namdung

Đề này lớp 8 mà kinh thật. Cho mấy bạn lớp 9, lớp 10 làm cũng đuối chứ đừng chơi.

Bài giảng 1. Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là một phương pháp thông dụng trong các bài toán đại số. Ý tưởng là để tìm một ẩn số nào đó, ta đưa vào các ẩn số phụ, sử dụng các dữ kiện đã cho tạo ra mối liên hệ giữa các ẩn số đó (các phương trình), giải hệ phương trình, tìm ra giá trị của ẩn số cần tìm. Phương pháp tương tự cũng có thể áp dụng cho các bài toán hình học tính toán (chẳng hạn bài toán giải tam giác, tứ giác), các bài toán đếm (phương pháp dãy số phụ).

Trong bài này, chúng ta đề cập tới phương pháp lập phương trình, hệ phương trình để giải các bài toán phương trình hàm. Ý tưởng chung cũng là để tìm một giá trị f(x) hoặc f(a) nào đó, ta sử dụng phương trình hàm để tìm ra mối liên kết giữa các đại lượng, nói cách khác, tạo ra các phương trình số. Giải các phương trình số này, ta có thể tìm ra f(x) hoặc f(a) với a là một giá trị nào đó.

Với những phương trình hàm có 2 (hoặc nhiều hơn) phương trình điều kiện, ta có thể tìm cách kết hợp các phương trình đó để tìm ra f(x). Phương pháp cơ bản vẫn là tạo ra các mối liên kết, hay các phương trình bằng cách tính một giá trị bằng hai cách khác nhau.

Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm số $ f: R -> R $ thoả mãn điều kiện
i) $ f(-x) = -f(x) $với mọi x thuộc R;
ii) $ f(x+1) = f(x) + 1 $với mọi x thuộc R;
iii) $ f(1/x) = f(x)/x^2 $ với mọi x khác 0.

Giải. Tất cả các điều kiện đều trên một biến x. Trong trường hợp này, ta có thể dùng một chút khái niệm về đồ thị để hiểu con đường đi đến lời giải. Ta xem các số thực như các đỉnh của một đồ thị. Đỉnh x sẽ được nối với các đỉnh x+1, -x, 1/x. Các điều kiện đề bài sẽ cho chúng ta các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số tại các đỉnh được nối bởi một cạnh. Nếu chúng ta tìm được một chu trình thì một cách tự nhiên, chúng ta sẽ có 1 phương trình (để tránh hàm số có hai giá trị khác nhau).

Ta thử tìm một chu trình như vậy
$ x -> x+1 -> \dfrac{1}{x+1} -> - \dfrac{1}{x+1} -> 1 - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x}{x+1} -> \dfrac{x+1}{x} -> \dfrac{1}{x} -> x $
Đặt y = f(x) thì từ chu trình ở trên, ta lần lượt có
$ f(x+1) = y+1, f(\dfrac{1}{x+1}) = \dfrac{y+1}{(x+1)^2}, f(-\dfrac{1}{x+1}) = -\dfrac{y+1}{(x+1)^2}, f(\dfrac{x}{x+1}) = 1 - \dfrac{y+1}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x-y}{(x+1)^2}, f(\dfrac{x+1}{x}) = \dfrac{\dfrac{x^2+2x-y}{(x+1)^2}}{(\dfrac{x}{x+1})^2} = \dfrac{x^2+2x-y}{x^2}, f(1/x) = \dfrac{2x-y}{x^2}, f(x) = 2x-y $

Từ đó suy ra 2x - y = y, tức là y = x. Vậy f(x) = x.

Trong lý luận trên, ta cần đến điều kiện x khác 0 và -1. Tuy nhiên từ điều kiện f(x+1) = f(x) + 1 ta dễ dàng suy ra f(0) = 0 và f(-1) = 1. Vậy f(x) = x là tất các nghiệm của bài toán.

Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện
$ f(x^2-y) = xf(x) - f(y) $ với mọi x, y thuộc R
Giải. Thay x = y = 0 vào phương trình hàm, ta được f(0) = - f(0), suy ra f(0) = 0. Thay y = 0 và phương trình hàm, ta được
$f(x^2) = xf(x) (1) $
Từ đó suy ra
$ f(x^2-y) = f(x^2) - f(y)$
Thay x = 0, ta được f(-y) = - f(y). Thay y bằng - y, ta được
$f(x^2+y) = f(x^2) - f(-y) = f(x^2) + f(y) $ với mọi x, y.
Từ đó, kết hợp với tính chất hàm lẻ, ta suy ra $f(x+y) = f(x) + f(y) $với mọi x, y.
Bây giờ ta có $f((x+1)^2) $một mặt có thể tính theo công thức (1), tức là bằng
$(x+1)f(x+1) = (x+1)(f(x)+f(1))$. Mặt khác, ta có thể khai triển
$f((x+1)^2) = f(x^2+2x+1) = f(x^2) + 2f(x) + f(1) = xf(x) + 2f(x) + f(1).$
Từ đó ta được phương trình $(x+1)(f(x)+f(1)) = xf(x) + 2f(x) + f(1)$, suy ra $f(x) = f(1)x$.
Đặt $f(1) = a$, ta được $f(x) = ax$. Thử lại vào phương trình ta thấy nghiệm đúng.

Vậy $f(x) = ax$ với a thuộc R là tất cả các nghiệm của bài toán.

Phương pháp tạo ra các mối liên kết cũng có thể áp dụng hiệu quả trong các bài toán phương trình hàm trên Q, N, Z. Ta xem xét một số ví dụ

Bài toán 3. Tìm tất cả các hàm số f : Q+ -> Q+ thoả mãn các điều kiện
i) $f(x+1) = f(x) + 1 $với mọi x thuộc Q+;
ii) $f(x^2) = f^2(x) $với mọi x thuộc Q+.
Giải. Từ điều kiện i) ta dễ dàng suy ra f(n) = n với mọi n thuộc Z và f(r+n) = f(r ) + n với mọi r thuộc Q và n thuộc Z. Bây giờ ta tính f(r ) với r = p/q. Ý tưởng ta sẽ tính $f((r+q)^2) $ theo f(r ) bằng hai cách.
Trước hết $f((r+q)^2) = f^2(r+q) = (f(r ) + q)^2 $ (1)
Mặt khác $f((r+q)^2) = f(r^2+2p+q^2) = f(r^2) + 2p + q^2 = f^2(r ) + 2p + q^2$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $f^2(r ) + 2qf(r ) + q^2 = f^2(r ) + 2p + q^2 $=> $f(r ) = p/q = r$.

Vậy f(r ) = r với mọi r thuộc Q.

Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm số f: N -> N sao cho
$f(m^2+n^2) = f^2(m) + f^2(n) $ với mọi m, n thuộc N
Giải. Cho m = n = 0, ta được $f(0) = 2f^2(0)$, suy ra f(0) = 0. Cho m = 1, n = 0, ta được f(1) = 0 hoặc f(1) = 1. Ta xét trường hợp f(1) = 1, trường hợp f(1) = 0 xét tương tự. Với f(1) = 1, ta lần lượt tính được
$ f(2) = f(1^2+1^2) = f^2(1) + f^2(1) = 2 $
$ f(4) = f(2^2+0^2) = f^2(2) + f^2(0) = 4 $
$ f(5) = f(2^2+1^2) = f^2(2) + f^2(1) = 5 $
Nhưng làm sao để tính, chẳng hạn f(3)? Rõ ràng f(3) không thể tính được theo sơ đ?#8220; trên được, vì 3 không biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương.

Ta nhớ lại một bài toán lớp 3. Có 1 cái cân đĩa với 2 quả cân 1kg, 5kg và 1 bao đường nặng 10kg. Hãy cân ra 7kg đường bằng 1 lần cân. Rõ ràng, với cách cân thông thường thì ta chỉ cân được 1kg đường, 4kg đường (5-1), 5 kg đường và 6kg đường. Tuy nhiên, nếu tinh ý 1 chút, ta có thể có phương án cân được 7kg đường như sau: Đặt vào đĩa bên trái quả cân 1kg và 10kg đường, đĩa bên phải là quả cân 5kg, sau đó chuyển dần đường từ bên trái sang bên phải sao cho cân cân bằng, khi đó số đường còn lại ở đĩa bên phải là 7kg !

