Đến nội dung

thvn

thvn

Đăng ký: 12-05-2023
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:45
****-

#744004 $44x^{2} +1 = y^{2}$ . CMR $2y+2$ là...

Gửi bởi thvn trong 07-03-2024 - 08:46

Từ điều kiện bài toán suy ra y lẻ, đặt y = 2k + 1

Thay vào và rút gọn ta được: $k(k + 1) = 11x^{2}$

Vì (k, k + 1) = 1 nên có 2 khả năng:

* $k = 11a^{2}, k + 1 = b^{2}$ với (a, b) = 1 và (b, 11) = 1. Khi đó $2y + 2 = 4(k + 1) = 4b^{2}$ là số chính phương

* $k = a^{2}, k + 1 = 11b^{2}$ với (a, b) = 1 và (a, 11) = 1. Suy ra $a^{2} + 1 = 11b^{2}$. Dễ dàng chỉ ra không thể xảy ra khả năng này bằng cách xét tính chẵn lẻ của a, b và mod 4.

 

Bài toán được chứng minh.




#743969 Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matri...

Gửi bởi thvn trong 05-03-2024 - 09:21

Dạng này các bạn dùng tính đồng biến của hàm số: f(x) = $x^{3}+x^{2}+2x$ (Học sinh cấp 2 thì xét hiệu, cấp 3 thì dùng đạo hàm)

Từ đó suy ra x = y = z thôi mà.




#743957 $x+y+z\ge4\left(\frac{1}{x}+\fra...

Gửi bởi thvn trong 04-03-2024 - 06:09

Tôi nghĩ là bạn đặt $x = \frac{a + b}{c}; y = \frac{b + c}{a}$ và $z = \frac{c + a}{b}$ rồi dùng Cauchy Schwarz dạng Engel là được.




#743073 VMF sẽ đi về đâu?

Gửi bởi thvn trong 17-01-2024 - 16:13

Giờ các mạng xã hội như zalo, facebook...phát triển mạnh quá. Nhưng forum vẫn có chỗ đứng riêng của nó, là nguồn tài nguyên để có thể tìm kiếm, lưu trữ rất có giá trị cho nhiều bạn yêu Toán hiện tại và cả sau này!

~O)  ~O)  ~O)




#743011 [Topic] Đại số trung học cơ sở

Gửi bởi thvn trong 15-01-2024 - 08:34

Trong bài thấy toàn căn bậc 2 mà ông thứ 10 lại lù lù căn bậc 3 phi ra  :D , chắc bạn phải dùng hằng đẳng thức mở rộng này hay có giải pháp nào khác nhỉ?

$a^{3}+b^{3}+c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2} -ab-bc-ca)$




#742990 Tìm x,y nguyên dương $xy^{2} + 2xy +x=9y$

Gửi bởi thvn trong 12-01-2024 - 22:51

OK chúng ta tiếp tục nào!

Từ $x(y + 1)^{2} = 9y$ và $y + 1 > 0  \Rightarrow x = \frac{9y}{(y + 1)^{2}}$

(Nếu bài toán chỉ là tìm ngiệm nguyên thì phải xét riêng y = -1 trước khi chia nhé)

$\Rightarrow xy = \frac{9y^{2}}{(y + 1)^{2}} = 9 -\frac{18y+9}{(y + 1)^{2}}$

$\Rightarrow xy + 2x = 9 -\frac{9}{(y + 1)^{2}}$

$\Rightarrow (y + 1)^{2}|9$

$\Rightarrow (y + 1)^{2} = 9 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 2$ (thỏa mãn)

Vậy x = y = 2 là cặp nghiệm nguyên duy nhất của phương trình đã cho.

 

Lưu ý:

- Với các bạn lớp 6-7 thì phương pháp tách phần nguyên hoặc lý luận như bạn uca210 tương đối phù hợp, hiệu quả và dễ hiểu. Phương pháp đánh giá hoặc miền giá trị dành cho học sinh 8-9 là hợp lý (thậm chí một số nơi còn giới hạn, chưa cho dùng $\Delta$ nếu kỳ thi lọc đội tuyển diễn ra sớm. Tốt nhất các bạn nên tìm hiểu kỹ quy chế thi để tránh mất điểm đáng tiếc)

- Chúng ta đã tiến hành nhân chia trong quá trình làm nên nói chung khi tìm ra nghiệm cần phải thử lại để có được kết luận cuối cùng cho bài toán.




#742987 Tìm x,y nguyên dương $xy^{2} + 2xy +x=9y$

Gửi bởi thvn trong 12-01-2024 - 16:43

Ban đầu em cũng làm đến chỗ bôi đỏ nhưng không nghĩ ra được nữa :(

Tư duy của em là cố gắng tách phần nguyên nhưng thất bại

 

Bài toán này không khó, quan trọng là đi theo hướng nào cho hiệu quả (trong khoảng thời gian thi)

Khi rút x theo y thì nhớ lý luận (y + 1) khác 0 để có điểm trọn vẹn.

