katcong

dự đoán $maxM$ là $\frac{3}{4}$ khi $a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$
+)đặt $a=x;2b=y;3c=z$
($x,y,z$ là các số thực dương)
+)khi đó ta đi chứng minh:
$M=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$ với $x+y+z=3$
áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}$ trong đó $a,b>0$
$ M\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1})$
do đó ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\leq \frac{3}{2}(*)$ với $x+y+z=3$
$(*)$ đúng nếu $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\leq 2$
thật vậy $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$
ta có: $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}\leq\frac{4x^{2}}{(x^{2}+xy+xz)+(2x^{2}+yz)}\leq \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+xz}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}=\frac{x}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}$
tương tự:
$\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\leq 1+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}$
do đó ta đi chứng minh $\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}\leq 1(**)$
$(**) $ đúng nếu $\frac{3}{2}-(\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy})\geq\frac{1}{2} $
hay $(\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})\geq 1$
mà
$ (\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})=\frac{y^{2}z^{2}}{2x^{2}yz+y^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}z^{2}}{2xy^{2}z+x^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}y^{2}}{2xyz^{2}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}}=1$
nên ta có đpcm

Cho a,b,c là các só thực dương ; a+2b+3c=3

    Tìm Max của  $M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$

Cauchy ngược dấu 

$x^{3}+y^{3} \geq \frac{\left ( x+y \right )^{3}}{4}

xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}$

      ^{TA THẤY ĐÃ ĐƯA VỀ DẠNG QUEN THUỘC}

Đề thi kèm ảnh. 

 de-chon-doi-tuyen-hsg-toan-9-nam-2023-2024-truong-chuyen-ha-noi-amsterdam.jpg   133K   10 Số lần tải

1 ) Xét tập $T=\left \{ 1,2,3,..13 \right \}$ . Lập tất cả các tập con hai phần tử trong T  sao cho hiệu của hai phần tử đó là 5 hoặc 8.

2) Cho M là tập con của $S=\left \{ 1,2,3,..869 \right \}$ có tính chất hiệu hai số bất kỳ của M không là 5 hoặc 8. Hỏi M có tất cả bao nhiêu phần tử ?

Tìm p,q,r là các số nguyên tố thỏa mãn : $(p^{2}+1)(q^{2}+1)=r^{2}+1$

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2} =6$

Tìm max của $P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{c^{2}+a^{2}}-\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$