Danpda47

Đặt $\frac{ab}{c} = z, \frac{ac}{b} = y, \frac{bc}{a} = x$
$\Rightarrow \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 3$
Cần chứng minh: $\sum\sqrt{\frac{4x+1}{x+4}} \geq 3$
Cho $y=x \Rightarrow z = \frac{(3-x)^2}{4x}$ tại x thuộc đoạn $(0,3)$
Ta viết lại điều cần chứng minh:
$2\sqrt\frac{4x+1}{x+4} + \sqrt\frac{4(\frac{3-x}{\sqrt2x})^2+1}{(\frac{3-x}{\sqrt2x})^2+4} \geq 3$
Hay:
$2\sqrt\frac{4x+1}{x+4} + 2\sqrt\frac{x^2-5x+9}{x^2+10x+9} \geq 3$
Sau khi bình phương lên, ta được:
$11x^3+34x^2-301x-144+8\sqrt{(4x+1)(x+4)(x^2-5x+9)(x^2+10+9)} \geq 0$
Bất đẳng thức trên đúng theo C-S và AM-GM:
VT = $11x^3+34x^2-301x-144+8\sqrt{((2x+2)^2+9x)((3-x)^2+x)((3+x)^2+4x)}$
$\geq 11x^3+34x^2-301x-144+8(2x+2+\frac{2x}{x+1})(9-x^2+2x)$
$=\frac{x(x-1)^2(19-5x)}{x+1} \geq 0$ = VP (đpcm)
Dấu "bằng" xảy ra tại x=y=z=1 hay a=b=c=1

Thời gian làm bài: tối đa 30 phút. 

 

Bài tập 1: Cho hàm số $f(x)=x^2+2x+m$. Tìm $m$ để $f(x)\geq 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1>0 & \\ \Delta'=1-m \leq 0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow m \geq 1$

Thời gian làm bài: tối đa 30 phút. 

 

Bài tập 5: Tìm $m$ để bất phương trình $x^2-2mx+2m+1>0$ đúng với mọi $x\geq 10$.

Ta có $a = 1 > 0 \Rightarrow x^2 - 2mx + 2m + 1 > 0, \forall x \geq 10$

TH1: $\Delta' < 0 \Leftrightarrow m^2 - (2m + 1) < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < m < 1 + \sqrt{2}$
TH2: $\Delta' \geq 0$ khi đó pt sẽ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta' \geq 0 & \\ x_{1} \leq x_{2} < 10 & \end{matrix}\right.$

Thời gian làm bài: tối đa 30 phút. 

Bài tập 2: Tìm $m$ để bất phương trình $\left(m+1\right)x^2-2mx-\left(m-3\right)<0$ vô nghiệm.

Bài tập 3: Tìm $m$ để hàm số $y=1-\sqrt{(m+1)x^2-2(m-1)x+2-2m}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. 

BT 2:
Đặt $f(x) = (m+1)x^2 - 2mx - (m-3)$
BPT < 0 vô nghiệm $\Leftrightarrow f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$
TH1: $m = - 1$ thì $f(x) = 2x + 4 \geq \Leftrightarrow x \geq - 2$ (KTM)
TH2: Với $m \neq -1, f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a > 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{matrix}\right.$
$a>0 \Leftrightarrow m > -1$
$\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} + (m+1)(m-3) \leq 0 \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 3 \leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{7}}{2} \leq m \leq \frac{1+\sqrt{7}}{2}$
BT3:
Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow (m+1)x^2 - 2(m-1)x+ 2-2m \geq 0$
TH1: $m = -1 \Leftrightarrow x \geq -1$ (KTM)
TH2: $m \neq -1 \Leftrightarrow -\frac{1}{3} \leq m \leq 1$

Chỗ này ngược dấu rồi

Ok bạn, chắc mình bị sai ấy để mình xem lại (khá lâu tại mình hơi bận  )