Xét sự hội tụ và tính tổng nếu có:
$\sum_{n=1}^{\infty }q^n\sin na$ với $|q| < 1$
P.s: Help me!! Please!!
Dùng tiêu chuẩn so sánh: $|q^n\sin {(na)}|\le |q|^n, n\in \mathbb{N}$, em sẽ chỉ ra chuỗi hội tụ.
Về tìm tổng chuỗi, em vai mượn một chuỗi khác hoặc nhận ra nó chính là phần ảo của một chuỗi phức.
Xét chuỗi $R=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\cos {(na)}$ (dễ thấy chuỗi hội tụ). Đặt $I=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\sin {(na)}.$
Khi đó $R+ I.i=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\left(\cos {(na)}+i.\sin {(na)}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \left[q.e^{i.a}\right]^n=\frac{q e^{i a}}{1-qe^{ia}}.$
Khi đó, $I= Im \left( \frac{q e^{i a}}{1-qe^{ia}}\right). $
Em kiểm tra xem có chỗ nào sai sót không!
- nguyenhongsonk612 yêu thích