Bây giờ ta cũng thủ thuật tương với bài toán này. Ta không tính được trực tiếp f(3) nhưng ta lại có $f^2(5) = f(25) = f(3^2+4^2) = f^2(3) + f^2(4)$. Từ đó ta được f(3) = 3.

Tương tự như vậy ta có thể tính được f(6) nhờ vào đẳng thức $6^2 + 8^2 = 102$, trong đó $f(8) = f(2^2+2^2) = 2f^2(2) = 8$, $f(10) = f(3^2+1^2) = f^2(3) + f^2(1) = 10$.
Tiếp tục, để tính f(7), ta để ý $7^2 + 1 = 50 = 5^2 + 5^2$, từ đó f(7) = 7. Cũng như thế, do $11^2 + 2^2 = 10^2 + 5^2 $nên ta suy ra f(11) = 11.

Cách làm này có thể tổng quát hoá như thế nào? Ý tưởng là nếu $m^2 + n^2 = p^2 + q^2 (1) $thì $f^2(m) + f^2(n) = f^2(p) + f^2(q)$. Do đó nếu ta đã tính được f(n), f(p), f(q) thì f(m) cũng sẽ tính được.

Làm thế nào để có được những đẳng thức dạng (1) ở dạng tổng quát, cho phép ta chứng minh f(n) = n với mọi n bằng quy nạp? Chú ý rằng (1) có thể viết lại thành (m-p)(m+p) = (q-n)(q+n) = N. Do đó nếu chọn những số N có 2 cách phân tích thành tích của những số có cùng tính chẵn lẻ, ta sẽ tìm được nghiệm cho (1). Chọn N = 8k = 2.4k = 4.2k và N = 16k = 4.4k = 8.2k, ta được hệ
m - p = 2, m+p = 4k, q - n = 4, q + n = 2k
và
m - p = 4, m+p = 4k, q - n = 8, q + n = 2k
Từ đó được các hằng đẳng thức tương ứng
$ (2k+1)^2 + (k-2)^2 = (2k-1)^2 + (k+2)^2$
và
$ (2k+2)^2 + (k-4)^2 = (2k-2)^2 + (k+4)^2$
Từ hai đẳng thức này, với chú ý là ta đã chứng minh được f(n) = n với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được rằng f(n) = n với mọi n thuộc N.

Trường hợp f(1) = 0, cũng bằng cách lý luận nêu trên ta suy ra f(n) = 0 với mọi n thuộc N.

Bài tập.

1. Tìm tất cả các hàm số f: Q -> Q thoả mãn các điều kiện
i) $ f(x+1) = f(x) + 1 $với mọi x thuộc Q;
ii) $f(x^3) = f^3(x) $với mọi x thuộc Q;

2. Tìm tất cả các hàm f: R \ {0} -> R thoả mãn đ?#8220;ng thời các điều kiện
i) f(1) = 1;
ii) f(1/(xy)) = f(1/x) + f(1/y)
iii) (x+y)f(x+y) = xyf(x)f(y)
với mọi x, y mà xy(x+y) khác 0.

3. Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thoả mãn
$f(x^5 - y^5) = x^2f(x^3) - y^2f(y^3) $với mọi x, y thuộc R.

4. Tìm tất cả các hàm số f: Z -> Z thoả mãn điều kiện
$f(a^3+b^3+c^3) = f^3(a) + f^3(b) + f^3(c )$
với mọi a, b, c thuộc Z.

5. Cho hàm số f: R -> R thoả mãn điều kiện
i) $f(x^2) = f^2(x)$ với mọi x thuộc R;
ii) $f(x+1) = f(x) + 1$ với mọi x thuộc R.
Chứng minh rằng f(x) = x.

Các bạn thân mến,

Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm điều kiện để ôn luyện những kiến thức và kỹ năng cần thiết, cũng như rèn luyện khả năng trình bày, kỹ năng làm việc tập trung, kỹ năng tấn công vào bài toán mới, chúng tôi mở lớp luyện thi VMO 2010 trên mạng.

