hung0503

$2C_7^{n + 1}=C_7^n+C_7^{n + 2}$
$\Leftrightarrow \frac{2}{(n+1)(6-n)}=\frac{1}{(6-n)(7-n)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
$\Leftrightarrow n=4$
Ta có
$(1-x+x^2-x^3)^4=C_4^0(1-x)^4+C_4^1(1-x)^3(x^2-x^3)+...$
$\rightarrow a_2=C_4^2+C_4^1=10$
Ở đây ta chỉ quan tâm 2 số hạng đầu cho các số hạng sau có bậc >2

Bài 57. Giải phương trình: $$(3x-5)\sqrt{2x^2-3}=4x^2-6x+1$$

Trích Đề thi thử Đại học lần 2 năm 2012 - Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

Đặt $\sqrt{2x^2-3}=t$
pttt $t^2-t(3x-5)t+2x^2-6x+4=0\Leftrightarrow t_1=2x-4 , t_2=x-1$
+ $\sqrt{2x^2-3}=2x-4\Leftrightarrow x=\frac{8+\sqrt{26}}{2}$
+ $\sqrt{2x^2-3}=x-1\Leftrightarrow x=\sqrt{5}-1$

Bài toán. Tính tích phân: $$I=\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2x-x^2}}{(x-1)^4}dx$$

Trích Đề thi thử ĐH lần IV năm 2012 - Trường Chuyên Lê Qúy Đôn - Bình Định

Đặt $x-1=sint\rightarrow dx=costdt$
$I=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{-\pi}{6}}\frac{\sqrt{1-sin^2t}}{sin^4t}costdt=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{-\pi}{6}}\frac{cot^2t}{sin^2t}dt$
Đặt $cott=u$
$I=\int_{0}^{\sqrt{3}}u^2du=\sqrt{3}$

Bài toán. Giải bất phương trình: $$\frac{\sqrt{x(x+2)}}{\sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{x}}\geq 1$$

Trích Đề thi thử ĐH lần IV năm 2012 - Trường Chuyên Lê Qúy Đôn - Bình Định

Đk $x\geq 0$
bpt $\Leftrightarrow \sqrt{x(x+2)}\geq \sqrt{(x+1)^3}-\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^3+2x^2}\geq x^3+2x^2+1$
$\Leftrightarrow x^3+2x^2=1\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Giải phương trình sau:
$\sqrt[3]{3x^2-3x+3}-\sqrt{\frac{x^3}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$

Bạn xem ở đây ^^
http://onluyentoan.v...p=7944#post7944

Giải bất phương trình
$4\sqrt{1+x}-1\geq3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

Mình giải cách chả hay gì, trong phòng thi sao mà mò đc nghiệm, ai có cách khác post nha.
Sau khi dùng lượng liên hiệp 2 lần
Đk:$-1\leq x\leq 1$
bpt
$\Leftrightarrow x^2\left ( \frac{-2}{(1+\sqrt{1+x})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}+1} \right )\geq 0$
Đặt $f(x)=\frac{-2}{(1+\sqrt{1+x})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}+1}$
$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^3\sqrt{1-x}}+\frac{2}{\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+1)^3}> 0$
$f\left ( \frac{-3}{5} \right )=0, f(1)=4+4\sqrt{2}$
Vẽ bảng biến thiên thì nghiệm $\frac{-3}{5}\leq x\leq 1$

Trong nhiều bài bất đẳng thức, có những bài các bạn để dễ dàng thấy, dễ dàng rút gọn được, mình lấy ví dụ
$\sum \frac{(a-b-c)(b-c-a)}{(b-c)(c-a)}=-4$

Thật sự mình không hiểu cách làm như thế nào cả. Mong mọi người giúp đỡ và đưa ra thêm vài ví dụ. Cảm ơn mọi người ^^

Bài toán:Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$$\left\{\begin{matrix} 8x^3+2xy+2x=y^3+y^2+y(1) \\ \sqrt{2y}(2xy+1)=6x\sqrt{y^2+4x+1(2)} \end{matrix}\right.$$

$(1)(2x-y)(4x^2+2xy+y^2+y+1)=0\Leftrightarrow 2x=y (y>0)$
$(2)(y^2+1)\sqrt{2y}=3y(y+1)\Leftrightarrow y=0\vee y=3\pm 2\sqrt{2}$

$$\left\{\begin{matrix} 8x^3-y^3=63(1) \\ y^2+2x^2+2y-x=9(2) \end{matrix}\right.$$

Nhân hai vế (2) với -6 rồi cộng (1)
Ta đc $(2x-1)^3=(y+2)^3$

Bài 28: Giải hệ phương trình:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 4y - 1 (1)\\
x + y = \frac{y}{{x^2 + 1}} + 2 (2)\\
\end{array} \right.
\]
(Đề thi thử lần 1-2012 THPT Tam Dương-Vĩnh Phúc)

$(1)x^2+1=y(4-x-y)$
$(2)x+y=\frac{1}{4-(x+y)}+2\Leftrightarrow x+y=3$
thay vào (1) $x=-2\vee x=1$

Bài 29: Giải hệ phương trình

\[
\left\{ \begin{array}{l}
1 + xy + \sqrt {xy} = x \\
\frac{1}{{x\sqrt x }} + y\sqrt y = \frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt y \\
\end{array} \right.
\]
(Toán học tuổi trẻ số 4-2012).

