manguish

Hay nói cách khác, với một điểm không phải là điểm dựng được, thì liệu có thể coi nó như là giả thiết bài toán, để từ đó triển khai phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ hay không? 

Em thấy đây là câu hỏi mang tính quyết định.

Định nghĩa, khái niệm điểm dựng được chỉ được áp dụng trong phạm vi bài viết và những nơi dùng khái niệm này. Ở những nơi mà không dùng khái niệm này thì cơ sở dựng hình đã được cho sẵn và nó có thể không giống như định nghĩa của bài viết. Những bài toán dựng hình (mà không nhắc đến khái niệm điểm dựng được) vẫn được bắt gặp thôi đó anh, và sự đề xuất khái niệm điểm dựng được không khiến các bài toán đó trở nên vô lý, không ngăn cản mọi người dựng hình. Chỉ là khái niệm điểm dựng được tỏ ra hữu ích trong việc trả lời bài toán dựng hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của hình lập phương cho trước.

Một số ví dụ:

- Cho sẵn hai điểm $(\pi, 0)$ và $(\pi, 1)$, đương nhiên dựng được đường thẳng đi qua hai điểm này.

- Cho sẵn một tam giác, dựng được tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm. Nếu là trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ ba đỉnh của tam giác được cho là thế nào cũng được, miễn là ba đỉnh không thẳng hàng.

Bây giờ nảy sinh hai câu hỏi: 

Câu hỏi 1. Điểm $C$ có thể coi là điểm dựng được hay không? Nếu theo định nghĩa, do $C$ có toạ độ $(\sqrt[3]{2};1)$ nên không phải là điểm dựng được. Tuy vậy, trong thực tế $C$ vẫn dựng được. 

Câu hỏi 2. Liệu với phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, ta có thể xác định trước một điểm không dựng được (theo định nghĩa) như điểm $A$ trong tình huống trên không? 

 

Mình khá lúng túng khi đứng trước tình huống này. Mong mọi người giúp sáng tỏ vấn đề hơn. 

Em nghĩ sự khó hiểu nằm ở cái khác nhau giữa định nghĩa điểm dựng được trong bài viết và định nghĩa điểm dựng được trong suy nghĩ của anh (và có thể người khác cũng có).

Điểm khác biệt: định nghĩa điểm dựng được trong bài viết nhấn mạnh vào hai yếu tố cơ sở dựng hình (hai điểm $(0, 0)$ và $(1, 0)$) và cách thức (bằng thước thẳng và compass); trong khi định nghĩa điểm dựng được trong suy nghĩ của anh dường như lược bỏ cơ sở dựng hình, để cho cơ sở dựng hình là tùy ý. Nếu loại bỏ cơ sở dựng hình trong định nghĩa (tức là để cho cơ sở dựng hình tuỳ ý) thì điểm nào cũng dựng được. Em chọn lấy định nghĩa như trong bài viết để làm tiêu chuẩn (đương nhiên đây là một tiêu chuẩn nhân tạo), để người đọc tuân theo.

Cả hai câu hỏi của anh đều bắt nguồn từ việc bỏ quên cơ sở dựng hình.

Trả lời câu hỏi 1. Nếu tuân theo định nghĩa điểm dựng được của bài viết #1 thì cả $A$ và $C$ đều không phải điểm dựng được.

Trả lời câu hỏi 2. Em hiểu từ "xác định" trong câu hỏi này là "dựng". Câu trả lời của em là không.

Anh @HaiDangPham, ngay ở đầu bài viết, em đã quy ước dựng hình là dựng hình bằng thước và compass. Trong trả lời này em bổ sung thêm, dựng là dựng hình.

Em thấy định nghĩa cho điểm dựng được straightforward đến nỗi em không nêu định nghĩa (vì cái tên đã nói lên điều cần nói). Tuy nhiên em đã bổ sung.

Trong chứng minh $a+b$ dựng được từ $a$ và $b$, em đưa ra thêm vài cách diễn giải hơi quá khi mà có vector. Cốt là em muốn chứng minh phép dựng là đúng (dựng điểm $C$ bằng cách lấy đối xứng điểm $O$ qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$). Phép dựng ở đây là cơ bản nên em không nói dựng như thế nào nữa.

Qua phần mà anh nêu cách hiểu, em khẳng định anh đã hiểu đúng. Nhưng phần anh diễn giải em đã quyết định không thêm vào bài viết.

Bài viết này cover ngay cả những thứ được coi là cơ bản vì em cho rằng như vậy thì có không khí lịch sử, nhưng em sẽ không ôm hết hay giải thích hết bài viết, và tập trung hướng tới các kết quả chính.

Thắc mắc trên của anh @perfectstrong là hợp lý và em đã cập nhật phát biểu. Đúng là khi có sẵn $a$ và $b$ thì dựng được $a+b$. Nhưng nếu ít nhất một trong hai số $a$ và $b$ không phải số dựng được thì không thể chắc chắn $a+b$ là số dựng được. Vậy nên em bổ sung giả thiết $a$ và $b$ là các số dựng được.

Trong ngày hôm nay em cập nhật đều đặn góp ý của mọi người và sửa những gì em thấy là hợp lý nên anh @Nesbit mới thấy lúc đọc là thế này nhưng một lúc sau lại khác.

Như góp ý trên đây từ anh @Nxb và anh @HaiDangPham, em chỉnh sửa bài viết lần nữa.

Thay vì nghĩ là dựng phương trình, anh hãy hiểu là lập phương trình. Và dựng hình bằng đại số nghĩa là lập phương trình và giải phương trình.

Bổ sung lần này em làm gồm có:

• Định nghĩa số dựng được;
• Sự tương đương giữa số dựng được với điểm dựng được;
• Dấu hiệu nhận biết của số dựng được và chứng minh;
• Bình luận nguyên nhân dẫn đến cách phát biểu Mệnh đề 3 (theo góp ý từ anh @perfectstrong)

Em nghĩ em sẽ không cover hết mọi thứ và mọi chứng minh.