minhduc38

(a) Bổ đề : Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. BI,CI cắt AC,AB tại E,F. thì ta luôn có OJ vuông góc EF

Chứng minh (phỏng theo cách thầy Hùng)

Gọi BE,CF cắt (O) tại K,L. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Ta có một số kết quả sau : BE.BK = ac, $\frac{IE}{BE} = \frac{b}{a + b + c}$ suy ra IE.BK = $\frac{abc}{a + b + c}$

Tương tự suy ra IE.BK = IF.CL nên $\frac{BK}{CL} = \frac{IF}{IE}$. 

Gọi JB, JC cắt (O) tại G, H. Gọi M, N là trung điểm BG, CH. Do $BI \perp BJ, CI \perp CJ$ nên KG, LH là đường kính của (O). Theo đường trung bình có : $\frac{OM}{ON} = \frac{2BK}{2CL} = \frac{IF}{IE}$. Lại có : $\angle MON = 180 - \angle BJC = \angle BIC = \angle FIE$ nên $\Delta OMN \sim \Delta IFE$ suy ra $\angle IFE = \angle OMN = \angle OJC$. Gọi OJ cắt EF ở D. Ta có : $\angle DFC = \angle DJC$ nên D,F,C,J đồng viên và từ đó : $\angle FDJ = \angle FCJ = 90$ suy ra $OJ \perp EF$ (xong)

Trở lại bài toán : Ta có : $\angle BIC = 90 + \frac{\angle BAC}{2} = 120 = \angle BOC$ nên B,I,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính IJ nên $OI \perp OJ$ mà theo bổ đề ta có : $OJ \perp EF$ nên $OI \parallel EF$ (đpcm)

Bổ đề : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. Gọi M là trung điểm BC thì ta luôn có : $\angle BAS = \angle CAM$. 

Chứng minh : Hạ $AD \perp BC$ tại D

Ta có : O,M,S thẳng hàng (quen thuộc) và $AD \parallel OS$ 

Theo hệ thức lượng : $OM.OS = OB^2 = OA^2$ nên $\angle OAM = \angle OSA = \angle DAS$ 

Mà ta lại có : $\angle BAD = \angle OAC$ (kết quả quen thuộc) nên cộng góc lại ta có : $\angle CAM = \angle BAS$ (xong)

Quay lại bài toán : Gọi M là trung điểm của BC thì ME, MF là các tiếp tuyến của (AEF) và N,H,M thẳng hàng (kết quả quen thuộc). Áp dụng bổ đề đã nêu với (AEF) ta thu được : $\angle FNH = \angle ENI$ mà $\angle FHN = \angle IEN$ nên suy ra $\angle NIE = \angle NFH$. Hoàn tất chứng minh.

Giả sử cả 5 số không chia hết cho 7, nên $a^{3}, b^{3}, c^3, d^3, e^3 \equiv 1; -1$ (mod 7), mà $\sum a^3 = 0 \vdots 7$ nên tồn tại một số chia hết cho 7 và $abcde \vdots 7$.

Giả sử cả 5 số đều lẻ, nên $\sum a^3$ lẻ (mâu thuẫn), do đó $abcde \vdots 2$.

Giả sử cả 5 số không chia hết cho 3, nên $a^{3}, b^{3}, c^3, d^3, e^3 \equiv 1; -1$ (mod 9), mà $\sum a^3 = 0 \vdots 9$ nên tồn tại một số chia hết cho 3 và $abcde \vdots 3$

Do $\gcd(2, 3, 7) = 1$ nên $abcde \vdots 42$

Từ $p+n\vdots qr \Rightarrow p+n \vdots r$. Tương tự $q + n \vdots r$. Khi đó $p-q \vdots r$. Tương tự $q - r \vdots p$. 

Do vai trò của $p, q, r$ như nhau nên giả sử $p\geq q\geq r$. Giả sử $q \neq r$.Khi đó $q - r \geq p$ mà $q - r \leq p-2$ nên mâu thuẫn. Suy ra $q = r$. Do đó $p \vdots r \Rightarrow p = r$.

Từ đó $p = q = r$

Ta có : $\angle LHE = 180 - \angle LHB = 180 - \angle BMH = \angle BMC \Rightarrow \Delta LEH \sim \Delta BCM \Rightarrow \frac{HL}{MB} = \frac{EH}{CM}$ 

Lại có : $\angle EHK = \angle BHL = \angle BMF \Rightarrow \Delta EHK \sim \Delta FMB \Rightarrow \frac{HK}{MB} = \frac{EH}{FM}$

Mà $CM = FM$ nên $HL = HK$, ta có đpcm