nguyenhuybao06

Chào mọi người.

Ngày hôm qua mình có tình cờ đọc được một số bài trong Topic VMF's Marathon Hình học Olympic và mình cảm thấy đây là một topic thú vị, tuy nhiên bài được gửi gần đây nhất đã là vào tháng 1 năm 2018, tức là topic này đã bị drop được hơn 6 năm. Ở trong post lần này của mình, mình xin được phép đăng lời giải của bài 201 và xin được phép tiếp nối topic Marathon nhằm giữ gìn di sản của những bậc tiền bối. Lời giải này được mình và Nguyễn Anh Tài hoàn thành. Dành cho ai quan tâm về topic Marathon cũ thì mình sẽ dẫn link ở đây. 

Về bài toán 201, anh trihoctoan đã đăng vào tháng 1 năm 2018.

 Bài 201: (Sưu tầm từ Luis Gonzalez) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD,BE,CF$  .Gọi $l_1,l_2,l_3$ lần lượt là các đường thẳng qua $D,E,F$ và vuông góc với $OD,OE,OF$ .Gọi $X$ là giao điểm của $l_2,l_3$.Tương tự có $Y,Z $.Chứng minh rằng :$DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.

Với $n\in\mathbb{N^*},$ $n\ge4,$ chứng minh bất đẳng thức sau $$\displaystyle\sum^{\frac{n(n-1)}{2}}_{i=n-1}C_{\frac{n(n-1)}{2}}^i-\displaystyle\sum^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}_{i=n-1}C_{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}^i> 2^{\frac{n(n-1)}{2}-1}.$$ 

P/s. Mình dự đoán bất đẳng thức sau vẫn còn đúng $$\displaystyle\sum^{\frac{n(n-1)}{2}}_{i=n-1}C_{\frac{n(n-1)}{2}}^i-\displaystyle\sum^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}_{k=n-1}\displaystyle\sum^{k}_{i=n-1}C_{k}^i> 2^{\frac{n(n-1)}{2}-1}.$$

Edit 1. Cảm ơn BQT đã sửa lại giúp em tiêu đề ạ. 

Chào mọi người!

Hiện tại em đang viết một tài liệu về Định lý trung bình Cesàro. Tuy nhiên em kiếm được khá ít bài tập liên quan tới định lý này. Em muốn nhờ sự giúp đỡ của mọi người ạ. Nếu ai có bài tập ứng dụng Định lý trung bình Cesàro có thể gửi lên đây để em viết vào được không ạ? (Có nguồn của bài tập thì càng tốt). 

Em xin chân thành cảm ơn ạ! 

P/s. Phần demo của tài liệu em sẽ đính kèm cùng bài viết này ạ. Mọi người ai có hứng thú có thể xem qua ạ.  

Cho hình vuông $ABCD.$ Lấy $P$ thuộc $AB$ ($P$ khác $A$ và $B$). Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $PAD,$ $L$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $PBC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $PCD.$ Gọi $K$ là tâm đường tròn $(IJL)$ và $H$ là hình chiếu của $P$ trên $CD.$ Chứng minh rằng tứ giác $PHIK$ nội tiếp.