phong than

Vậy chắc bạn làm sai rồi đó

Đề bài thiếu điều kiện $p$ nguyên tố lẻ nhé.

Cách khác sơ cấp hơn:

Giả sử tồn tại số nguyên $x$ mà $p | x^2 + 3$, có thể giả sử $x$ lẻ vì nếu $x$ chẵn có thể thay $x$ bởi $p - x$.

Hay là $x = 2l + 1, l\in Z$.

$\Rightarrow p | 4(l^2 + l + 1)$.

$\Rightarrow p | l^2 + l + 1$. (1)

$\Rightarrow p | l^3 - 1$. (2).

Mặt khác theo định lý Fermat:

$p | l^{3k + 1} - 1$. (3).

Từ (2) và (3) suy ra $p | l - 1$, điều kiện này kết hợp với (1) suy ra $k | 3$ và điều này là mâu thuẫn.

Bạn bôi đỏ chỗ bạn thắc mắc được không ? Mình đặt $k$ để khỏi phải chia trường hợp cho đỡ dài dòng thôi. Nếu không thích thì chia trường hợp ra rồi giải cũng được.

Bạn phải hiểu rằng k ở đây không cố định một giá trị. Với một số n thì k = 2001, còn lại thì k = 2002, nên đoạn sau bạn làm không đúng.

Vì giá trị của $f$ nhận trên tập số tự nhiên nên từ giả thiết ta suy ra :

$$f(f(n))+f(n)=2n+k,\;\;\;k\in \left \{ 2001,2002 \right \}\;\;\;\;(1)$$

Ta đặt $x_m=f_m(x)=\underset{m}{\underbrace{f(f(...f(x)...))}}$

Trong $(1)$ ta thay $n$ bởi $f_m(n)$:

$$f_{m+2}(n)+f_{m+1}(n)=2f_m(n)+k\Leftrightarrow x_{m+2}+x_{m+1}-2x_m-k=0\;\;(2)$$

Trong $(2)$ thay $m$ bởi $m+1$ ta được :

$$x_{m+3}+x_{m+2}-2x_{m+1}-k=0\;\;(3)$$

Trừ vế theo vế $(2)(3)$ ta được :

$$x_{m+3}-3x_{m+1}+2x_m=0$$

Phương trình đặc trưng của dãy là :

$$\lambda ^3-3\lambda +2=0\Leftrightarrow \lambda _1=-2,\lambda _2=\lambda _3=1$$

Như vậy thì :

$$x_m=a+bm +c.(-2)^m$$

Cho $m$ lần lượt bằng $0,1,2$ ta được hệ :

$$\left\{\begin{matrix} x_0=n=a+c\\ x_1=f(n)=a+b-2c\\ x_2=f(f(n))=a+2b+4c \end{matrix}\right.$$

Giải hệ này chú ý kết hợp với giả thiết $f(f(n))+f(n)=2n+k,\;\forall n\in \mathbb{N}$ ta được :

$$a=\dfrac{1}{3}\left ( 2n+f(n)-\dfrac{k}{3} \right ),b=\dfrac{k}{3},c=\dfrac{1}{3}\left ( n-f(n)+\dfrac{k}{3} \right )$$

Do vậy ta suy ra :

$$f(n)=3a-2n+\dfrac{k}{3}=-2n+\alpha ,\;\forall n\in \mathbb{N}\;\vee f(n)=n-3c+\dfrac{k}{3}=n+\beta ,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Trong đó $\alpha = const, \beta = const$

Lần lượt thế vào phương trình hàm ban đầu ta tìm được :

$$\alpha =-k,\beta =\dfrac{k}{3}$$

Ta được :

$$f(n)=-2n-2001,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

$$f(n)=-2n-2002,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

$$f(n)=n+667,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Chú ý hàm cần tìm nhận giá trị tự nhiên nên có duy nhất một hàm số thỏa đề là :

$$f(n)=n+667,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Lời giải không đúng rồi bạn. Ở chỗ (2) không thể suy ra thế được vì với mỗi số n nguyên dương k có thể bằng 2001 hoặc 2002.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $(x+y^{2}+z^{2})^{2}-8xyz=1$.

$1 = (x + y^2 + z^2)^2 - 8xyz = (x - y^2 - z^2)^2 + 4x(y - z)^2$.

Nếu ta thay $x^n + xy + y^n$ bằng một đa thức $P(x, y)$ bất kì thì ý kiến 2 đúng. Vì nếu $P(x, y)$ là khả quy viết duới dạng $A(x, y) * B(x, y)$ thì đa thức $A(x, y_0)$ có thể là đa thức hằng nên $P(x, y_0)$ có thể bất khả quy.

Tuy nhiên với đa thức cụ thể $x^n + xy + y^n$ nếu ta chứng minh được $A(x, y_0), B(x, y_0)$ khác đa thức hằng thì mọi chuyện sẽ khác.

Bài Toán :

Cho trước số nguyên dương $n$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ; ta có :

$ \sum_{i=1}^{n} k^{ \gcd(i \ ; \ n)} \equiv 0 \ \ ( \mod n )$

Nguyễn Kim Anh

$ \sum_{i=1}^{n} k^{ \gcd(i \ ; \ n)}=\sum_{d|n}{\phi(\dfrac{n}{d}).k^d}$.
Chứng minh bằng quy nạp số ước nguyên tố của $n$.
Khi $n$ có 1 ước nguyên tố dễ dàng kiểm tra.
Giả sử giả thiết đúng với mọi $n$ có $l$ ước nguyên tố.
Xét $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_{l+1}^{\alpha_{l+1}}$.
$\sum_{d|n}{\phi(\dfrac{n}{d}).k^d}=\sum_{i}^{\alpha_j}{\phi(p_j^i)\sum_{d|\dfrac{n}{p_j^{\alpha_j}}}{\phi(\dfrac{n}{dp_j^{\alpha_j}}).(k^{p_j^{\alpha_j-i}})^{d}$.
Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra $ \sum_{i=1}^{n} k^{ \gcd(i \ ; \ n)}\vdots \dfrac{n}{p_j^{\alpha_j}}$ với mọi $j$.
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} k^{ \gcd(i \ ; \ n)}\vdots n$. Ta có điều phải chứng minh.

Hix, mấy anh post cái đề lên cho em nhìn với :-<.
Tình hình các đội thía nào ấy nhỉ?

Câu 1. Giải hệ
$x^4-y^4=240$.
$x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y)$.
Câu 2. $a_1=5, a_n=(a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1})^{\dfrac{1}{n}}$.
a. Tìm công thức dãy $a_n$.
b. Chứng minh rằng dãy $a_n$ giảm.
Câu 3. Cho đường tròn $(O)$. Hai điểm $B,C$ cố định trên đường tròn, $ BC$không phải đường kính. Lấy $A$ là một điểm trên đường tròn không trùng với $B,C$. $AD,AE$ là các đường phân giác trong và ngoài. $I$ là trung điểm của $DE$. Qua trực tâm tam giác $ABC$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$ cắt $AD,AE$ tại $M,N$.
a. Chứng minh rằng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Tìm $A$ sao cho $S(AMN)$ lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+15y^2=4^n$ có $n$ nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng $3.3$ và $n$ là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong $n$ màu.
Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm.

Cho $a_1,a_2,. . .,a_n;x_1,x_2,. . .,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^n{x_i}=1$. Chứng minh rằng:
$$(n-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n({x_i\prod_{j\ne i}{a_j}})\leq (\sum_{i=1}^n{(1-x_i)a_i})^{n-1}$$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng.
Tổng quát bài toán.