Konstante

Xét $g(x,y) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ định nghĩa bởi $$(x,y) \mapsto \sum\limits_{0 \leq k < 2017} f(x+ky)$$Thế thì $g$ liên tục và nhận cả giá trị âm và dương, do vậy tồn tại $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$ để $g(x_0,y_0) = 0$, tức là cấp số cộng $\left(x_0, x_0 + y_0, x_0 + 2y_0, \dots, x_0 + 2016y_0\right)$ thỏa mãn $$f(x_0) + f(x_0 + y_0) + f(x_0 + 2y_0) + \dots + f(x_0 + 2016y_0) = 0$$

Câu đầu tiên ta còn có $$\dim (V + W) = \dim V + \dim W - \dim V \cap W \ \text{(công thức Grassmann)}$$Thật vậy, xét ánh xạ tuyến tính $f : V \times W \to V + W$ xác định bởi $(v, w) \mapsto v + w$. Theo công thức số chiều$$\dim V \times W = \dim \text{Im} f + \dim \text{Ker} f$$tức là$$\dim V + \dim W = \dim (V + W) + \dim \text{Ker} f\ \text{(do} \; f \; \text{là toàn ánh)}$$Mà$$\text{Ker} f = \left\{ (v,w) : v + w = 0 \right\} = \left\{(v,-v) : v \in V \cap W \right\}$$do vậy $$\dim \text{Ker} f = \dim V \cap W$$

Ta có thể chứng minh dưới các ràng buộc lỏng hơn: nếu $A \in \mathcal{M}_{m,n}\left(K\right)$ và $B \in \mathcal{M}_{n,m}\left(K\right)$ với $m > n$ thì $\det{AB} = 0$ (giả thiết về ma trận chuyển vị không có ý nghĩa mấy ngoài việc đảm bảo phép nhân ma trận là hợp lệ).

Đặt $f_{A} : K^m \to K^n$ ánh xạ tuyến tính xác định bởi $f_A(x) = Ax$, thế thì $$\text{rank} (f_{A}) = \dim \text{Im}(f_A) \leq \dim K^n \; (\text{vì} \: \text{Im}(f_A) \subseteq K^n) = n$$Đặt $f_B : K^n \to K^m$ ($f_B(x) = Bx$), theo công thức số chiều $$\text{rank} (f_B) = \dim \text{Im}(f_B) = \dim K^n - \dim \text{Ker}(f_B) \leq n$$Hơn nữa $$\text{rank}(AB) = \text{rank} (f_A \circ f_B) \leq \min \left(\text{rank}(f_A), \text{rank}(f_B) \right) \leq n < m$$Vậy thì $AB$ là ma trận kích trước $m\times m$ với hạng nhỏ hơn $m$ nên $\det AB = 0$.

Do không có ràng buộc gì giữa $b$ và $c$ (ngoại trừ hai số cần khác nhau), và do $$\left( {\left(\frac{b}{\gcd(b,c)}\right)}^a + {\left(\frac{c}{\gcd(b,c)}\right)}^a \right) \mid \left( b^a + c^a \right)$$ kéo theo $$\varphi \left( {\left(\frac{b}{\gcd(b,c)}\right)}^a + {\left(\frac{c}{\gcd(b,c)}\right)}^a \right) \mid \varphi \left( b^a + c^a \right)$$ nên ta chỉ cần giải quyết trong trường hợp $\gcd (b,c) = 1$. Đặt $G = \left( \mathbb{Z}/(b^a+c^a)\mathbb{Z} \right)^{*}$, thế thì $\left| G \right| =\varphi(b^a + c^a)$ nên ta chỉ cần chỉ ra được một phần tử (ký hiệu là $\overline{g}$) của $G$ với bậc là $2a$, thì vì nhóm cyclic $\langle \overline{g} \rangle$ là một nhóm con của $G$ nên theo định lý Lagrange $$2a \mid \varphi(b^a + c^a)$$ Vì $\gcd(b,c) = 1$ nên $\overline{b}, \overline{c} \in G $, ta có thể chọn $\overline{g} = \overline{b}\overline{c}^{-1}$ (hoặc $\overline{b}^{-1}\overline{c})$. Thật vậy $$\overline{g}^{2a} - \overline{1} = (\overline{g}^{a} - \overline{1})(\overline{g}^{a} +\overline{1}) = (\overline{g}^{a} - \overline{1})\overline{c^{-1}}^{a}(\overline{b}^{a} + \overline{c}^{a})$$ tức là $\overline{g}^{2a} = \overline{1}$.

Vì $3^{2^1} \equiv 1 \pmod{2^3}$ nên $$3^{2^{2021}} \equiv 1 \pmod{2^{2023}}$$

Do vậy nếu $n$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $$3^n \equiv 1 \pmod{2^{2023}}$$ thì $n \mid 2^{2021}$. Hiển nhiên là $n \neq 1$, nên $2 \mid n$, đến đây ta sử dụng bổ đề LTE $$\begin{align*}\nu_2(3^n-1) &= \nu_2(3^2 - 1) + \nu_2(n) - 1 \\ &= \nu_2(n) + 2\end{align*}$$thu được $\nu_2(n) + 2 \geq 2023$, hay là $2^{2021} \mid n$. Vì vậy $n = 2^{2021}$.

Có thể thay $3$ bởi một số lẻ khác và ta vẫn thu được cùng kết quả