Bài này mình làm cũng hơi lằng nhằng
Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b(a> 0,b\geq 0)$
Hệ thành
$\left\{\begin{matrix}
1+a^2b^2+ab=a^2 & \\
\frac{1}{a^3}+b^3=\frac{1}{a}+3b &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(\frac{1}{a}+b)^3-3\frac{b}{a}(\frac{1}{a}+b)=\frac{1}{a}+3b & \\
(\frac{1}{a}+b)^2-\frac{b}{a}=1&
\end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{a}+b=u,\frac{b}{a}=v$
Hệ thành
$\left\{\begin{matrix}
u(u^2-v)-2uv=u+2b(1) & \\
u^2-v=1(2)&
\end{matrix}\right.$
Thay (2) vào (1)
$\Leftrightarrow uv+2b=0\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+b)\frac{b}{a}+2b=0$
$\Leftrightarrow b=0(a> 0,b\geq 0)\Leftrightarrow y=0,x=1$

Bài 26:
Phần nâng cao Giải hệ phương trình $$\begin{cases}y^2+8xy-8x-2y+1=0(1)\\ (1+\log_2 x)\log_2 {(1-y)}+1=0(2) \end{cases}$$
Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An

Đk: $y<1, x>0$
$(1) (y-1)(y-1+8x)=0\Leftrightarrow 1-y=8x$
$(2)(1+log_{2}x)(3+log_{2}x)+1=0\Leftrightarrow log_{2}x=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài 25: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
\log_{2}x+3\sqrt{5-\log_{3}y}=5 \\
3\sqrt{\log_{2}x-1}-\log_{3}y=-1
\end{matrix}\right.$$
Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Nội Amsterdam

Các bạn có thể tham khảo

Bài 23:Giải hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt {5 - {{\log }_3}y} = 5 - {{\log }_5}x}\\{3\sqrt {{{\log }_5}x - 1} = {{\log }_3}y - 1}\end{array}} \right.\]
Đặt $log_{3}y=a, log_{5}x=b$. hệ trở thành
$\left\{\begin{matrix}
3\sqrt{5-a}=5-b(1) & \\
3\sqrt{b-1}=a-1(2)&
\end{matrix}\right.$
Đk: $1\leq a.b\leq 5$
Bình phương (1) và (2) rồi trừ theo vế, ta đc
$9(6-a-b)=(6-a-b)(4+a-b)$
Th1: $a+b=6$
(2) $3\sqrt{b-1}=5-b\Leftrightarrow b=2$
Th2: $ a-b=5$
(2)$3\sqrt{b-1}=4+b$ (VN)

Đến giờ này còn bài chưa đc thảo luận

Bài 7: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}\sqrt {2{y^2} - 7y + 10 - x(y + 3)} + \sqrt {y + 1} = x + 1\\
\sqrt {y + 1} + \frac{3}{{x + 1}} = x + 2y
\end{cases}$
Đề thi thử ĐH môn toán diễn đàn Onluyentoan lần 4

Mình nghĩ mọi người khi giải bài nên có trích dẫn bài đó để tiện theo dõi ^^

Bài 24:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y + \sqrt {x - 1} = \sqrt {2x - 2 + 2{{(2x - y)}^2}} (1)}\\{{y^2} + 4x\sqrt {x - 1} = 17(2)}\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ĐH THPT chuyên Nguyễn Huệ

Đặt $2x-y=a, \sqrt{x-1}=b$
(1) thành $a+b=\sqrt{2(a^2+b^2)}$
Mà $a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$
nên $2x-y=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2x-\sqrt{x-1}=y$
$\Leftrightarrow 4x^2+x-1=y^2+4x\sqrt{x-1}=17\Leftrightarrow x=2$

Bài 23:Giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt {5 - {{\log }_3}y} = 5 - {{\log }_5}x}\\{3\sqrt {{{\log }_5}x - 1} = {{\log }_3}y - 1}\end{array}} \right.\]

Đặt $log_{3}y=a, log_{5}x=b$. hệ trở thành
$\left\{\begin{matrix}
3\sqrt{5-a}=5-b(1) & \\
3\sqrt{b-1}=a-1(2)&
\end{matrix}\right.$
Đk: $1\leq a.b\leq 5$
Bình phương (1) và (2) rồi trừ theo vế, ta đc
$9(6-a-b)=(6-a-b)(4+a-b)$
Th1: $a+b=6$
(2) $3\sqrt{b-1}=5-b\Leftrightarrow b=2$
Th2: $ a-b=5$
(2)$3\sqrt{b-1}=4+b$ (VN)

