randompotato

làm sao chứng minh được bất đẳng thức đầu tiên v

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có $$(ab+1)(\frac{a}{b}+1)\geq (a+1)^2$$

Suy ra $$\frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(ab+1)(a+b)}$$

Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta có $$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}$$

Bài 115: Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R$ và một đường thẳng $d$ cắt $(O)$ tại $C,D$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $d$ sao cho $MC>MD$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh

a) Tứ giác $AMBO$ nội tiếp và $MA^2=MC.MD$

b) Vẽ $DK\parallel AM(K\in AB)$. Chứng minh $HM$ là tia phân giác của $\widehat{AHB}$ và $HK\parallel AC$

 geogebra-export (1).png   26.97K   0 Số lần tải

a) Ta có $\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^\circ+90^\circ=180^\circ \Rightarrow OAMB$ nội tiếp

Ta có $\widehat{MAD}=\widehat{MCA} \Rightarrow \Delta MAD \backsim \Delta MCA \Rightarrow MA^2=MC.MD$

b)Gọi giao điểm của $AB$ và $CM$ là $I$

Ta có $\widehat{OAM}+\widehat{OHM}=90^\circ+90^\circ=180^\circ \Rightarrow OAMH$ nội tiếp mà $OAMB$ nội tiếp suy ra $AHBM$ nội tiếp $\Rightarrow IA.IB=IH.IM$

Do $ACBD$ nội tiếp $\Rightarrow IC.ID=IA.IB$

Suy ra $\frac{ID}{IM}=\frac{IH}{IC} \Rightarrow \frac{IH}{IC}=\frac{IK}{IA} \Rightarrow HK\parallel AC$

Ta có $\widehat{AHM}=\widehat{AOM}=\widehat{BAM}=\widehat{BHM} \Rightarrow HM$ là tia phân giác của $\widehat{AHB}$

Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt{\frac{x^4+y^4+z}{3z^3}}+\sqrt{\frac{y^4+z^4+x}{3x^3}}+\sqrt{\frac{z^4+x^4+y}{3y^3}}\geq x^2+y^2+z^2$$

Đặt $P=\sqrt{\frac{x^4+y^4+z}{3z^3}}+\sqrt{\frac{y^4+z^4+x}{3x^3}}+\sqrt{\frac{z^4+x^4+y}{3y^3}}$

Ta có $x^{4}+y^{4}\geq xy(x^{2}+y^{2}) \Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})$ (luôn đúng)

$z=xyz^{2}$ do $xyz=1$

Suy ra $P\geq \sum \sqrt{\frac{xy(x^2+y^2+z^2)}{3z^3}}= \sum \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3z^4}}= \sum \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{3}z^2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{3}x^2}\geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x^2} \geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

$\Leftrightarrow (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Leftrightarrow x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\geq 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Leftrightarrow \sum x^4y^4\geq \sum x^2$ (luôn đúng với $\forall x,y,z>0$)

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 f.png   46.35K   0 Số lần tải

a)Gọi hai tiếp tuyến tại $C$ và $D$ cắt nhau tại $G$

Ta có $\Delta MCA\backsim \Delta MAD \Rightarrow MA^{2}=MC.MD$

Áp dụng hệ thức lượng ta có $MA^{2}=MH.MO$

Suy ra $\dfrac{MC}{MH}=\dfrac{MO}{MD}$

$\Rightarrow \Delta MCH \backsim \Delta MOD \Rightarrow \widehat{MHC}=\widehat{MDO}$

$\Rightarrow CHOD$ nội tiếp $\widehat{DHO}=\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\widehat{DGO}$

$\Rightarrow GDOH$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{GHO}=90^\circ \Rightarrow GH \perp OH$ mà $OH \perp AB$

$\Rightarrow G,A,B$ thẳng hàng suy ra đpcm

b) Kẻ $OF \perp d$, $AB$ cắt $OF$ tại $I$

Ta có $\Delta OIH \backsim \Delta OMF \Rightarrow OI.OF=OH.OM=OA^{2}$ cố định

Mà $d$ cố định $\Rightarrow OF$ cố định $\Rightarrow OI$ cố định $\Rightarrow I$ cố định suy ra $AB$ đi qua điểm cố định

P/s: Mong bạn chấp hành quy định của diễn đàn về cách đặt tiêu đề tại đây

Giải phương trình $4(x-1)^{2}\sqrt{x+1}-4(x-1)\sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}+2)(x^{2}-2x)$

Điều kiện: $x\geq1$

Pt $\Leftrightarrow 4(x-1)\sqrt{x^{2}-1}(\sqrt{x-1}-1)=x(x-2)(x^{2}+2)$

$\Leftrightarrow 4(x-1)\sqrt{x^{2}-1}\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}-x(x-2)(x^{2}+2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(4(x-1)\sqrt{x^{2}-1}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}-x(x^{2}+2)$

Ta chứng minh:$x(x^{2}+2)(\sqrt{x-1}+ 1)>4(x-1)\sqrt{x^{2}-1}$

Thật vậy, ta có $x\geq2\sqrt{x-1}$

$\sqrt{x-1}+1>\sqrt{x-1}$

$x^{2}+2>2\sqrt{x^{2}-1}\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}-1}-1)^{2}+2>0$ (luôn đúng)

Suy ra $x(x^{2}+2)(\sqrt{x-1}+ 1)-4(x-1)\sqrt{x^{2}-1}>0$
$\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$