Ý tưởng tách phần nguyên như của em không tồi và hoàn toàn có thể làm được, vấn đề là em chưa chịu đi đến cùng mà thôi.

Lát họp phụ huynh xong mình viết tiếp nhé! 




#742982 nếu dù chỉ một số $a$ hay $b$ không chia hết cho $7...

Gửi bởi thvn trong 12-01-2024 - 09:02

Khi làm là các bạn học sinh phải chứng minh đấy nhé!

Giả sử phản chứng $(a, p) = (b, p) = 1$.

Khi đó theo định lý Fermat nhỏ: 

$a^{p-1} \equiv 1 (\text{mod } p), b^{p-1} \equiv 1 (\text{mod }p)$
$\Rightarrow a^{4k+2} \equiv 1 (\text{mod }p), b^{4k+2} \equiv 1 (\text{mod }p)$
$\Rightarrow (a^{2})^{2k+1} + (b^{2})^{2k+1} \equiv 2 (\text{mod }p)$
Mặt khác $(a^{2})^{2k+1} + (b^{2})^{2k+1} \vdots (a^{2} + b^{2})\vdots p$
$\Rightarrow 2 \vdots p$ $\Rightarrow p = 2$ mâu thuẫn!
Vậy giả sử phản chứng là sai, do p là số nguyên tố nên phải có $a \vdots p$ và $b \vdots p$
 
Có thời gian các bạn thử làm thêm bài tập này nhé (Câu 4 đề thi IMO lần thứ 37 - năm 1996 Mumbai Ấn Độ):
Cho $a, b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $15a + 16b$ và $16a - 15b$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Số nhỏ hơn trong hai số này sẽ nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
(The positive integers $a, b$ are such that $15a + 16b$ and $16a - 15b$ are both squares of positive integers. 
What is the least possible value that can be taken on by the smaller of these two squares)



#742937 $\left\{\begin{matrix} x^3-3z^2+6z-8=0...

Gửi bởi thvn trong 08-01-2024 - 17:35

Với các dạng này chúng ta dùng phương pháp đánh giá nghiệm.

Trước hết phải biến đổi:

$x^{3} - 3z^{2} + 6z - 8 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 5 = 3(z-1)^{2}$
$\Rightarrow  x > 1$ (không nhất thiết phải chỉ ra chính xác $\Rightarrow  x > \sqrt[3]{5}$)
Hoàn toàn tương tự cũng có y > 1 và z > 1.
Khi đó:
Nếu $x > y \Rightarrow z > x \Rightarrow  y > z \Rightarrow y > x$ mẫu thuẫn.
Nói tóm lại x = y = z và quy về giải phương trình bậc 3: $x^{3} - 3x^{2} + 6x - 8 = 0$
Phương trình này nhẩm được nghiệm x = 2, đến đây thì đơn giản rồi!



#742932 Hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của $S = \frac{a}{a + b +...

Gửi bởi thvn trong 08-01-2024 - 09:50

[Trích trong đề thi IMO lần thứ 16, tổ chức tại thành phố Erfurt của Cộng hòa Dân chủ Đức – năm 1974]

Hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của biểu thức: 

$S = \frac{a}{a + b + d} + \frac{b}{a + b + c} + \frac{c}{b + c + d} + \frac{d}{a + c + d}$

 

Việt Nam bắt đầu tham gia kỳ thi Toán quốc tế từ năm 1974. Chúng ta tham dự với 5 học sinh: Hoàng Lê Minh đoạt huy chương vàng, Vũ Đình Hòa giành huy chương bạc và hai huy chương đồng thuộc về Tạ Hồng Quảng và Đặng Hoàng Trung. Đây cũng là những người đoạt huy chương đầu tiên về Toán học trên trường quốc tế.

...thấm thoát đâu đó cũng đã 50 năm!




#742925 Đề thi HSG 9 THPT chuyên Amsterdam

Gửi bởi thvn trong 07-01-2024 - 17:35

Còn mấy phần chúng ta làm nốt nhỉ:

Câu I.1. Cộng theo vế vào rồi nhóm cùng biến và phân tích thành nhân tử sẽ dẫn đến (a - 2), (b - 2) và (c - 2) phải có ít nhất 1 số <= 0.

Chẳng hạn a <= 2, khi đó sẽ xảy ra:

Nếu a < 2 suy ra c < 2 suy ra b < 2 suy ra a = b = c = -1

Nếu a = 2 suy ra b = c = 2.

Từ đó tính được P.

Câu I.2. Có thể làm như bạn ở trên hoặc có một cách khác là đưa về hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương.