Bài 16. (Đề thi thử THPT Đồng Lộc - Hà Tĩnh. Lần 2)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 8x^3-12x^2+10x=y^3+2y+3(1) & \\ x^2+2xy=3(2) & \end{matrix}\right.$

(1) $(2x-1)^3+2(2x-1)=y^3+2y\rightarrow 2x-1=y$
thay vào (2)$x=1\vee x=-\frac{3}{5}$

Bài 22:Giải hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 2{y^2} = {x^2}y + 2xy}\\{2\sqrt {{x^2} - 2y - 1} + \sqrt[3]{{{y^2} - 14}} = x - 2}\end{array}} \right.\]

Bài này anh Alex_Hoang xem giúp đc ko ạ?
Cm x=y rồi thế vào pt sau thì nó vô nghiệm ^^

Bài 21:Giải phương trình
\[ - 2{x^3} + 10{x^2} - 17x + 8 = 2{x^2}\sqrt[3]{{5x - {x^3}}}\]

Nhận xét x=0 không là nghiệm, chia cho $x^3$, đặt $\frac{1}{x}=t$
Ta đc pt
$8t^3-17t^2+10t-2=2\sqrt[3]{5t^2-1}$
$\Leftrightarrow (2t-1)^3+2(2t-1)=5t^2-1+2\sqrt[3]{5t^2-1}$
$\Leftrightarrow 2t-1=\sqrt[3]{5t^2-1}\Leftrightarrow t=\frac{17+\sqrt{97}}{16}$

Mình cần tài liệu về giới hạn của dãy số. Nếu bạn có có thể gửi cho mình không, mình cảm ơn trước nhé.

Mình thấy cái này hay.

Bài 12Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& \left( 1-\frac{12}{y+3x} \right)\sqrt{x}=2 \\
& \left( 1+\frac{12}{y+3x} \right)\sqrt{y}=6 \\
\end{align} \right.(x,y\in $R).
Đề thi thử ĐH -THPT chuyên Hưng Yên

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
& 1-\frac{12}{y+3x}= \frac{2}{\sqrt{x}}(1) & \\
& 1+\frac{12}{y+3x}= \frac{6}{\sqrt{y}}(2) &
\end{matrix}\right.$
(1)+(2)$\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{\sqrt{y}}=2$(*)
(2)-(1)$\frac{6}{\sqrt{y}}-\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{24}{y+3x}$(**)
(*) nhân (**) $\frac{9}{y}-\frac{1}{x}=\frac{12}{y+3x}$
$\Leftrightarrow 27x^2-6xy-y^2=0$

Bài 13:Giải hệ phương trình sau: $\ \left\{\begin{matrix}
\left({x}^{4}+y \right){3}^{y-{x}^{4}}=1(1) & \\ 8\left({x}^{4}+y \right)-{6}^{{x}^{4}-y}=0(2)
&
\end{matrix}\right.$
Đề thi thử Chuyên Lê Quý Đôn-Vũng Tàu

Đặt $x^4+y=a, x^4-y=b$
$(1)\rightarrow a=3^b$
$(2)\rightarrow 8a-6^b=0\Leftrightarrow 8a-a.2^b=0\Leftrightarrow a=0\vee b=3$
Th1: a=0 (loại)
Th2: b=3, thay vào (1)
Ta đc hệ
$\left\{\begin{matrix}
&x^4+y=27 & \\
& x^4-y=3 &
\end{matrix}\right.$

Bài 14:Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}
(23-3x)\sqrt{7-x}+(3y-20)\sqrt{6-y}=0 (1)& \\ \sqrt{2x+y+2}-\sqrt{-3x+2y+8}+3{x}^{2}-14x-8=0(2)
&
\end{matrix}\right. $$
Đề thi thử ĐH-THPT Nguyễn Quang Diệu

$(1)\rightarrow [2+3(7-x)]\sqrt{7-x}=[2+3(6-y)]\sqrt{6-y}$
Xét $f(t)=(2+3t^2)t, f'(t)>0$ nên $7-x=6-y\Leftrightarrow y=x-1$
thay vào (2)
$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$
$\Leftrightarrow\sqrt{3x+1}-4+1-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-5=0$
$\Leftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+(x-5)(3x+1)=0$
$\Leftrightarrow x=5 (-\frac{1}{3}\leq x\leq 4)$

Tối nay rảnh, chém gió tí ^^

$\left\{\begin{matrix}
x+y+\frac{x}{y}=4(1)\\x^{2}+xy-y=0(2)
\end{matrix}\right.$

x=0 không là nghiệm
(2) chia cho x ta được $x+y+\frac{y}{x}=0$
Kết hợp (1) ta được $4-\frac{x}{y}=\frac{y}{x}$
Đến đây có thể đặt $\frac{x}{y}=t$
ta có $4-t=\frac{1}{t}$