Lớp học được sự tham gia về chuyên môn của các thầy cô giáo chuyên toán trên cả nước, các cựu IMO, VMO. Mọi đóng góp (bài vở, ý kiến xin gửi về cho địa chỉ [email protected], tiêu đề [4VMO2010]

Lớp học được giúp đỡ về kinh phí của Nokia Việt Nam (http://www.nokia.com.vn)

Sau đây là nội dung và các thức tổ chức lớp học:

Hàng tuần, chủ nhiệm lớp sẽ post 1 đề toán gồm 5 câu (đúng theo format kỳ thi VMO). Các bạn học sinh sẽ giải và gửi về địa chỉ [email protected] với tiêu đề [VMO2010] để được chấm. Sau 2 tuần, kết quả chấm bài, đáp án chi tiết và bình luận sẽ được công bố.

Bên cạnh đó, một số bài viết nhỏ về phương pháp giải toán cũng sẽ được đăng để các bạn học sinh tham khảo. Song hành với chương trình này còn có chương trình bình luận đề thi các tỉnh trên http://www.mathscope.org cũng sẽ rất bổ ích đối với các bạn học sinh.

Sau đây là đề của tuần số 1:

Đề số 1 (Hạn chót nộp bài 6/12)

Bài 1. Với những giá trị nào của b thì tồn tại a sao cho hệ phương trình
$ (x-1)^2 + (y+1)^2 = b
y = x^2 + (2a+1)x + a^2 $
có nghiệm?

Bài 2. Cho dãy số $ {x_n} $xác định bởi
$ x_1 = 3, x_{n+1} = \dfrac{x_n^2+3}{3x_n} $
Chứng minh rằng dãy ${x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3. Trên các cạnh AB và BC của tam giác ABC lấy các điểm M và N tương ứng. Chứng minh rằng bốn điểm A, M, N và C nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi giao điểm các đoạn thẳng AN và CM nằm trên đoạn thẳng đi qua trực tâm các tam giác ABC và BMN.

Bài 4. Các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn điều kiện
$ a^2 + b^2 + ab = c^2 + d^2 + cd. $
Chứng minh rằng số a + b + c + d là hợp số.

Bài 5. Xét một dãy số gồm các số 0 và các số 1. Xét các cặp số trong dãy này (không nhất thiết kề nhau), trong đó số bên trái là số 1 và số bên phải là số 0. Giả sử trong số các cặp này có đúng M cặp mà giữa số 1 và số 0 của cặp này có một số chẵn các số và có đúng N cặp mà giữa số 1 và số 0 của cặp này có một số lẻ số. Chứng minh rằng M lớn hơn hay bằng N.

(Ví dụ với dãy số 1 1 0 1 0 0 thì M = 4, N = 4; với dãy số 1 0 0 0 thì M = 2, N = 1).

Để tiện cho các bạn, file word của đề số 1 được đính kèm.

===========
Vào link này để cảm ơn Nokia Vietnam đã giúp đỡ chương trình (và đón nhận những quà tặng và thông tin thú vị!)
http://www.nokia.com...u/gameloft/quiz

Cảm ơn thầy Hiền đã chia sẻ tài liệu.

Dưới đây là bản cập nhật nhất cho bài trình bày của Phạm Hy Hiếu.

Đây là phần lý thuyết của bài thuyết trình. Các ví dụ minh họa và bài tập sẽ được tiếp tục update. Hẹn mọi người vào sáng mai.

Bài giảng số học 3.

Còn đây là bài giảng về phương trình Diophant cho lớp 11.

Các bạn download tài liệu về để tự nghiên cứu thêm nhé.

So với phiên bản 1.0, phiên bản này đã bổ sung nhiều vấn đề mới.

Ngày 27/9, thầy Nguyễn Trọng Tuấn đã trình bày 2 vấn đề về phương trình hàm trên N

1) Một phương pháp giải phương trình hàm trên N (xây dựng từ tập T thuộc N rồi thác triển lên N)
2) Phương trình hàm trên N và cấp số cộng.

Đây là một chủ đề khá thú vị. Tôi gửi lên các bài soạn của thầy Tuấn để chúng ta cùng tham khảo và thảo luận.

