stanleymitchell

       Trong cuốn sách "Phương pháp giải toán qua các bài toán Olympic", thầy Trần Nam Dũng có viết: "Nếu cần thuộc đường ở thành phố Hồ Chí Minh, với hàng trăm con đường như thế, chúng ta có nhớ nổi không? Và nếu bỏ công sức ra học thì bao giờ mới nhớ hết?

       Nhưng nếu ta học có hệ thống, đầu tiên là trục ngang, trục dọc, sau đó là các cụm theo quận, theo phường. Ta không cần nhớ hết, chỉ cần biết ở quận nào, gần đường lớn nào[...]

       Học giải toán cũng vậy. Nếu chúng ta học các bài toán một cách riêng rẽ thì biết bao nhiêu là đủ. Ta có đủ thời gian để nhớ được bao nhiêu bài toán?[...] Nói một cách hình ảnh, giả sử ta có 100 bài toán, thay vì học cả 100 bài một cách riêng lẻ, ta có thể chọn ra 10-15 bài chốt."

Đúng như vậy, từ một bài toán người ta có thể "chế" ra nhiều đề khác nhau. Do đó hôm nay mình muốn viết một bài về những bài toán "chốt" như thế. Ở đây không cần thiết phải post các định lý, cái đó ở phần khác. Mà mình muốn mọi người thấy bài toán nào có tính ứng dụng cao, hay thì hãy post lên(có thể coi nó là "bổ đề"). Và mọi người không phải post lời giải, chỉ cần đưa ra bài toán chỉ ra điểm mấu chốt, việc còn lại sẽ tự nghiên cứu sau(nếu cần thì post riêng bài đó để tìm lời giải). Khuyến khích mọi người đưa ra các bài toán mở rộng từ bài toán ban đầu.   

Và hy vọng sẽ còn ai nhiều nhiệt huyết để làm xê-ri tương tự ở những mảng khác

Tất nhiên, mình sẽ rất vui lòng nếu như ai đó góp ý cho mình cách sắp xếp những bài toán theo các trục lớn, trục ngang, trục dọc để hệ thống hoá kiến thức dễ dàng hơn

Bài toán(Rio Plate 2002): Tìm các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho $\frac{a^2b+b}{ab^2+9}$ là một số nguyên

[kể chuyện] Hôm qua mình đang xem qua nguyên lý Dirichle, mình lại liên tưởng đến quê mình . Và hiện tại(chưa sáp nhập) thì nước có 63 tỉnh thành, nên thắc mắc không biết có ai trùng tỉnh với mình không. Theo hướng Dirichle thì trên 64 học sinh trong lớp mình thì sẽ có người trùng quê. Nhưng sau khi kiểm tra lại với lớp mình(lớp mình có 47 người), thì có tới ít nhất 2 người trùng quê với mình.

Cho nên mình nảy ra một thắc mắc: Xác suất để có ít nhất 2 học sinh trong lớp 47 học sinh đến từ cùng một tỉnh là bao nhiêu?

Đến nay mình vẫn chưa nghĩ ra tính thế nào  

Tính xác suất tìm được số nguyên dương $\overline{abcde}$ với điều kiện $1\le a\le b\le c\le d\le e\le 9$

Lưu ý không sử dụng chỉnh hợp, tổ hợp, giai thừa,... nhé! Đây là toán xác suất chương trình mới

Có rất nhiều sách trong và ngoài nước viết về bất đẳng thức hoán vị nhưng có lẽ chưa cuốn sách nào đề cập bất đẳng thức này thật sự chi tiết, tỉ mỉ. Gốc gác của BĐT này là vấn đề sắp xếp trình tự tối ưu diễn ra trong đời sống hàng ngày. Có thể thấy ý nghĩa khái quát của vấn đề trong việc sắp xếp lắp ráp các chi tiết máy một cách tối ưu trong các mô hình sản xuất hàng triệu chi tiết như sản xuất máy bay Boeing, Airbus, tàu con thoi. Dưới đây là một ít kiến thức về BĐT này mà mình sưu tầm được, hy vọng mọi người sẽ mở rộng đề tài này, giúp cho mình hiểu nhiều khía cạnh hơn bởi lẽ mình cũng không giỏi giang gì, mình chỉ khơi nên chủ đề này thôi.

1) Bất đẳng thức hoán vị

Chứng minh: Biến đổi tương đương ta được:

$a_1(b_1-t_1)+a_2(b_2-t_2)+...+a_n(b_n-t_n)\ge 0$

Khai triển Abel ta được:

$a_1(b_1-t_1)+(a_2-a_1)(b_1+b_2-t_1-t_2)+(a_3-a_2)(b_1+b_2+b_3-t_1-t_2-t_3)+...+a_n(b_1+b_2+...+b_n-t_1-t_2-...-t_n)\ge 0$

Đúng do $a_1\ge a_2\ge a_3\ge ... \ge a_n$ và $b_1\ge b_2\ge b_3\ge ... \ge b_n$

Có thể đến khúc này nhiều bạn không hiểu tại sao ra được(mình lúc đầu đọc cũng không hiểu) nhưng bạn cứ để ý là khúc trừ $b_1,b_2,...$ loằng ngoằng kia là sắp xếp những số dãy $b$ từ lớn đến bé, hay đó là tổng lớn nhất của $i$ số hạng đầu tiên thì trừ cho bất kì $i$ số hạng nào trong dãy $b$ hay nay là $t$ thì luôn luôn lớn hơn ($b_1+b_2$ là tổng lớn nhất của 2 số hạng trong dãy, còn $b_3+b_4$ không phải là tổng 2 số lớn nhất cho nên trừ đi chắc chắn phải lớn hơn không, lập luận tương tự với $t$)

Chứng minh: Tương tự ở trên

2) Kỹ thuật sử dụng

Cùng đến bài toán quen thuộc: $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\le b\le c$ nên $a+b\le a+c\le b+c$

Suy ra $a\le b\le c$ và $\frac{1}{b+c}\le \frac{1}{c+a}\le \frac{1}{a+b}$

Sử dụng BĐT hoán vị ta có:

$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a}+ \dfrac{a}{a+b}$

Và $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{c}{b+c} + \dfrac{a}{c+a}+ \dfrac{b}{a+b}$

Nên $\dfrac{2a}{b+c} + \dfrac{2b}{c+a}+ \dfrac{2c}{a+b} \geq \dfrac{b+c}{b+c} + \dfrac{c+a}{c+a}+ \dfrac{a+b}{a+b}=3$

Đến đây được rồi

Sáng mai mình viết tiếp, hôm nay hứa đi ngủ sớm rồi