DinhCuongTk14

có link bài bạn đã post trc đây k cho mk xin

Quên rồi bạn ơi =))   10 năm rồi còn gì nữa

Cho các số $a_{1},a_{2},..,a_{q},x_{1},x_{2},..,x_{q}$ và $m$ là các số nguyên thỏa mãn :
$$m|a_{1}x_{1}^{k}+..+a_{q}x_{q}^{k},\forall k\geq 0$$
Chứng minh rằng:
$$m| a_{1}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$

Trong không gian cho 2 đường thẳng $x,y$ chéo nhau . $A,B$ là 2 điểm cố định trên $ x$ và $CD$ là đoạn thẳng có chiều dài$ l$ cho trước có thể di chuyển trên $y $.
Tìm vị trí của $CD$ sao cho diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất

Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là  'đẹp'  nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là  'đẹp'.

Gọi n là 1 số nguyên dương và : $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau :
Với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và :
$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } $.
Chứng minh rằng: Với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho :
$ x_{j} = y_{i} $ và : $ y_{j} = x_{i}. $

Thieu gi vi du ha ban !
Mot so vi du quen thuoc nhu :
1. Tim tat ca bo 4 so tu nhien $( x,y,z,t )$ $0 \leq x,y,z,t \leq36$ thoa man :$ x^{2}+ y^{2} \equiv z^{2}+ t^{2}(mod37)$ (Turkey 2000) .
2. Cho$p$ la so nguyen to dong du 2 mod 3 .CM : Co the chon ra
$ \dfrac{p.(p+1)}{3} $ tap con p phan tu cua tap co $ \dfrac{p.(p+1)}{3} $ phan tu sao cho giao cua hai tap con bat ki co toi da 3 phan tu .
(MOSP 2002) .
3.Neu $p$ la so nguyen to va $(m,n)=1$ ;$p| m^{ 2^{d} } + n^{ 2^{d} } $ thi : $ 2^{d+1} |(p-1)$.
4.Tim tat ca cac so nguyen to $p,q$ sao cho $ a^{3.pq} \equiv a(mod3.pq)$ voi moi a
Ngoải ra có một tính chất khá thú vị nữa là tập $g, g^{2},... g^{p-1} \equiv {1,2,..p-1} $ cái này cực kì thú vị
Nó giống với căn bậc p của đoen vị và có nhiều tc thú vị khác nữa
Bữa sau sẽ nói tiếp !

Dinh li so nguyen to ( The Prime Number Theorem).
Kí hiệu $ \pi (x)$ là số các số nguyên tố bé hơn hoăc bang x
Khi do ta co :
$ \lim_{x\to \infty}\ frac{\pi (x).lnx }{x} $=1 .
(Conjectured by Gauss and Legendre, on the basis of computation, around)
1800.Proved by Hadamard and de la Vallée Poussin in 1896.)
Co the phat bieu mot cach tuong minh nhu sau :
Với mọi $c>0$ tuy y thi ton tai r du lon sao cho voi moi $ n>r $thi trong doan $(r ,(1+c).r)$ chứa tốii thieu mot so nguyen to .
Sau day la mot so vi du :
1 .Cho $P(x)$ la da thuc voi he so nguyen thoa man voi moi $ p /in P $ thi $P(x)$ la luy thừa cua 2 .(AMM)
2. Cm dãy : $ \sum_{i=1}^n p_i $ phan ki .Va ket qua sau :$ \sum_{i=1} p_i $ $ /$$lognlogn$.
3. Tìm 2 số nguyên tố $p$ va $q$ sao cho voi moi so thuc r du lon thi trong khoang $[r, /frac{16.r}{13} ]$
chứa 1 trong cac só co dạng : $ 2^{n} , 2^{n}.p, 2^{n}.q, 2^{n}.p.q$ voi so tu nhien n nao do ! .
Va mot so bai toan khac nua vi du nhu bai toan ve so 'cao cap' (ISL 2005).Day al mot trong nhung co so de cm Dinh li Dirichle !
Noi ve van de nay con rat nhieu vi du khac nua nhung noi chung nhung vi du nay chi de tham khao ren luyen va kiem tra tinh dung dan mot so bai toan
Bac nao hoc thich chuyen sau ve cai nay thi nghien cuu them thoi

Thực ra cái bổ đề minh đề cập đó có thể tổng quát cho $a,b$ và$(a,b)=1$ $a+b \neq 2^{h} $
Sau đây là một số bài toán khác :
1 .Cm rằng với mọi $m,a,b$ và$(a,b)=1$ $a+b \neq 2^{h} $ thì tồn tại $n$ao cho :
a, $n$ có dúng m uớc nguyên tố
b,$ a^{n} + b^{n} \vdots n $ ( TQ IMO )
2/ Cm tồn tại n sao cho : $ a^{n} + b^{n} $ có đúng q ước nguyên tố phan biệt với mọi$a,b$ thỏa mãn dk trên .
Mình sẽ viết lời giải một cách rõ rnagf trong thời gian tới
Các bạn thử sức nhé

Một bổ đề mà mình muốn giới thiệu với các bạn
Theo mình đây cũng là một bổ đề quan trọng khi giải toán :
Nếu $\ p^{h}|| a-1 $ và $ \ p^{k}|| b $ với p là số nguyên tố
thì $\ p^{h+k}|| a^{b} -1 $
Bài này mình thấy thực sự có ý nghĩa
Sau đây là một số ví dụ điển hình :
Cm phuơng trình sau có hữu hạn nghiệm nguyên dương : $\ n!= a^{b}- a^{c} $ (TST CHINA)
Và bài ISL : chứng minh nếu $ (a^n)-1$ và $a-1$ có cùng ước nguyên tố thì $a-1$ là lũy thừa của $2$
và 2 bài
IMO 99
Và bài 4 VMEO tháng 11 nũa
các bạn cùng đóng góp thêm nữa nha.

Chứng minh tồn tại một đồ thị đều m đỉnh các đỉnh bậc 3 và mọi chu trình của G đều có độ dài tối thiểu là n với n nguyên dương và $n<m$.