thvn

[Trích trong đề thi IMO lần thứ 16, tổ chức tại thành phố Erfurt của Cộng hòa Dân chủ Đức – năm 1974]

Hãy xác định tất cả các giá trị có thể có của biểu thức: 

$S = \frac{a}{a + b + d} + \frac{b}{a + b + c} + \frac{c}{b + c + d} + \frac{d}{a + c + d}$

Việt Nam bắt đầu tham gia kỳ thi Toán quốc tế từ năm 1974. Chúng ta tham dự với 5 học sinh: Hoàng Lê Minh đoạt huy chương vàng, Vũ Đình Hòa giành huy chương bạc và hai huy chương đồng thuộc về Tạ Hồng Quảng và Đặng Hoàng Trung. Đây cũng là những người đoạt huy chương đầu tiên về Toán học trên trường quốc tế.

...thấm thoát đâu đó cũng đã 50 năm!

[Đề thi vô địch toàn Liên Xô  – lớp 8, năm 1978]

Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể  chia hết cho  $1000^{n} – 1$.

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$

Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.

Bài toán 216[6–7]. [Đề thi Olympic lớp 6 quận Hoàng Mai – Hà Nội 2016– 2017]

Trong một cuộc thi chung kết học sinh giỏi gồm 5 học sinh. Ban giám khảo nhận thấy cứ 3 học sinh bất kỳ thì có hai người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng tỏ rằng trong 5 học sinh đó có 1 bạn quen đúng 2 bạn trong nhóm.

Dành cho các bạn học sinh lớp 6 - 7:

1. Chứng minh rằng: Diện tích tam giác nằm bên trong trong hình bình hành (tam giác có 3 đỉnh nằm bên trong hoặc trên các cạnh của hình bình hành) không vượt quá nửa diện tích của hình bình đã cho.

2. Cho 37 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng nằm ở bên trong một hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm đc 5 điểm trong 37 điểm đã thỏa mãn : các tam giác tạo bởi 3 điểm bất kỳ trong 5 điểm đó có diện tích không quá 1/18.