Mr Stoke

Đây là nguyên văn đề thi, MS tạm bỏ phần hướng dẫn giải để các bạn làm.

Tặng các bạn cái này

Đề bài 5 là $x^3-35y^3+1$ có đúng không hay $x^2-35y^2+1$ vậy em? Hoăc $x,y$ có điều kiện gì không? Nếu đề như thế chọn $x=-1,y=0$ thì còn gì để làm nhỉ? 

Đáp số của bài toán 1:

(a) Nếu $n=1$ thì $a=t$ với $t\ge3$ nguyên tuỳ ý. 

(b) Nếu $n=2$ thì $a=2^t-1$ với $t\ge2$ nguyên tuỳ ý. 

(c) Nếu $n\ge3$ thì $a=t\ge3$ nguyên tuỳ ý và $n=3^k$ với $k=1,2,\ldots,2016$.

Bài 1 nếu đã sử dụng định lý Bang-Zsigmondy thì lời giải viết ra chắc không quá 1 hoặc 2 dòng. Vì vậy cách làm của bạn Ego tối đa thì cũng chỉ được 1/7 điểm.

Đề này nhạt quá nhỉ, thấy mỗi 2 bài hình là hay.

Đây là nguyên văn đề thi, MS bỏ phần đáp án để các bạn học sinh tự làm sẽ thú vị hơn

Gửi tặng các bạn hướng dẫn giải toàn bộ các bài toán

Thày giáo làm nhanh quá các trò theo không kịp này . Đây là file đề thi, ms bỏ phần đáp án, các bạn tự giải sẽ thú vị hơn.

Bài hệ có một biến thể đẹp mắt: Cho $x,y$ là các số thực mà $x^2+xy+y^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $x-y+x^2y$. Xem ra bài này không dễ nếu không dùng lượng giác.

Trong các lời giải bài hệ phương trình hiện tại chỉ có bạn mathforlife làm đúng.

Tìm tất cả các số thực dương $a$ và $b$ sao cho tồn tại hàm số $f$  thỏa mãn:

 $$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)}  \right )=x+b, \forall x  > 0$$

Khi đã nói đến hàm số, ta cần biết tập xác định và tập giá trị. Đề bài chưa nói rõ điều đó, vì vậy không ai quân tâm giải cũng phải.

Câu 2:

$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.

Từ từ đã nào, nhiều bạn ở trên bảo làm bằng biến đổi tương đương? Bạn nào thử kiểm tra lại xem đã post chính xác bài 2 câu a chưa? Nếu bài toán chỉ như trên thì đề toán này sai. Các bạn có thể lấy ví dụ $a=-1$, $b=2$ và $c$ là nghiệm thực (và do đó là số vô tỷ) của phương trình $c^2+17c=2$. Nếu $a,b,c$ thỏa mãn đẳng thức thì $16c^2+2c-5=0$, mâu thuẫn vì cả hai nghiệm phương trình này đều là số hữu tỷ. Vậy là sao đây ?

câu 6 làm kiểu gì 

Bài 6:  Mỗi số dư của $n$ cho $k$ thuộc tập $\{0,1,\ldots,k-1\}$. Ta có $\sum\limits_{i=1}^{11}\left(a_i-1\right)+\sum\limits_{i=1}^{11}\left(4a_i-1\right)=2013$, do đó $n\equiv -1\pmod{a_i,4a_i}$ trừ ra một chỉ số $i$ nào đó mà $n\equiv-2\pmod{a_i}$ hoặc $n\equiv-2\pmod{4a_i}$. Do đó tồn tại chỉ số $i$ mà $n\equiv-1\pmod{a_i}$ và $n\equiv-2\pmod{4a_i}$ hoặc $n\equiv-1\pmod{4a_i}$ và $n\equiv-2\pmod{a_i}$. Trong cả hai trường hợp ta đều suy ra $a_i\mid 1$, mâu thuẫn. 

Nhận xét kĩ hơn:

Bài 1: nếu phản chứng $abc\neq0$ thì lời giải sẽ gọn nhất, không dễ bị mất trường hợp. Trong phòng thi hầu hết các bạn làm dài, và sai lầm ở đoạn:  $a^2+b^2-ab\geq ab$ sau đó nhân các bất đẳng thức vào. (vế sau có thể âm)

Bài 2: Đưa về phương trình đồng bậc, đặt $t=\dfrac xy$ với chú ý $t\in\mathbb Q$ suy ra $t=2$. MS quan sát thấy rất nhiều bạn làm bài này rất dài dòng.

Bài 3 ngoài cách làm bạn nguyenta98, có thể làm tương tự, nhưng gọn hơn, đó là xét $p_{n+1}=p, p-2,p-4,\ldots$. Cách làm của bạn Vietquang98 sai.

Bài 5: Xét tính chẵn lẻ là xong. Phía trên có 1 bạn làm đúng theo cách đó. Hai bài 5,6 dễ nghĩ hơn bài 3 nhưng nhiều bạn lao vào làm bài 3 trước, kết quả đa số bỏ các bài này.

MS nghĩ đề này bài 3 là bài khó nhất của đề thi, nên bên cạnh độ khó không hợp lý (đề này khó và dài với học sinh THCS) thì cách sắp xếp các câu trong đề thi không hợp lý. Hầu hết các bài toán ở đây đều là các bài thi HSG các nước (ví dụ câu 1, 3, 4a,6). 

Một nhận xét cuối cùng: Nếu ta thay bài toán trên bằng bài toán: Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ và các số nguyên tố $p_1,\ldots,p_n$ thỏa mãn

$\frac{(p_1\cdots p_n)^2+1}{(p_1-1)^2\cdots(p_n-1)^2}$ là số nguyên

thì bài toán này đơn giản hơn nhiều. MS để lại như là bài tập.