz = 0$

Tương tự với $\sqrt{y^2 + zx}$, $\sqrt{z^2 + xy}$

Phần còn lại đơn giản rồi

Max $T =\frac{9}{2}$ <=> $x=y=\frac{3}{2}$, $z=0$ và các hoán vị

Em 2k9 nên kém lắm

Bài khó thật,mần mãi mới ra:

  Không mất tính tổng quát giả sử $z=$max{$x,y,z$} 

+Nếu $z=3$ thì $x=y=0$ suy ra $T=3$

+Nếu $z<3$

Theo $AM-GM$ ta có:$ \sqrt{x^{2}+yz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x^{2}+yz}{x+y}+x+y \right )=\frac{2x^{2}+y^{2}+2xy+yz}{2(x+y)}$

                                     

                                     $\sqrt{y^{2}+xz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{y^{2}+xz}{x+y}+x+y \right )=\frac{x^{2}+2y^{2}+2xy+xz}{2(x+y)}$

 

cơ mà đoạn này với x = y = 3/2  và z = 0 thì dấu = có xảy ra đâu 

bqt cho em hỏi tại sao khi gõ latex thì em không đăng bài được ạ