Đến nội dung

MHN

MHN

Đăng ký: 21-08-2023
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

#745177 tìm tất cả các cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2...

Gửi bởi MHN trong 25-05-2024 - 18:23

Toán tử này là gì vậy bạn? Mình chưa biết đến nó, mong bạn giúp đỡ.

$[a;b]$ là $BCNN$ đó bạn.

tìm tất cả các cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}=468$ và $\left [ a,b \right ]+\left ( a,b \right )=42$




#745171 Tìm M để $MA+MB+MC$ max

Gửi bởi MHN trong 25-05-2024 - 10:39

Cho ABC vuông nội tiếp (O) ,M thuoc.gif cung BC không chứa A .XĐ M để MA+MB+MC max

Bài toán đã có lời giải tại đây.




#745114 Chứng minh rằng: $B;H;C$ thẳng hàng.

Gửi bởi MHN trong 21-05-2024 - 23:33

Cho đường tròn $(O)$; từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến $AB;AC$. Kẻ đường kính $DE$ bất kì của đường tròn $(O)$ ($DE$ không trùng với $OA$). Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ADE$. Chứng minh rằng: $B;H;C$ thẳng hàng.




#745066 $n+t,n^2+t,n^3+t,....$ không là lũy thừa đúng

Gửi bởi MHN trong 18-05-2024 - 20:01

Chứng minh rằng nếu $t$ là một số tự nhiên thì tồn tại số tự nhiên $n$ 
a) Sao cho $n+t,n^2+t,n^3+t,....$ không là lũy thừa đúng
b) Thêm điều kiện $(n,t)=1$ ( Iran National Math Olympic 2012)

Bạn có thể xem đáp án được viết bằng tiếng Anh tại đây.


#745062 [TOPIC] ÔN THI VÀO LỚP 10 (2024-2025)

Gửi bởi MHN trong 18-05-2024 - 10:48

Bài V) Bài này cũng giống với đề 1 :icon6:.
ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\sqrt{x-2}\leq \frac{x-2+1}{2}=\frac{x-1}{2}$.
$\sqrt{4-x}\leq \frac{4-x+1}{2}=\frac{5-x}{2}$.
$\Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\leq \frac{x-1}{2}+\frac{5-x}{2}=\frac{4}{2}=2$.
Ta có: $x^2-6x+11=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \Rightarrow x^2-6x+11\leq 2 \Leftrightarrow (x-3)^2\leq 0$.
Mà:$(x-3)^2\geq 0 \Rightarrow (x-3)^2=0 \Leftrightarrow x=3$.
ĐCĐK: $x=3(tm)$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: $x=3$.


#744990 Tìm số nguyên $a$ biết $2b=a+c;2c=b+d;c^2+d^2<4$

Gửi bởi MHN trong 13-05-2024 - 22:35

Cho bốn số nguyên $a,b,c,d$ sao cho $2b=a+c;2c=b+d;c^2+d^2<4$.Tìm số nguyên $a$ biết $b=2$

Bạn tham khảo lời giải tại đây.
P/s: Bạn cần đánh đúng Latex.


#744972 CMR: $(\sum\frac{a}{b-c})(\sum\f...

Gửi bởi MHN trong 12-05-2024 - 23:16

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Đặt: $A=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}$
$B=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}$
Ta có: $A=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a(ac-bc-a^2+ab)+b(ab-ca-b^2+bc)+c(bc-ab-c^2+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2c-abc-a^3+a^2b+ab^2-abc-b^3+b^2c+bc^2-abc-c^3+c^2a}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-(a^3+b^3+c^3)-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Dễ dàng CM được: Với $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$.
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc-8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Mà: $a+b+c=0 \Rightarrow A=\frac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$B=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}=\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{abc}$
$\Leftrightarrow B=\frac{b^2c-bc^2+c^2a-ca^2+a^2b-ab^2}{abc}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc}$
$\Rightarrow A.B=9(Đpcm)$


#744965 Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4...

Gửi bởi MHN trong 12-05-2024 - 21:52

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương

Bài toán đã có lời giải ở đây.




#744956 Chứng minh rằng nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các $\Delta AQ...

Gửi bởi MHN trong 11-05-2024 - 20:31

Câu 1) Cho $\Delta ABC$ có $3$ đường phân giác trong $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các $\Delta AQF;\Delta BQD;\Delta CQE$ bằng nhau thì $\Delta ABC$ đều.
Câu 2) Tính cạnh của đa giác đều có $8$ cạnh theo bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó.




#744947 tìm m,n nguyên dương sao cho $9^{m}+4= n\left ( 2n+7...

Gửi bởi MHN trong 10-05-2024 - 22:18

Bạn tham khảo đáp án tại đây


#744946 Tìm $GTNN$ của: $A=\sum \frac{x^2}{...

Gửi bởi MHN trong 10-05-2024 - 22:08

Câu 7) Cho các số thực $x;y$ thỏa mãn: $x+y=2\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}+1$. Tìm $GTNN;GTLN$ của $A=\frac{x}{2}(x-y)+\frac{y}{2}(y-x)+\frac{2(1+xy\sqrt{x+y})}{\sqrt{x+y}}$.


#744942 Tìm $GTNN$ của: $A=\sum \frac{x^2}{...

Gửi bởi MHN trong 10-05-2024 - 19:41

Làm cách nào để chứng minh nó lớn hơn 3/2 vậy bạn? Mình nghĩ cả buổi trưa không ra

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $a^2b+a^2b+b^2c\geq 3ab\sqrt[3]{abc}=3ab$
TT:...
$\Rightarrow VT \geq \frac{1}{2}(ab+bc+ca) \geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\frac{3}{2}$


#744938 Tìm $GTNN$ của: $A=\sum \frac{x^2}{...

Gửi bởi MHN trong 10-05-2024 - 18:24

Câu 4 theo mình thì biến đổi $\frac{a^4b}{a^2+1}=a^2b-\frac{a^2b}{a^2+1}\geq a^2b-\frac{a^2b}{2\sqrt{a^2}}=a^2b-\frac{ab}{2}$(Cô-si)
TT:...
$\Rightarrow VT\geq a^2b+b^2c+c^2a-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$ rồi chứng minh vế sau $\geq \frac{3}{2}$




#744937 Tìm $GTNN$ của: $A=\sum \frac{x^2}{...

Gửi bởi MHN trong 10-05-2024 - 18:11

Câu 5) Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm $GTNN$ của $A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}.$
Câu 6) Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=27$. Chứng minh: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{12}{a^2+63}+\frac{12}{b^2+63}+\frac{12}{c^2+63}.$


#744922 Tìm $GTNN$ của: $A=\sum \frac{x^2}{...

Gửi bởi MHN trong 09-05-2024 - 22:53

Câu 1) Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Tìm $GTNN$ của: $A=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}.$
Câu 2) Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Câu 3) Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=4\sqrt{xyz}$. Chứng minh rằng: $x+y+z\geq 2\sqrt{xyz}.$
Câu 4) Cho $a;b;c>0; abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}.$
P/s: Mong mọi người tham gia giải nhiệt tình để hoàn thành các bài toán :icon6:.