nguyenhuybao06

Xét dãy số $(a_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ được định nghĩa bởi $a_1=1964, a_2=96,$ $a_{n+2}=30a_{n+1}^2-75a_{n+1}a_n-1944a_n,\forall n\ge1.$ Chứng minh rằng không tồn tại số hạng nào của dãy $(a_n)$ trên là tổng các lũy thừa bậc $7$ của ba số nguyên. 

Sắp hết năm $2024$ âm lịch, mình xin gửi tặng mọi người một bài toán vui vui như sau:

Trên bảng cho $2025$ số nguyên dương. Mỗi lượt ta thực hiện thao tác xóa đi hai số $p,q$ và viết thêm lên bảng số $pq$ nếu $p,q$ không có ước nguyên tố dạng $4k+3.$ Nếu $p$ hoặc $q$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$ thì ta viết lên bảng số $(pq)^2.$ Hỏi sau $2024$ lần thực hiện thao tác thì số cuối cùng còn lại trên bảng có thể viết được dưới dạng tổng hai số chính phương hay không?

Người ta xếp $n$ viên bi liên tiếp trên một hàng ngang, mỗi viên bi được tô bởi một và chỉ một màu. Giả sử số màu được dùng để tô $n$ viên bi là $k$ cho trước. Ta định nghĩa: một bộ $i$ $(2\le i\le n)$ viên bi liền nhau được gọi là đẹp nếu và chỉ nếu $i$ viên bi này được tô bởi một số màu, mỗi màu được dùng chẵn lần. Một cách sắp xếp các viên bi được gọi là đẹp nếu và chỉ nếu ta có thể chọn ra ít nhất một bộ $i$ viên bi đẹp từ cách sắp xếp này. Tìm điều kiện của $n$ sao cho với mọi cách sắp xếp $n$ viên bi, ta luôn có cách sắp xếp đó là cách sắp xếp đẹp. 

Chào mọi người, 

Như các bạn đã biết, Số học đã, đang và luôn là một chủ đề nóng hổi, mà hầu như các bạn học sinh ôn thi những cuộc thi Olympic Toán học đều quan tâm. Để tiện cho các bạn trao đổi các vấn đề liên quan tới Số học, được sự cho phép và ủng hộ của đàn anh perfectstrong, mình xin phép tạo một topic mới với tên gọi là "Số học hướng tới kỳ thi Olympic".

Topic này là nơi các bạn sẽ thảo luận và đưa ra lời giải cho những bài toán Số học được đăng. Mục tiêu của topic là tạo ra sân chơi, để mọi người có thể thoải mái trao đổi và cùng giúp nhau phát triển, ngoài ra, khi cần ôn tập để chuẩn bị thi các kì thi Olympic, các bạn có thể xem đây như một nguồn tài liệu tham khảo.

Mình xin cảm ơn và mong các bạn sẽ ủng hộ topic này. 

Thân ái, 

Nguyễn Huy Gia Bảo

Trong tam giác $ABC$ lấy điểm $P$ bất kì. Giả sử một đường tròn tâm $P$ cắt các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D,E,F,G,H,I.$ Tiếp tuyến tại $D$ và $E$ của $(P)$ cắt nhau tại $A_1.$ Định nghĩa tương tự với $B_1,$ $C_1.$ Chứng minh rằng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.