thvn

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$

Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.

1/Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mid 2^{\varphi (n)}+1$ và $n\mid 2^{\varphi (m)}+1$

${\varphi (n)}$ là Hàm phi Euler bạn nhỉ?

Bạn có thể viết thêm một vài số hạng như thế này sẽ rõ hơn:

$u_{k+1} = \left [  \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} +...+\frac{1}{(2k-1).(2k+1)} \right ]+\frac{1}{(2k+1).(2k + 3)}$ = $ u_{k} + \frac{1}{(2k+1).(2k + 3)}$

Đôi điều chia sẻ....

Về cách tính tổng này thì thông thường nhất là phân tích thành dạng tổng khử liên tiếp(cho các bạn lớp 6-7) hoặc quy nạp như trên.

Bài toán 216[6–7]. [Đề thi Olympic lớp 6 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2016– 2017]

Trong một cuộc thi chung kết học sinh giỏi gồm 5 học sinh. Ban giám khảo nhận thấy cứ 3 học sinh bất kỳ thì có hai người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng tỏ rằng trong 5 học sinh đó có 1 bạn quen đúng 2 bạn trong nhóm.

Dành cho các bạn học sinh lớp 6 - 7:

1. Chứng minh rằng: Diện tích tam giác nằm bên trong trong hình bình hành (tam giác có 3 đỉnh nằm bên trong hoặc trên các cạnh của hình bình hành) không vượt quá nửa diện tích của hình bình đã cho.

2. Cho 37 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng nằm ở bên trong một hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đc 5 điểm trong 37 điểm đã thỏa mãn : các tam giác tạo bởi 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm đó có diện tích không quá 1/18.

Bài toán 181[7]. [Đề thi Olympic lớp 7 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2010 –  2011]

Cho P = 7|a| – 2|b|. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi a, b là các số nguyên thỏa mãn điều kiện 3a + 4b = 5.

Với hàm nhiều biến, chúng ta phải cẩn thận khi lý luận.

Với BĐT không đối xứng thì dồn biến càng phải cẩn trọng hơn vì vai trò các biến không giống nhau. Thậm chí những BĐT thức đối xứng bộ phận làm cũng đã khó.

Với bài trên ta đặt $P=x+2y+3z+8\sqrt{x+4}$ và biến đổi:

$P = x + 2y + 3z + 8\sqrt{x + 4}$ = $(x + y + z) + (y + z) + z + 8\sqrt{x + 4}$ $\geq$  $(x + y + z) + (y + z) +8\sqrt{x + 4}$ = $24 - x +8\sqrt{x + 4}$

Cần thiết thì đặt thêm $\sqrt{x + 4}$ = t $(2\leq t \leq 4)$rồi quy về bài toán tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc 2 trên khoảng xác định là tìm được kết quả.

GTNN của P là 40, đạt được khi x = z = 0( t = 2); y =12.

Cảm ơn bạn HaiDangPham , một người thầy rất đam mê hình học!

Học sinh được nhờ lắm đấy     

Khi gõ LaTeX, chú không phải viết rời ra đâu ạ

Thay vì gõ:

$a$ $\Rightarrow$ $b$

Thì chú hãy viết

$a \Rightarrow b$

Chú sẽ có công thức hiển thị đẹp hơn.

Cảm ơn bạn, thực tế thì cũng chia sẻ với cả nhà thế này:

Mình làm về Toán và cả Lập trình ứng dụng(khoảng từ cuối 2004) nên giờ như bệnh nghề nghiệp vậy, để ý từng chi tiết nhỏ nhất, từ độ phân giải đến khả năng hiển thị dữ liệu đối với các thiết bị khác nhau.

Latex có nhược điểm là không có khả năng tự xuống dòng nên với các chuỗi ký tự các bạn viết dài giữa $ ... $ thì trên một số thiết bị di động sẽ bị tràn màn hình, gây khó khăn cho người xem. Giờ ai cũng có thiết bị thông minh cầm tay nên người thiết kế, làm nội dung chúng ta phải chú ý "mobile first".

Nghĩa là chúng ta nên soạn thảo thành từng đoạn nhỏ, tự ngắt câu một cách hợp lý thì sẽ thuận tiện hơn cho bạn đọc trên các nền tảng khác nhau!

Chúc cả nhà buổi tối vui vẻ!!!     

Từ giả thiết suy ra $b^{2} \vdots a$ và $a(a+1)\vdots b$

Vì $(a, a+1) = 1$ nên suy ra $b^{2} \vdots a$ và $a \vdots b$

Bằng cách đặt $a = kb$ ($k$ nguyên) $\Rightarrow b = km$ ($m$ nguyên) $\Rightarrow a = k^{2}m$

Suy ra $(k^{4}m^{2} + k^{2}m^{2} + k^{2}m) \vdots k^{3}m^{2} \Rightarrow (k^{2}m + m + 1) \vdots km$

Suy ra $m = 1$ hay $a = k^{2}$ là một số chính phương.

Bài toán được chứng minh.

Để chào mừng diễn đàn trở lại, tôi xin gửi tới các bạn trẻ yêu bộ môn Hình Học sáng tác mới nhận được của thầy Nguyễn Bá Đang, bài toán như sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường thẳng qua B và C đồng thời vuông góc với BC cắt CA tại E và AB tại D, M là trung điểm BC, H là hình chiếu của A trên BC, I là trung điểm AH.

Chứng minh rằng MI vuông góc DE.

ôi tr. em đang định đăng mà cách mình loằng ngoằng quá không ngờ có cách đơn giản như này

Bạn cứ đăng lên đi, theo tôi thì cách giải nào cũng đẹp cả.

Cách đó có thể dài với bài toán này nhưng lại rất hữu dụng với các bài toán khác.

Ngày xưa chúng tôi cũng vậy, làm gì có google để search đâu, có thể làm cả tuần không giải được bài toán gốc nhưng lại được rất nhiều bài toán khác 

Bài này các bạn dùng biểu thức liên hợp, kết hợp BĐT AM-GM thì từ giả thiết sẽ suy ra được x + y $\geqslant$ 2.

Sau đó dùng hằng đẳng thức cơ bản $x^{2}+xy+y^{2} = \frac{3}{4}(x+y)^{2} + \frac{1}{4}(x-y)^{2}$ là có được lời giải.

Tôi cũng đã viết rất nhiều báo cáo về các bất đẳng thức và biến đổi cơ bản dạng tương tự.

Chứng minh bị lỗi ngay bước đầu tiên. Ở đây $a-\frac{ab^2}{b^2+1}=\frac{a}{b^2+1}$.

Bạn ấy bị nhầm với 1 dạng AM-GM ngược hướng 

Bài này tìm GTLN mới có ý nghĩa