Chào các bạn,

Tôi gửi bài giảng số học 1 và 2 của lớp chuyên đề toán 10.

Chú ý là 1 tuần chúng ta chỉ có 90 phút nên các thành viên CLB cần chủ động làm việc thêm ở nhà.

Ngày 13/9/2009, seminar đầu tiên của năm học 2009/2010 của chuỗi Seminar các PP Toán sơ cấp đã được bắt đầu với chủ đề Phương trình Diophant - Các bài toán và định lý kinh điển.

Thầy Trần Nam Dũng đã giới thiệu với các thành viên 3 bài toán kinh điển:

Bài toán Frobenius: Cho $a_1, a_2, ..., a_n $ là các số nguyên tố cùng nhau có $(a_1, a_2, ..., a_n)=1$. Tìm số nguyên dương $G_n $ lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng $a_1x_1 + ... + a_nx_n $.

Nhìn đơn giản như vậy nhưng bài toán Frobenius cho n = 3 vẫn là bài toán chưa giải được (và với n>3 thì càng khó hơn). Hiện nay người ta mới chỉ đưa ra các thuật toán tìm $G_n $ với các $a_i$ đã cho, còn một công thức cho G_n, thậm chí cho $G_3$ thì chưa có và người ta nghi ngờ rằng không có.

Riêng với trường hợp n=2 thì định lý Sylvester cho chúng ta câu trả lời là $G_2(a, b) = ab - a - b$.

Bài toán Frobenius, chứng minh chi tiết cho định lý Sylvester, bộ ba Pythagoras và phương pháp cát tuyến, bộ n số Diophantus là những nội dung chính của seminar.

Chi tiết xin xem file đính kèm.

Ban chủ nhiệm seminar

Bản thân tôi cũng rất thích thú với Kỷ yếu lần này. Chia sẻ 1 chút về lịch sử các bài viết

1. Bài của thầy HHKhoái chỉ có bản tiếng Anh và tiếng TQ. Tôi đã nhờ anh Lưu Trọng Luân, một người bạn ở Phan Thiết dịch. Sau đó định nhờ PGS Lê Anh Vũ hiệu đính. Tuy nhiên, đến phút cuối, thấy anh Luân dịch đã khá tốt, tôi bèn tự hiệu đính, sau đó gửi cho thầy Khoái xem lại. 1 ngày sau thầy Khoái gửi bản final với comment: "Công nhận là dịch bài khó thật, ngay cả khi đó là bài của mình!".

2. Bài định lý Green-Tao tôi đã bắt đầu dịch từ tháng 4. Vậy mà mãi đến khi kỷ yếu sắp lên khuôn mới hoàn tất. Thế mới thấy cứ phải có sự thúc ép mới có động lực để làm. Đó là việc dễ đấy, chứ việc khó thì toi rồi.

3. Bài biên tập mệt nhất là bài của NTZũng. Không phải là GS Zũng viết yếu mà trái lại, Zũng viết rất tốt. Cái khó là bài dài quá, cần phải cắt đi. Thế là tôi phải ra tay cắt, từ 32 trang --> 22 trang. Sau đó nhờ thêm Trần Sỹ Nam, Biên tập viên kỳ cựu của FPT, cắt thêm được từ 22-14. Trần Sỹ Nam comment: "GS viết hay quá, em không biết cắt thế nào luôn. Cảm ơn anh Dũng đã cho em đọc một bài hay. Đọc bài của GS em cũng thấy yêu Toán".

4. Cảm ơn Lim đã mời được Ngô Bảo Châu và Ngô Đắc Tuấn viết bài. Bài của GS Châu tuy ngắn nhưng rất thú vị và lôi cuốn. Hy vọng rằng cơn sóng mà GS Châu nói sẽ tràn tới Việt Nam.

5. Bài của TS Lê Bá Khánh Trình được trình bày ở Hội thảo "Các vấn đề dạy và học toán phổ thông" do ĐH FPT tổ chức. Tuy nhiên toàn văn bài trình bày chưa được đăng ở đâu, do TS Trình năm đó viết tay và chỉ trình bày miệng mà chưa in trong Kỷ yếu của Hội thảo. Bản điện tử này do chị Nguyễn Thị Khánh Vân (FPT) đánh máy, Nguyễn Tăng Vũ vẽ hình, tôi hiệu chỉnh lại. Theo tôi đây là một bài viết rất sâu sắc về phép biến hình. Tôi cũng học được khá nhiều từ cách suy luận của Trình sư huynh.

