ZoroMaths

 

Ngày thi thứ hai: 26/12/2024

Đề thi gồm 01 trang, 03 câu

Câu 4 (7,0 điểm):

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$ với $D\in BC, E\in CA$ và $F\in AB$. Gọi $H,O$ và $I$ tương ứng là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC,M,N$ và $P$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(AI,NP),(BI,PM)$ và $(CI,MN)$.

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AXD,BYE,CZF$ có hai điểm chung nằm trên đường thẳng $OH$.

b) Các đường thẳng \(XP, YM, ZN\) tương ứng cắt lại các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(AXD, BYE\) và \(CZF\) tại các điểm \(X', Y'\) và \(Z'\) \((X' \neq X, Y' \neq Y, Z' \neq Z)\). Gọi \(J\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(O\). Chứng minh rằng \(X', Y'\) và \(Z'\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(HJ\).

Câu 5 (7,0 điểm):

Cho một bảng ô vuông $3k\times 3k (k$ là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô $(i; j)$ nằm trên cột thứ $i$ từ trái qua phải và trên hàng thứ $j$ từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt $4k$ viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

• Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;

• Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.

a) Xét $k=1$. Có bao nhiêu cách đặt $4$ viên bị vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên?

(Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô $(i; j)$ có bị trong một cách đặt nhưng không có bị trong cách còn lại.)

b) Xét $k\geq 1$ tổng quát. Xác định số tự nhiên $N$ lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu $N$ ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt $4k$ viên bị thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở một trong $N$ ô đã được đánh dấu.

Câu 6 (6,0 điểm):

Cho \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng

$$\sqrt{3a^2 + 4bc + b + c} + \sqrt{3b^2 + 4ca + c + a} + \sqrt{3c^2 + 4ab + a + b} \geq 9.$$

 

phần bđt phải là ^3 mà nhỉ

Tớ mới làm được một nửa thôi:

Nếu x và y đồng thời ≥1 => A chia hết cho 3 (Loại)

=>x và y không đồng thời ≥1

Nếu y=0 =>A là số chẵn (Loại)

Vậy x=0. A=6^y+1 là SNT

Đến đoạn này tớ chưa biết làm gì nữa

Sao 

 

Sao anh không xét mod? 

đây là cách 2 nhé, và có lẽ nó nhanh hơn đó anh hannguyen hí =)))

ủa 

Nếu $x<0$ thì sao hả bạn , sao có thể cho rằng biểu thức luôn lớn hơn hoặc 0

P/s: Mình khuyên bạn nên sử dụng $\LaTex\$ đẻ gõ công thức toán và tham khảo topic này:

https://diendantoanh...trên-diễn-đàn/ 

bạn vẫn chưa hiểu phần delta của mình trong file kia à? delta<0 với mọi x trong pt đó mà?

Sao 

Giả sử tồn tại  số nguyên tố $p$ sao cho $5^p+4p^4$ là một số chính phương, khi đó tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho $a^2=5^p+4p^4$ hay $(a-2p^2)(a+2p^2)=5^p (**)$. Hiển nhiên $a^2$ là một số chính phương lẻ nên $(a,2)=1$.

 

Nếu $p=5$ thì $a^2=5^4.9$ là một số chính phương (thỏa mãn).

Nếu $p\ne 5$ thì $(5^p+4p^2,p)=(5^p,p)=1$ hay $(a^2,p)=(a,p)=1$. Gọi $d=(a-2p^2;a+2p^2)$, suy ra $d|(2a), d|(4p^2)$, kết hợp với $a$ lẻ và $(a,p)$=1, suy ra được $d\in ${$1;2$}, lại có $d|5^p$ nên $d\ne 2$. Do đó $d=1$, hay $(a-2p^2,a+2p^2)=1$ . Kết hợp với (**) ta suy ra được $a-2p^2=1$ và $a+2p^2=5^p$ hay $4p^2+1=5^p (3*)$,bằng qui nạp ta dễ dàng chứng minh được $5^n>4n^2+1$ với $n\ge 2$, nên mâu thuẫn (3*).

Như vậy thì $p=5$ là số nguyên tố duy nhất phải tìm.

Sao anh không xét mod? 

Tìm $x \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^{5}+3x^{2}-4=0$

Lời giải bài số học

ổn chx bạn?

 nghịch.pdf   25.29K   9 Số lần tải