Câu II.1. Đặt 2m + 5n = a^3 và 2n + 5m = b^3.

Trừ theo vế suy ra b^3 - a^3 chia hết cho 3 .Khi đó chỉ ra được b^3 - a^3 chia hết cho 9

suy ra m - n chia hết cho 3. Do vậy m^3 - n^3 phải chia hết cho 9.




#742924 a,b,c thuộc [0,1] cmr: $a+b+c-abc\le2$

Gửi bởi thvn trong 07-01-2024 - 16:50

Sang nay trong lớp đội tuyển của mình có bạn S.Toàn giải như thế này, tương đối hay và ngắn gọn.

Từ 0 ≤ b, c ≤ 1 ⇒ a(1 – b)(1 – c) ≥ 0 ⇒ abc ≥ a(b + c) – a

= a + b + c – 2   + (a – 1)(b + c – 2).

Vì a – 1 ≤ 0 và b + c – 2 ≤ 0 ⇒ (a – 1)(b + c – 2) ≥ 0

⇒ a + b + c – 2   + (a – 1)(b + c – 2) ≥ a + b + c – 2   

Suy ra: abc ≥ a + b + c – 2 hay a + b + c  ≤ abc + 2.

Dấu “=” xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng 1.

Bài toán được chứng minh.

Việc đánh giá này cũng rất hữu ích với một số bài toán tương tự!




#742912 a,b,c thuộc [0,1] cmr: $a+b+c-abc\le2$

Gửi bởi thvn trong 06-01-2024 - 09:38

Ta sẽ sử dụng phương pháp hàm số như sau:

Đặt f(a) = a + b + c – abc – 2. Đây là hàm bậc nhất đối với a.

Dễ thấy:

f(0) = b + c – 2 ≤ 0 vì 0 ≤ b, c ≤ 1.

f(1) = 1 + b + c – bc – 2 = b + c – bc – 1 = –(1 – b)(1 – c) ≤ 0

⇒ f(a) ≥ 0 với mọi 0 ≤ a ≤1 ⇒ a + b + c  ≤ abc + 2.

Dấu “=” xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng 1.

Bài toán được chứng minh.




#742799 hsg cấp tỉnh THANH HÓA lớp 9 năm 2021-2022

Gửi bởi thvn trong 29-12-2023 - 17:21

Đề này không khó, chủ yếu đòi hỏi tỉ mỉ và tính toán chính xác.

Nhìn qua thì tôi cũng chỉ đoán hướng giải phần đại số như thế này:

Câu I. Đã có bạn giải rồi

Câu II.1. Vế phải bạn đặt $\sqrt{2-x}$ ra ngoài, bên trong sẽ gần giống vế trái.

Vì thế bạn tiếp tục đặt ẩn phụ $a=\sqrt{3x^{2}-6x-6}; b = \sqrt{2-x}$ chính là các căn đó, chuyển vế và phân tích thành nhân tử. Thông thường sẽ xảy ra a = b.

Câu II.2. Bạn cũng đặt ẩn phụ x^2 = a; 1/y = b rồi cộng theo vế vào sẽ thấy xuất hiện phương trình bậc 2 ẩn a + b

Câu III.1. Bạn đặt ẩn phụ rồi $\sqrt[3]{2-\sqrt{b}} = m; \sqrt[3]{2+\sqrt{b}} = n$ sau đó dùng hằng đẳng thức

Câu III.2. Bạn cộng cả 2 vế với c^2 và phân tích vế trái thành nhân tử rồi lý luận....

Câu V. Bạn tách hạng tử cuối ra sẽ thấy rất quen thuộc a + b + 2ab = a(1 + b) + b(1 + a)

Để tối nay dạy cho các bạn đội tuyển thầy trò cùng làm xem cụ thể thế nào, có học sinh thì mới có động lực làm chi tiết  :D




#742516 Tìm max, min: $P =x^2+y^2+z^2$

Gửi bởi thvn trong 15-12-2023 - 10:38

Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$. Tìm max, min: $P =x^2+y^2+z^2$

Cho em hỏi sử dụng dồn biến thì mình giải như thế nào ạ. Em cảm ơn

Bạn copy đề đâu về mà chỗ thì a, b, c chỗ thì x, y, z thế  :D  :D  :D

Ý tưởng tìm GTLN thế này nhé:

1. giả sử a = max{a; b; c} suy ra  $1\leq a \leq 2$

2. đánh giá $P =x^2+y^2+z^2 \leq x^2+y^2+z^2 + 2yz$ 

Vậy là chúng ta đã chuyển về được hàm 1 biến x rồi, đến đây thì bạn dùng dự đoán, đánh giá rồi xét hiệu hoặc khảo sát hàm số đều được.

Kết quả GTLN của P là 5. Đạt được khi a = 2; b = 1; c =0 và các hoán vị.