nguyenhuybao06

Bài 205. Gọi $(AEB)$ giao $(BFC)$ tại điểm thứ 2 là $G.$ 

Ta có $\widehat{EGC}=\widehat{CFB}-\widehat{EAB}=\widehat{CFB}-\widehat{CAB}-\widehat{ACF}=\widehat{ABF}=\widehat{EDC}.$ 

Do đó $ECGD$ nội tiếp, phần còn lại khá dễ dàng. 

Bạn sử dụng đẳng thức này xem sao $$2^{2n+1}=\displaystyle\sum^{2n+1}_{k=0}C^{k}_{2n+1}.$$

Vì bài 199 còn unsolved nên mình sẽ giải thử.

Bài toán 199. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $OH$ cắt $(O)$ tại $E, F$. $AH$ cắt $BC$ tại $D$. dựng các hình thang cân $ACBB'$ và $ABCC'$ với $BB' || AC, CC'|| AB$. $BC$ cắt $B'C'$ tại $X$. Chứng minh $E, F, X, D$ đồng viên.

 

Trước tiên, ta phát biểu bổ đề sau. 

Bổ đề. Cho tam giác $ABC,$ $O$ là đường tròn đi qua $B$ và $C,$ cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E$ và $F.$ $BE$ giao $CF$ tại $K,$ $AK$ cắt $(EOF)$ tại $L,$ khi đó $OL, CB, FE$ đồng quy.

Chứng minh. Gọi $L'$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $AFKE.BC.$

Bằng cộng góc thuần túy ta chỉ ra được $L'$ nằm trên $(EFO)$ và $(BOC).$ Do đó $EF, CB, OL'$ đồng quy tại điểm $T.$

Gọi $(AEF)$ cắt $(ABC)$ tại $H$ thì theo tính chất quen thuộc ta có $A, H, T$ thẳng hàng. Do đó $\widehat{AL'O}=90^\circ.$ 

Gọi $AK$ cắt $EF$ tại $S,$ ta có $(TS,FE)=-1.$ Gọi $L'K$ cắt $EF$ tại $S'$ thì ta có $(TS',FE)=-1.$ (Theo tính chất hàng điều hòa phân giác).

Do đó $S'$ trùng $S$ nên $L'$ trùng $L$ hay ta có $A, K, L$ thẳng hàng hay ta có điều phải chứng minh. 

Quay trở lại bài toán. Gọi $BB'$ cắt $CC'$ tại $J,$ $JX$ cắt $BB'CC'$ tại $K,$ $B'C, BC', OK$ đồng quy tại $G.$

Vì tam giác $ABC$ đối xứng với tam giác $JCB$ qua trung điểm $BC$ nên tâm $(JBC)$ cũng đối xứng với $O$ qua trung điểm $BC.$ Do đó $HKBC$ nội tiếp mà $HK$ là đường kính của $(JBC)$ nên $\widehat{HKJ}=90^\circ.$ Mà theo bổ đề trên ta có $\widehat{OKJ}=90^\circ.$

Gọi $OH$ cắt $BC$ tại $I,$ khi đó ta chỉ cần chứng minh hệ thức $IH.IK=IF.IE$ với $E, F$ là giao của đường thẳng Euler trong tam giác $ABC$ với $(ABC)$ và $K$ là giao của đường thẳng Euler trong tam giác $ABC$ với $(HBC).$ Đây là một hệ thức không khó chứng minh. 

Edit 1. Mọi người có thể xem hình ở đây. 

https://julielltv.wo...-toan-gioi-han/

Mình cảm ơn ạ, tuy nhiên mình có xem qua file này rồi, bài tập khá hạn chế nên mình muốn tham khảo một số nguồn khác nữa ạ.

File bạn viết đẹp thật, muốn tham khảo thềm nhiều bài viết của bạn
Btw, bạn viết xong file này chưa nhỉ :>

Mình đang ngừng viết một thời gian để ôn thi ấy bạn. Gõ cái Latex nó hơi lâu nên hơi tốn thời gian, đợi mình thi xong mình sẽ tiếp tục hoàn thành. Hiện mình cũng đang có một vài file đang viết dở khác, nếu bạn có hứng thú xem qua có thể nhắn mình qua Zalo: 0913823825 nhé.