Đến nội dung

nhutduy27

nhutduy27

Đăng ký: 24-12-2023
Offline Đăng nhập: 29-12-2024 - 08:26
-----

#744231 Tính $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]...

Gửi bởi nhutduy27 trong 18-03-2024 - 18:28

a) $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]=\sum_{i=1}^{p-1}\frac{i^2}{p}-\sum_{i=1}^{p-1}\left \{ \frac{i^2}{p} \right \}=\frac{\left ( p-1 \right )p\left ( 2p-1 \right )}{6p}-\sum_{i=1}^{p-1}\left \{ \frac{i^2}{p} \right \}$

Với mỗi số $a \in\left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ bất kì, tồn tại duy nhất số $b\in\left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ để $a^2+b^2 \vdots p$.

Do đó ta có thể chia $\left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ thành $\frac{p-1}{2}$ cặp $\left(a;b\right)$ để $a^2+b^2 \vdots p$.

Khi đó: $\sum_{i=1}^{p-1}\left \{ \frac{i^2}{p} \right \}=\sum_{a,b}^{}\left(\left \{ \frac{a^2}{p} \right \} +\left \{ \frac{b^2}{p} \right \} \right)=\frac{p-1}{2}$, do đó$\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]=\frac{\left ( p-1 \right )p\left ( 2p-1 \right )}{6p}-\frac{p-1}{2}$.




#744229 Chứng minh $x_{n+1}= \frac{n+1}{nx_n+1...

Gửi bởi nhutduy27 trong 18-03-2024 - 16:59

Cho dãy số $\left( x_n \right)$ xác định bởi $x_1 = 2$ và $x_{n+1}= \frac{n+1}{nx_n+1}, \forall n\geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left( x_n \right)$ hội tụ và tìm giới hạn của nó.




#744208 Tính $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]...

Gửi bởi nhutduy27 trong 17-03-2024 - 12:35

Cho số thực $x$, ký hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Với $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1,k \in \mathbb{N}^{*}$. Tính $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]$

b) Với $p$ là số nguyên tố lẻ, $q$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $\sum_{k=1}^{p-1}\left [ \left ( -1 \right )^k.k^2.\frac{q}{p} \right ]=\frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$




#743899 Có bao nhiêu cách chọn ra 10 quả cầu sao cho trong các quả cầu còn lại có đủ...

Gửi bởi nhutduy27 trong 29-02-2024 - 15:20

Có 16 quả cầu đôi một khác nhau, trong đó có 5 quả cầu màu vàng, 5 quả cầu màu xanh, 6 quả cầu màu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra 10 quả cầu sao cho trong các quả cầu còn lại có đủ cả 3 màu.




#743451 Tìm lim $u_{n}=\frac{-(n+1)}{9[n+(n-1)u_...

Gửi bởi nhutduy27 trong 11-02-2024 - 17:06

Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{2}{3}\\ u_{n}=\frac{-(n+1)}{9[n+(n-1)u_{n-1}]} \end{matrix}\right.$ $\forall n\geq 2$. Tìm $limu_{n}$




#743421 Tìm min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y...

Gửi bởi nhutduy27 trong 09-02-2024 - 19:17

Cho các số thực $x,y,z\in (0,1]$ thỏa mãn $x+y\geq 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{xy+z^2}$$




#743283 $\frac{x+\sqrt{x^{2}-x}}{...

Gửi bởi nhutduy27 trong 29-01-2024 - 18:04

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{x+\sqrt{x^{2}-x}}{\sqrt{y-1}}=2+\sqrt{y\left ( y-1 \right )}\\\frac{y+\sqrt{y^{2}-y}}{\sqrt{z-1}}=2+\sqrt{z\left ( z-1 \right )} \\ \frac{z+\sqrt{z^{2}-z}}{\sqrt{x-1}}=2+\sqrt{x\left ( x-1 \right )} \end{matrix}\right.$




#742747 $P(x+1)\left ( \frac{1}{x-b_{1}}...

Gửi bởi nhutduy27 trong 28-12-2023 - 08:05

Cho đa thức $P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}$ có $degP(x)\geq 2$ và có các nghiệm là $b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Chứng minh rằng: nếu $x> b_{i}$ với $i=1,2,...n$ thì

$$P(x+1)\left ( \frac{1}{x-b_{1}}+\frac{1}{x-b_{2}}+...+\frac{1}{x-b_{n}} \right )\geq 2n^{2}$$