Konstante

Vì ở đây chỉ cần tính $3$ chữ số cuối khác $0$ tức là ta chỉ phải làm việc với modulo $1000$, nên về nguyên tắc là với bất kỳ số $n$ nào ta cũng có thể tính được (mặc dù chưa biết công thức hiện phụ thuộc $n$ cho giá trị này). Cụ thể như sau:
Nếu$$\begin{align*}a \equiv a' \pmod{1000} \\ b \equiv b' \pmod{1000}\end{align*}$$và $10 \nmid a'b'$ thì ba chữ số cuối khác $0$ của $a'b'$ cũng chính là ba chữ số cuối khác $0$ của $a'b'$. Còn nếu $10 \mid a'b'$ thì có nghĩa là, ví dụ $2 \mid a$ và $5 \mid b$, khi đó ba chữ số cuối khác $0$ của $ab$ chính là ba chữ số cuối khác $0$ của $\frac{a}{2} \frac{b}{5}$.

Tóm lại trong mọi trường hơp ta đều có thể tính được $3$ chữ số cuối của tích $ab$ bởi ba chữ số cuối của một tích có giá trị nhỏ hơn. Tức là có thể cài đặt một thuật toán để tính toán giá trị này với giá trị $n$ bất kỳ.

Thay $25$ bằng số bất kỳ thì khó, không thì với trường hợp cụ thể này có thể dùng máy tính. Ví dụ đoạn chương trình Python sau

(n, num) = (25, 1)
for i in range(1, n + 1):
    for _ in range(1, i + 1):
        num = num * i
        while num % 10 == 0:
            num = num // 10
print(num % 1000)

sẽ cho kết quả là $824$.

Có thể lập luận như sau: $$x - y = \left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)$$Mà $$\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) \in \mathbb{Q}$$nên$$\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) \in \mathbb{Q}$$Từ đó$$\sqrt{x} \in \mathbb{Q}, \ \sqrt{y} \in \mathbb{Q} $$Do vậy $x$ và $y$ cần phải là các số chính phương.

Sử dụng công thức đạo hàm $\left(\tan x\right)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, ta có $$\left(\tan \frac{x}{2^k} \right)' = \frac{1}{2^k \cos^2 \frac{x}{2^k}}$$Do đó $$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{4^k \cos^2 \frac{x}{2^k}} = \left(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}\right)'$$

Mặt khác: $\cot 2x = \frac{1- \tan^2 x}{\tan x}$ nên $\tan x = \cot x - 2 \cot 2x$, hay là $$-\frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k} = \frac{1}{2^{k-1}} \cot \frac{x}{2^{k-1}} - \frac{1}{2^k} \cot \frac{x}{2^k}$$Do vậy$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k} = -\cot x + \frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n}$$Từ đó$$\left(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} \tan \frac{x}{2^k}\right)' = \frac{1}{\sin^2 x} -  \frac{1}{4^n \sin^2 \frac{x}{2^n}} = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \left(\frac{\frac{x}{2^n}}{\sin \frac{x}{2^n}}\right)^2$$Kéo theo$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{4^k \cos^2 \frac{x}{2^k}} \xrightarrow[]{n \to \infty} \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}$$với mọi $x \in \mathbb{R}$. Thay $x = 2023$ ta có giới hạn: $$\frac{1}{\sin^2 2023} - \frac{1}{2023^2}$$.

Bài này không nên để vào mục Toán đại cương, vì để giải nó chỉ cần sử dụng trực tiếp định nghĩa về tính liên tục của hàm số đã nêu trong chương trình phổ thông.