hngmcute

Dấu bằng xảy ra khi nào v ạ

$CM$ là phân giác $\widehat{OCI}$

 

Ủa bn ơi P M D thẳng hàng mà bn sao có góc DPM v

 

 

xin lỗi gọi nhầm tên điểm đấy =))) t sửa rồi

Kẻ $PH$ vuông $AB$ tại $H$

$PCIM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MPI}=\widehat{MCI}=\widehat{ACI}=\widehat{HPM} \Rightarrow \widehat{MPI}=\widehat{HPM}$

Mà $MP$ vuông $BC$ $\Rightarrow \widehat{CPI}=\widehat{BPH} =\widehat{BCI} \Rightarrow$ tam giác $PCI$ cân tại $I$ $\Rightarrow PI=PC$

Từ đó có 2 lần diện tích tam giác $KPI$ $=PI.KI.sin\widehat{PIK}=R.CI.cos\widehat{HPI}=R.CI.cos(2\widehat{HPM})$

$=R.CI.cos(2\widehat{CBA})$ $=R.CI.cos\widehat{COA}=R.CI.\frac{OI}{OC}=CI.OI\leq \frac{CI^2+OI^2}{2}=\frac{R^2}{2}$

Vậy diện tích tam giác $KPI \leq \frac{R^2}{4}$ 

có đúng ko

Đoạn này hình như đâu phải hệ quả của Schur đâu ta, nếu đúng ra thì theo AM-GM có $3(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc}=\frac{1}{abc}$. Nhưng không sao, lời giải có vẻ hơi nhầm ở đoạn đấy thôi, còn lại thì tuyệt. 

vâng em quên ghi mũ hai nhưng dù sao đó cũng không phải hệ quả của schur(e nhầm). em xin lỗi

Đặt $a=\frac{1}{x}$... $\Rightarrow ab+bc+ca=1$

ycbt $\Leftrightarrow \sum \frac{1+\sqrt{{1}+\frac{1}{a^2}}}{a}\leq\frac{1}{abc}$

$\Leftrightarrow \sum a + \sum \sqrt{a^2+1}\leq\frac{1}{abc}$

Ta có $VT = \sum a + \sum \sqrt{(c+a)(a+b)}$

$\leq 3(a+b+c)$

$\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc}$ 

$=\frac{1}{abc}$

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$