6. Bài của Duy và Hiếu cũng khá tốn công cắt xén. Do các bạn viết ở dạng nhật ký nên một số thông tin lặp lại, 1 số thông tin hơi cá nhân nên chúng tôi đã cắt bớt.

7. Bài phải chỉnh sửa nhiều nhất là bài của Vinh (MathVN). Bạn này viết kiểu không chấm không phẩy, 1 câu dài dằng dặc, có khi cả 1 paragraph.

8. Nhìn chung thì dân toán ta viết bài tốt, ít lỗi chính tả, có chăng là một số lỗi "hỏi-ngã". Khi tôi làm báo ở FPT thì bên đó mọi người viết yếu hơn nhiều.

9. Bài của Hội Toán học chờ mãi mà không có (GS Nguyễn Hữu Dư quá bận với kỳ thi Tuyển sinh Sau đại học) nên đành phải thay bằng Thông tin về Hội Toán học.

10. Tuy đã rất cố gắng, nhưng trong kỷ yếu vẫn còn 1 số lỗi. Mọi người thử phát hiện xem nhé.

Năm sau không biết tôi có đủ sức tổ chức Trại hè nữa không, nhưng chắc chắn sẽ đứng ra đảm nhận việc làm Kỷ yếu. Quả thật là rất exciting. Mà năm sau có kinh nghiệm hơn, chắc chắn là còn hay hơn nữa.

Chào các bạn,

Gửi các bạn ở xa không tham dự Trại hè phiên bản điện tử Kỷ yếu Trại hè Toán học 2009.

Rất cảm ơn các tác giả đã đóng góp bài cho Kỷ yếu.

Cảm ơn nhóm MathVN đã hoàn thành rất tốt công việc thiết kế.

Ban biên tập

Tập trung nói về trại hè đi, nói về ông già này làm gì.

Bản thân tôi cũng rất vui khi được làm việc và cống hiến hết mình cho cộng đồng. Tôi muốn phong trào học toán của chúng ta lại đông vui như ngày xưa và ngày càng có chất lượng hơn.

Nhờ bạn nào đọc lại các ý kiến và tổng kết thành 1 bài cho chủ đề này được không? Ai giơ tay nào?

Các bạn thân mến,

Để có thể đóng góp nhiều hơn cho diễn đàn, cho phong trào toán học, tôi sẽ thử nghiệm một sáng kiến mới: Viết bài chung với các anh em trên diễn đàn. Và bài viết đầu tiên sẽ là chuyên đề số phức và ứng dụng.

Nội dung: Số phức và Ứng dụng
Style: Dạng Problem Solving
Quy mô: Khoảng 50 trang A4
Viết để làm gì? Giảng ở trường hè và đưa vào 1 cuốn sách sắp xuất bản
Viết trong bao lâu: 3 ngày 12, 13, 14.
Viết như thế nào: Bạn có thể giải các bài toán đã đề xuất, bình luận, bổ sung thêm các bài tập tương tự, cố gắng ghi rõ nguồn. Các bạn viết bằng file word, font .VnTime. Gửi cho tôi theo địa chỉ [email protected] hoặc [email protected], ghi rõ [COMPLEX] ở tiêu đề. Các bãn cũng có thể gửi thẳng lên diễn đàn.
Bạn được gì khi đóng góp? Bạn sẽ là đồng tác giả của bài viết. Tất cả các benefit nếu có từ bài này sẽ được dành cho Trại hè Toán học 2009.

Tôi gửi đính kèm phiên bản 0.1 (đề cương) của bài viết. Rất mong nhận được sự giúp đỡ từ các bạn.

Chú ý tài liệu chỉ tối đa 50 trang nên cần cân nhắc và chọn lọc. Ta cần không phải 1 tuyển tập đồ sộ mà là các ví dụ bài toán có chọn lọc, điển hình.

Thân mến

Namdung