fanmu20nam

 

Cho các số thực dương $a,b,c$ và số thực không âm $k$. Chứng minh rằng với mọi $a^{2k}+b^{2k}+c^{2k}=3$ thì ta có $$\left( \frac{ab}{c}\right)^{k}+\left( \frac{bc}{a}\right)^{k}+\left( \frac{ca}{b}\right)^{k}\geq3. $$

Chú ý rằng trường hợp $k=0$ thì đẳng thức xảy ra với mọi $a,b,c$. 

 

Với $k=0$, ta có: $VT=\left ( \frac{ab}{c} \right )^0+\left ( \frac{bc}{a} \right )^0+\left ( \frac{ca}{b} \right )^0=1+1+1=3=VP$ (Luôn đúng).

Với $k>0$, ta có: $VT^2\geq 3\left (\left ( \frac{ab}{c} \right )^k.\left ( \frac{bc}{a} \right )^k+ \left ( \frac{bc}{a} \right )^k.\left ( \frac{ca}{b} \right )^k+\left ( \frac{ca}{b} \right )^k.\left ( \frac{ab}{c} \right )^k \right )=3\left ( a^{2k}+b^{2k}+c^{2k} \right )=9$
$\Rightarrow VT \geq 3$ hay ta có đpcm.

BÀI TOÁN 6. Giả sử $x, y, z \geq 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$. Chứng minh $$\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$$      

Áp dụng BĐT Bunhia vào $VP$, ta có:

$VP=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\frac{\sqrt{z-1}}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}$

$\leq \sqrt{\left ( \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z} \right )\left ( x+y+z \right )} $

$=\sqrt{x+y+z}.\sqrt{3-\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )}=\sqrt{x+y+z}$.

Vậy ta có đpcm. Đạt được khi $x=y=z=\frac{3}{2}$.

BÀI TOÁN 4.

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng $$ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}.$$

Bất đẳng thức tương đương: $\frac{a(a+b+c)}{(b+c)^2}+\frac{b(a+b+c)}{(c+a)^2}+\frac{c(a+b+c)}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2}+\frac{c^2}{(a+b)^2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{9}{4}$.

Áp dụng BĐT Bunhia, ta có: $\frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2}+\frac{c^2}{(a+b)^2} \geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^2$.

Theo BĐT Nesbit, ta lại thu được $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow VT \geq \frac{1}{3}.\left ( \frac{3}{2} \right )^2 + \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.

Vậy ta có đpcm. Đạt được khi $a=b=c$.

ĐKXĐ: $\left | x \right | \geq \left | y \right |$.

Hệ phương trình tương đương: $\left\{\begin{matrix}y\sqrt{x^2-y^2}=12 (1)\\y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x(2)\end{matrix}\right.$

Từ phương trình $(1)$ và $(2)$, ta có $x<12 (*)$ và $y>0(**)$.

Bình phương phương trình $(2)$, ta có: $x^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=(12-x)^2\Leftrightarrow24=-24x+144$. (Do có $(1)$).

$\Leftrightarrow x=5$ (Thỏa mãn $(*)$). Thế vào $(1) \Rightarrow y\sqrt{25-y^2}=12\Rightarrow y^2(25-y^2)=144$.

$\Leftrightarrow (y^2-16)(y^2-9)=0\Rightarrow (y-4)(y-3)(y+4)(y+3)=0$.

Do có $(**)$ nên $(y-4)(y-3)=0 \Leftrightarrow y\in \left \{ 3;4 \right \}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ và $(**)$).

Vậy $(x;y) \in \left\{(5;3);(5;4) \right\}$.

Nối D với E.

Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta ACD$ có $B,O,E$ thẳng hàng $\Rightarrow \frac{AE}{AC}.\frac{CD}{DB}.\frac{OB}{OE}=1\Leftrightarrow \frac{OB}{OE}=\frac{AC}{AE}.\frac{DB}{CD}=\frac{3}{2}.\frac{2}{1}=3.$

Mặt khác, $\frac{S_{BOD}}{S_{ODE}}=\frac{OB}{OE}$ nên $\frac{S_{BOD}}{S_{ODE}}=3 (1).$

Tương tự, ta có $\frac{S_{AOE}}{S_{ODE}}=\frac{OA}{OD}=6 (2).$
Lấy $(2)$ chia $(1)$ ta có $\frac{S_{AOE}}{S_{BOD}}=\frac{6}{3}=2.$ Vậy $\frac{S_{AOE}}{S_{BOD}}=2.$